毛細(xì)管中液面升降時(shí)能量轉(zhuǎn)化分析

王維青

（太原師范學(xué)院 物理系，山西 太原 030031）

毛細(xì)管中液面升降時(shí)能量轉(zhuǎn)化分析

王維青

（太原師范學(xué)院 物理系，山西 太原 030031）

應(yīng)用變質(zhì)量體系的運(yùn)動(dòng)微分方程，對(duì)毛細(xì)管中液面升降時(shí)能量轉(zhuǎn)化情況進(jìn)行了分析.

毛細(xì)管；表面張力；重力勢(shì)能

毛細(xì)管插入能潤(rùn)濕玻璃的液體中管內(nèi)液面會(huì)上升，插入不能潤(rùn)濕玻璃的液體中管內(nèi)液面要降低.液面升高或降低，重力勢(shì)能就要增加或減少，增加的重力勢(shì)能從何而來(lái)，減少的勢(shì)能又到哪里去了？也即能量如何轉(zhuǎn)化，一般教科書(shū)限于篇幅，并不過(guò)多分析，但文獻(xiàn)[1]的課后思考題中有這樣的問(wèn)題.這類(lèi)問(wèn)題的提出，顯然對(duì)學(xué)生綜合應(yīng)用物理知識(shí)解決問(wèn)題很有益處.

1 液體潤(rùn)濕不潤(rùn)濕固體時(shí)能量分析

液體和固體的接觸面上有一個(gè)厚度為分子作用半徑的附著層，對(duì)于液體能潤(rùn)濕固體的接觸面來(lái)說(shuō)，見(jiàn)圖1（a），由于內(nèi)聚力F1小于附著力F2，附著層內(nèi)分子受到的合力方向與F2同向，此時(shí)附著層中的分子要進(jìn)入液體中需克服分子引力做功，說(shuō)明附著層中的能量要比液體中的能量低，或者講附著層中的液體分子具有負(fù)的表面能.由玻耳茲曼能量分布律我們知道，在外界條件一定的情況下，分子總是優(yōu)先地占據(jù)低能量的狀態(tài).所以液體內(nèi)部分子盡量向附著層內(nèi)跑，這樣氣、液、固接觸處就形成如圖1(a)所示的彎月面向上的形狀.若F1>F2則相反，附著層中的能量比液體中的能量高，就有盡量減少附著層內(nèi)分子的趨勢(shì)，最后達(dá)到穩(wěn)定時(shí)，就形成如圖1（b）所示的表面形狀.

圖1 液體潤(rùn)濕不潤(rùn)濕固體時(shí)情況

2 毛細(xì)管中液面上升時(shí)能量分析

如圖2（b）所示，半徑為r毛細(xì)管插入可潤(rùn)濕的水中，形成凹液面，由于表面張力的存在，使凹液面下B點(diǎn)的壓強(qiáng)小于大氣壓強(qiáng)，PB

圖2 毛細(xì)管剛插入可潤(rùn)濕的液體中

圖3 可潤(rùn)濕毛細(xì)管的液體在管中上升時(shí)情況

取如圖3（a）所示的坐標(biāo)系，由于液體未進(jìn)入毛細(xì)管前是靜止的，

∴u=0

因?yàn)橐蟮氖悄芰?，可把?）式變化為：

力在x方向的投影：

把（3）、（4）式代入（2）式的左邊，可得：初始：x=0,v=0;到力的平衡位置時(shí)x=h,v=v，上式積分：

其中，方程右邊的質(zhì)量為液體處于力平衡時(shí)的質(zhì)量：

由積分的結(jié)果，可知，（6）式右邊第一項(xiàng)為重力做的負(fù)功，也為，重力勢(shì)能的增量；第二項(xiàng)為表面張力做的正功.顯然，表面張力做功，一半用于重力勢(shì)能增加，另一半由（6）式的左邊可知，轉(zhuǎn)化為動(dòng)能了.液體在力的平衡位置時(shí)，動(dòng)能不為零，也即速度不為零.顯然由于慣性，液體要繼續(xù)向上運(yùn)動(dòng)，到速度為零時(shí)，重力又比表面張力大了，在力的作用下液體又向下運(yùn)動(dòng)，這樣就形成了振蕩，定量分析如下.

為討論方便，把x軸的坐標(biāo)原點(diǎn)選在力的平衡位置處，則（3）式變?yōu)椋?/p>

把（7）式及（4）式代入由（1）式，可得其動(dòng)力學(xué)方程為：

可見(jiàn)，另一半動(dòng)能似乎可近似地看成是用于簡(jiǎn)諧振動(dòng)了，但考慮到液體的粘滯阻力，最終是耗散為熱能了.

3 毛細(xì)管中液面下降時(shí)能量分析

半徑為r毛細(xì)管插入不潤(rùn)濕的水銀中，形成的是凸液面，如圖4，由于表面張力的存在，使凸液面下B點(diǎn)的壓強(qiáng)大于大氣壓強(qiáng)，pB>po.這樣毛細(xì)管內(nèi)的液體就要向下運(yùn)動(dòng)，直到下降到h滿足pB=po+ρg h為止.此時(shí)，毛細(xì)管內(nèi)的液面在C處，以B點(diǎn)所在處為上表面，以C所在處為下表面，隔離出一個(gè)底面半徑為r的液柱，顯然，隨液柱下降，其質(zhì)量是減小的.但由于液柱下面的液體仍在毛細(xì)管內(nèi)，隨液柱一起運(yùn)動(dòng).所以（1）式中的u=v.由圖4（b）所示的坐標(biāo)，可得質(zhì)量的表達(dá)式：

其受到的三個(gè)力如圖所示，因pB=pC，所以實(shí)際液柱僅受到重力，即：

圖4 不潤(rùn)濕毛細(xì)管的液體在管中下降時(shí)情況

將（12）式、（13）式代入（1）式，并整理可得：

初始：x=,v=0;到力的平衡位置時(shí)x=h,v=v，上式積分：

結(jié)果說(shuō)明，重力做正功，使重力勢(shì)能減小，減小的能量變成動(dòng)能.即在力平衡位置時(shí)速度不為零，由慣性液體繼續(xù)向下運(yùn)動(dòng)，直到速度為零時(shí)，B點(diǎn)所在處的壓強(qiáng)又比h深處大， 使液體又受到向上的力，結(jié)果同樣在平衡位置振蕩.因在力平衡位置時(shí)，小液柱的質(zhì)量為零了，所以要得振動(dòng)方程就不能以C處為液柱的下底面了.取毛細(xì)管的下端處為小液柱的下底面，還看圖4（b），這樣，又有u=0，但液柱受到的合力：

將（16）、（17）式代入（1）式，可得：

不考慮粘滯阻力時(shí)，仍可近似為簡(jiǎn)諧振動(dòng).

總之，毛細(xì)管內(nèi)液面升高時(shí)，表面張力做正功，使重力勢(shì)能增加；液面下降時(shí)，似乎表面張力應(yīng)做負(fù)功，使重力勢(shì)能減小，但這里選取的研究對(duì)象正好使上下液面的壓力抵消.若小液柱的下底面沒(méi)選在力的平衡位置，如選在A處，顯然表面張力是要做功了.

〔1〕秦允豪.熱學(xué)[M].北京:高等教育出版社,1999：304.

〔2〕陳世民.理論力學(xué)簡(jiǎn)明教程[M].北京:高等教育出版社, 2008：109.

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1673-260X（2010）07-0014-02