在知識(shí)網(wǎng)絡(luò)交匯點(diǎn)設(shè)計(jì)試題
——2010年數(shù)學(xué)高考不等式試題評(píng)析

● (湖州中學(xué) 浙江湖州 313000)

不等式一直是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，它滲透到了中學(xué)數(shù)學(xué)課本的很多章節(jié)，在實(shí)際問題中被廣泛應(yīng)用，可以說是解決其他數(shù)學(xué)問題的一種有利工具．隨著以培養(yǎng)創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力為重點(diǎn)的素質(zhì)教育的深入發(fā)展，高考命題越來越關(guān)注開放性、探索性等創(chuàng)新型問題，尤其是與函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、數(shù)列、解析幾何等綜合的不等式證明問題以及涉及不等式的應(yīng)用題等.

1 教學(xué)要求與大綱對(duì)比

2 命題特點(diǎn)和知識(shí)類型

2.1 命題特點(diǎn)

縱觀2010年全國及各省市共37套文、理高考試卷，筆者發(fā)現(xiàn)對(duì)不等式重點(diǎn)考查的有4種題型：解不等式、證明不等式、不等式的應(yīng)用、不等式的綜合性問題(如含參問題、恒成立問題等).這些不等式問題主要體現(xiàn)了等價(jià)轉(zhuǎn)化、函數(shù)與方程、分類討論等數(shù)學(xué)思想．

2.2 知識(shí)類型

不等式的解法問題常常出現(xiàn)在選擇題中,譬如求最值問題、簡單的線性規(guī)劃問題、含參的不等式恒成立問題、不等式的證明問題.不等式知識(shí)在高考中很少單獨(dú)成題，但作為工具解決問題的作用不會(huì)降低，即不等式的工具性；注重知識(shí)之間的交叉、滲透和綜合，對(duì)考生在知識(shí)及思維方面的不斷轉(zhuǎn)化提出了較高的要求，有較強(qiáng)的綜合性和一定的思維深度.

3 亮點(diǎn)掃描

( )

(2010年遼寧省數(shù)學(xué)高考理科試題)

分析本題將導(dǎo)數(shù)的幾何意義、求導(dǎo)運(yùn)算、三角函數(shù)和基本不等式知識(shí)有機(jī)地結(jié)合在一起.因?yàn)?/p>

3.2 線性規(guī)劃問題

( )

(2010年福建省數(shù)學(xué)高考理科試題)

圖1

3．3 函數(shù)不等式中的高等背景

數(shù)學(xué)科《考試大綱》指出：“數(shù)學(xué)科考試，要發(fā)揮數(shù)學(xué)作為基礎(chǔ)學(xué)科的作用，既重視考查中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)的掌握程度，又注重考查進(jìn)入高校繼續(xù)學(xué)習(xí)的潛能”.

(2010年山東省數(shù)學(xué)高考理科試題)

分析本小題主要考查導(dǎo)數(shù)的概念以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的能力，考查分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想、等價(jià)變化思想，以及綜合運(yùn)用知識(shí)解讀新情境、新問題的能力.

①當(dāng)a=0時(shí)，h(x)=-x+1，x∈(0,+∞)，因此當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，h(x)>0,此時(shí)f′(x)<0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí)，h(x)<0，此時(shí)f′(x)>0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增.

②當(dāng)a≠0時(shí)，由f′(x)=0，即

ax2-x+1-a=0，

解得

x1=1,x2=3?(0,2),

①當(dāng)b<1時(shí)，因?yàn)?/p>

[g(x)]min=g(1)=5-2b>0,

矛盾.

②當(dāng)b∈[1,2]時(shí)，

[g(x)]min=4-b2≥0,

矛盾.

③當(dāng)b∈(2,+∞)時(shí)，

[g(x)]min=g(2)=8-4b,

4 復(fù)習(xí)建議

4.1 改進(jìn)教學(xué)方式

在教學(xué)方式的改進(jìn)中，最重要的是要讓學(xué)生有積極、獨(dú)立地進(jìn)行數(shù)學(xué)思考的空間.在具體細(xì)節(jié)上讓學(xué)生自己多動(dòng)手、多閱讀、多思考、多交流，讓學(xué)生多發(fā)表意見.教師可參與到學(xué)生的活動(dòng)中去，多聽少講，在關(guān)鍵點(diǎn)上讓學(xué)生有機(jī)會(huì)提出自己的見解.課堂教學(xué)應(yīng)加強(qiáng)問題引導(dǎo)學(xué)習(xí)、教學(xué)重心前移、典型豐富例證、提供概括時(shí)機(jī)、保證思考力度、加強(qiáng)思想聯(lián)系、使用變式訓(xùn)練、強(qiáng)調(diào)反思遷移.

4.2 追求有效教學(xué)

有效的課堂教學(xué)關(guān)鍵是要解決好讓學(xué)生想學(xué)、能學(xué)、會(huì)學(xué)、學(xué)好這樣一系列的問題，使學(xué)生真正參與到學(xué)習(xí)活動(dòng)中來，使教和學(xué)的各個(gè)環(huán)節(jié)緊密銜接，相互適應(yīng)，并能取得最大效益和最佳效果.在當(dāng)前客觀的教學(xué)形勢(shì)下，一問就會(huì)、一答就對(duì)的演示性課堂并不是我們的追求.結(jié)合自身的教學(xué)經(jīng)歷，筆者認(rèn)為要提高高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的有效性，抓住“3個(gè)有效”是重點(diǎn)：教學(xué)理念有效、教學(xué)方式有效、教學(xué)過程有效.

通常復(fù)習(xí)課上有一個(gè)突出的矛盾，就是時(shí)間太緊，既要處理足量的題目，又要充分展示學(xué)生的思維過程，二者似乎很難兼顧.我們可采用“焦點(diǎn)·感悟法”解決這個(gè)問題，大多數(shù)題目其解法是“入口寬，上手易”，但在連續(xù)探究的過程中，常在某一點(diǎn)或某幾點(diǎn)上擱淺受阻，這些點(diǎn)被稱為“焦點(diǎn)”，其余的則被稱為“外圍”.我們大可不必在外圍處花精力和時(shí)間去進(jìn)行淺表性的啟發(fā)誘導(dǎo),而只要在焦點(diǎn)處啟發(fā)學(xué)生探尋突破口，通過感悟集中學(xué)生的智慧，讓學(xué)生的思維在關(guān)鍵處閃光、能力在要害處增長、弱點(diǎn)在隱蔽處暴露、意志在細(xì)微處磨礪.

4.3 宜“廣積糧”而非“深挖洞”

由《考試大綱》所提供的命題原則——“在知識(shí)網(wǎng)絡(luò)交匯點(diǎn)設(shè)計(jì)試題”，考查能力的題目往往是幾個(gè)重點(diǎn)和熱點(diǎn)內(nèi)容的有機(jī)組合，其實(shí)它們都來自于簡單題.在備考過程中，不需要“深挖洞”——在各個(gè)考點(diǎn)上向深度、難度進(jìn)軍，而只需“廣積糧”——系統(tǒng)掌握知識(shí)，再綜合運(yùn)用之.