起點(diǎn)低 入口寬 方法多 能力強(qiáng)
——2010年數(shù)學(xué)高考中有關(guān)數(shù)列的試題評(píng)析

● (三山高級(jí)中學(xué) 浙江慈溪 315300)

2010年全國(guó)各地高考數(shù)學(xué)試卷共19套37份，與數(shù)列有關(guān)的題目共64道，分值約占總分的10%.試題既考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式、數(shù)列的基本性質(zhì)、數(shù)列求和等基本知識(shí)和基本運(yùn)算，同時(shí)又考查了數(shù)列與其他內(nèi)容的綜合，以及遞推思想、化歸思想、歸納能力、運(yùn)算能力、推理論證能力等.

1 命題特點(diǎn)和知識(shí)類型

1.1 命題特點(diǎn)

文、理有別，主要表現(xiàn)在選擇題、填空題中文、理不同題，若同題，則試題位置文科較后，理科較前(文、理合卷除外)，解答題文科為16道，理科為14道.文、理要求不同，難度差異大.

1.2 知識(shí)類型

數(shù)列題在新課程高考卷中所占比例比在非新課程高考卷中的要大，非新課程高考卷無填空型數(shù)列題，新課程高考卷中有一半的省市有填空型數(shù)列題.選擇題、填空題大都以考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的基礎(chǔ)知識(shí)為主，大部分是容易題或中檔題.

2 亮點(diǎn)掃描

2.1 重視基本概念、基本運(yùn)算，注重通性通法

無論是新課程高考卷還是非新課程高考卷，對(duì)等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義，通項(xiàng)公式，求和公式等基本概念、基本運(yùn)算的考查，依舊是2010年數(shù)學(xué)高考“數(shù)列熱點(diǎn)”中的重點(diǎn).題型分布極為廣泛，一般表現(xiàn)在客觀題或主觀題的第(1)小題，其難度不大，平時(shí)應(yīng)注重通性通法，不搞特技.

( )

A.11 B.5 C.-8 D.-11

(2010年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題)

解設(shè)公比為q.由

8a2+a5=0，

得

8a2+a2q3=0，

而an≠0，解得q=-2，因此

故選D.

類似的題目還有：遼寧省數(shù)學(xué)高考文科試題第3題、遼寧省數(shù)學(xué)高考理科試題第6題、安徽省數(shù)學(xué)高考文科試題第5題、重慶市數(shù)學(xué)高考理科試題第1題、北京市數(shù)學(xué)高考理科試題第2題等,這些都是基礎(chǔ)題，題號(hào)均靠前，只要合理地運(yùn)用定義、公式進(jìn)行仔細(xì)計(jì)算即可解決此類問題.

2.2 重視性質(zhì)的考查，注重靈活運(yùn)用

等差、等比數(shù)列的“項(xiàng)的性質(zhì)、和的性質(zhì)”是考查對(duì)等差、等比數(shù)列理解及靈活應(yīng)用的主要載體.凡是用性質(zhì)可解的問題一般可用基本量的方法來解決，但在速度與準(zhǔn)確度上會(huì)拉開距離，因此要注重性質(zhì)的靈活運(yùn)用.

例2已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}，a1a2a3=5，a7a8a9=10，則a4a5a6=

( )

(2010年全國(guó)數(shù)學(xué)高考理科試題Ⅰ)

解由等比數(shù)列的性質(zhì)知

因此

故選A.

類似的題目還有：全國(guó)數(shù)學(xué)高考理科試題Ⅱ第4題，重慶市數(shù)學(xué)高考文科試題第2題，天津市數(shù)學(xué)高考理科試題第6題，廣東省數(shù)學(xué)高考理科試題第4題、文科試題第4題等，都是以等差、等比數(shù)列的性質(zhì)為主要考點(diǎn)、恰當(dāng)結(jié)合基本量的方法求解的.

2.3 關(guān)注數(shù)列與歸納推理

非新課程高考對(duì)于推理與證明并沒有獨(dú)立成章，而是把它作為一個(gè)數(shù)學(xué)思想滲透到各個(gè)分支.數(shù)列是培養(yǎng)學(xué)生歸納推理能力的有效載體，讓學(xué)生多接觸一些關(guān)于數(shù)列的新題和新事物，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題的能力、發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)有著積極的推進(jìn)作用.

