通俗易懂 注重通法 優(yōu)美結(jié)論
——2010年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第21題體驗(yàn)

● (湖州中學(xué) 浙江湖州 313000)

筆者通過對2010年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第21題的深刻體驗(yàn),得出了如下啟示.現(xiàn)整理出來,以供參考.

(1)當(dāng)直線l過右焦點(diǎn)F2時，求l的方程.

(2)設(shè)直線l與橢圓C交于點(diǎn)A，B，△AF1F2，△BF1F2的重心分別為G，H.若原點(diǎn)O在以線段GH為直徑的圓內(nèi)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

1 命題思路探尋

第(1)小題考查橢圓的幾何性質(zhì)；第(2)小題主要考查了直線與橢圓、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系.此題還同時考查了解析幾何的基本思想方法和綜合解題的能力.

2 考生答題反饋

第(1)小題大部分學(xué)生都覺得很容易，通過橢圓的幾何性質(zhì)，利用點(diǎn)在直線上建立方程求實(shí)數(shù)的值，從而得到直線的方程.但是第(2)小題要通過建立不等關(guān)系求出實(shí)數(shù)的取值范圍，很多學(xué)生忽略了二次方程判別式大于0這個條件，或者無法通過條件“點(diǎn)O在以線段GH為直徑的圓內(nèi)”來建立相應(yīng)的不等式.

3 巧妙解題方法

一般地，直線與橢圓相交于點(diǎn)A,B，則聯(lián)立直線與橢圓的方程，消去y得到關(guān)于x的二次方程.在判別式大于0的前提下，利用韋達(dá)定理得xA+xB和xAxB，再利用直線方程得到y(tǒng)A+yB和yAyB.接下來就是如何量化以下2個已知條件：(1)△AF1F2，△BF1F2的重心分別為G，H；(2)點(diǎn)O在以線段GH為直徑的圓內(nèi).

因?yàn)樵c(diǎn)O是邊F1F2的中點(diǎn)，所以AO是一條中線，因此

即

同理可得

這樣條件(1)得以解決.

對于條件(2)，有以下3種解法：

(1)利用定義：若1個點(diǎn)與圓心的距離小于半徑，則該點(diǎn)在圓內(nèi).

(2)利用圓的方程判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系.

在必修2“直線與圓的方程”的教學(xué)過程中，利用圓的方程來判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，體現(xiàn)了解析幾何的本質(zhì).先將圓方程化為右邊為0的方程，然后將點(diǎn)的坐標(biāo)代入圓方程的左式，看其符號：若為正，則點(diǎn)在圓外；若為0，則點(diǎn)在圓上；若為負(fù)，則點(diǎn)在圓內(nèi).而以GH為直徑的圓方程為

(x-xG)(x-xH)+(y-yG)(y-yH)=0.

因?yàn)辄c(diǎn)O在圓內(nèi)，所以

(0-xG)(0-xH)+(0-yG)(0-yH)<0，

即

xGxH+yGyH<0.

(3)利用向量的數(shù)量積.

通過第3種解法，可以發(fā)現(xiàn)關(guān)于點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的一個優(yōu)美的結(jié)論：

4 教學(xué)思考啟示

4.1 做好初、高中教材內(nèi)容的銜接工作

高中新教材的內(nèi)容編排是螺旋上升的，并且起到了承上啟下的作用，它不僅是初中內(nèi)容的深化，也為學(xué)生進(jìn)一步深造打下了基礎(chǔ).從初中的平面幾何中的圓到高中的平面直角坐標(biāo)系下的圓方程是一種歷史的繼承又是數(shù)學(xué)思想方法的一次飛躍，因此要做好初、高中教材內(nèi)容的銜接工作.

4.2 注重通式通法的教學(xué)

2010年浙江省高考《考試說明(數(shù)學(xué))》中明確指出:高考試卷應(yīng)全面考查“雙基”，突出數(shù)學(xué)主干知識，注重通式通法，淡化技巧.在處理直線與圓錐曲線的位置關(guān)系時，應(yīng)遵循設(shè)直線方程、聯(lián)立方程組、消去其中一個變量、判別式、韋達(dá)定理這樣的一個解題思路.在處理二元二次方程時，配方法仍是首選.

4.3 重視教材中的課后習(xí)題

命題者與學(xué)生的共同財(cái)富是數(shù)學(xué)課本.試題以課本為基礎(chǔ)，源于課本又高于課本.因此，在考前應(yīng)回歸課本，將定義、定理、公式及相關(guān)結(jié)論等重點(diǎn)內(nèi)容熟讀備用.

4．4 培養(yǎng)學(xué)生綜合解決問題的能力

此題是直線與圓的方程和圓錐曲線的綜合問題，考查了學(xué)生綜合解決問題的能力.知識交匯點(diǎn)又是高考命題的一個重點(diǎn)，解法3體現(xiàn)了向量與解析幾何的交匯.高考數(shù)學(xué)試卷的定位就是以能力立意，將知識、能力和素質(zhì)融為一體，全面檢測考生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).