解觀察Tn的數(shù)據(jù)特點(diǎn)，易歸納猜想出：

類似的題目還有：陜西省數(shù)學(xué)高考文科試題第11題、浙江省數(shù)學(xué)高考文科試題第14題、陜西省數(shù)學(xué)高考理科試題第12題、湖南省數(shù)學(xué)高考文科試題第20題等.

2.4 文科常規(guī)題型出現(xiàn)，穩(wěn)定送分設(shè)計(jì)

文科對(duì)數(shù)列的考查要求比較低，常見的題型有：等差、等比數(shù)列的5個(gè)基本量的運(yùn)算，等差、等比數(shù)列的證明，簡(jiǎn)單的數(shù)列求和問題等.試題位置相對(duì)比較靠前，是命題者在設(shè)計(jì)中認(rèn)為考生應(yīng)該得分的內(nèi)容，在平時(shí)教學(xué)中應(yīng)加強(qiáng)解題規(guī)范和正確率的培養(yǎng).

例4已知等差數(shù)列{an}滿足：a3=7，a5+a7=26,{an}的前n項(xiàng)和為Sn.

(1)求an及Sn；

解(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d.因?yàn)?/p>

a3=7，a5+a7=26,

所以

解得

a1=3,d=2，

于是

an=3+2(n-1)=2n+1,

從而

(2)由第(1)小題知an=2n+1，因此

類似的題目還有：陜西省數(shù)學(xué)高考文科試題第16題、全國(guó)數(shù)學(xué)高考文科試題Ⅱ第18題、重慶市數(shù)學(xué)高考文科試題第16題、浙江省數(shù)學(xué)高考文科試題第19題、北京市數(shù)學(xué)高考文科試題第16題等.

2.5 理科交匯整合呈現(xiàn)，綜合應(yīng)用把關(guān)

數(shù)列與函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式等知識(shí)的有機(jī)結(jié)合，是數(shù)列與其他分支領(lǐng)域的典型的交匯題.既能凸顯函數(shù)、不等式是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)、難點(diǎn)，導(dǎo)數(shù)是新課程高考的熱點(diǎn)，又能考查學(xué)生對(duì)數(shù)列的綜合應(yīng)用，是高考數(shù)列綜合題的一大特色，是每年高考的把關(guān)題之一.

(1)當(dāng)a=0時(shí)，求通項(xiàng)an.

(2)是否存在a，使數(shù)列{an}是等比數(shù)列？若存在，求a的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由.

分析本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算、導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、簡(jiǎn)單的遞推數(shù)列、不等式的證明、分類討論、轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法，解答過程略.

類似的題目還有：重慶市數(shù)學(xué)高考理科試題第21題、全國(guó)數(shù)學(xué)高考理科試題Ⅰ第22題、湖北省數(shù)學(xué)高考理科試題第21題等.

3 復(fù)習(xí)建議

縱觀2010年全國(guó)各地?cái)?shù)學(xué)高考試卷，在復(fù)習(xí)備考中應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：

(1)數(shù)列問題基本做到小題考查單一的基礎(chǔ)知識(shí)，大題重在對(duì)重點(diǎn)內(nèi)容的思維探索，題目起點(diǎn)低、入口寬、方法多.在平時(shí)復(fù)習(xí)中，需扎實(shí)掌握等差與等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式、求和公式，對(duì)公式要正確記憶、熟練運(yùn)用，要有效地落實(shí)基礎(chǔ)知識(shí)，全面提高學(xué)生的基本解題能力.

(2)注重通性通法，關(guān)注數(shù)列的項(xiàng)、和的性質(zhì)的靈活應(yīng)用.

(3)關(guān)注數(shù)學(xué)本質(zhì)，滲透分類討論思想和化歸思想等數(shù)學(xué)思想方法，培養(yǎng)抽象概括能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力以及應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)，促進(jìn)知識(shí)理解與運(yùn)用，能借此提升并概括具有一般性的思想與方法.

(4)重視學(xué)生的參與和自我總結(jié).考生是直接參與考試的，教師只是學(xué)生身邊的點(diǎn)撥者，在復(fù)習(xí)中，必須有學(xué)生的參與和教師的小結(jié)概括.要做到：課堂中內(nèi)容少講一些，學(xué)生自主探究多一些，可以適當(dāng)?shù)貫閭€(gè)別問題設(shè)置一些探索階梯.學(xué)生要多練練、多體會(huì).