豎直液柱與水平液面作用激起毛細(xì)波探究

鞏欣亞， 張 煜， 張永戰(zhàn)， 沈 宏， 潘永華， 高惠濱(. 南京大學(xué)物理學(xué)院，江蘇 南京 20093； 2. 中國科學(xué)院 大氣物理研究所，北京 00029)

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豎直液柱與水平液面作用激起毛細(xì)波探究

鞏欣亞1，2， 張 煜1， 張永戰(zhàn)1， 沈 宏1， 潘永華1， 高惠濱1
(1. 南京大學(xué)物理學(xué)院，江蘇 南京 210093； 2. 中國科學(xué)院 大氣物理研究所，北京 100029)

探究豎直液柱自由下落到水平液面上，液柱底部受擾激起的表面毛細(xì)波傳播出現(xiàn)穩(wěn)定的波節(jié)、波腹，如同“駐波”形式的實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象。利用Navier-Stokes方程分析表面毛細(xì)波的傳播規(guī)律；對(duì)比實(shí)驗(yàn)探究不同初始條件下，豎直液柱與水平液面相互作用激起毛細(xì)波的現(xiàn)象。結(jié)果表明,下落高度及水平液面性質(zhì)有關(guān)；純凈深水液面與淺水液面的對(duì)比實(shí)驗(yàn)表明，淺水液面上液柱底部更易激起穩(wěn)定毛細(xì)波，相同條件淺水液面上激起的毛細(xì)波波數(shù)較大，波長較短；油膜液面上豎直液柱底部的毛細(xì)波被抑制，出現(xiàn)一段筆直液管，并在液柱中部激起穩(wěn)定的毛細(xì)波形。

毛細(xì)波； 液體表面張力； 豎直液柱； 駐波； 水平液面

0 引 言

用手指截住自由下落的細(xì)水流，保持豎直液流處于穩(wěn)定的層流狀態(tài)，當(dāng)手指距離水龍頭口約幾cm處時(shí)，在液柱底部可觀察到穩(wěn)定的波節(jié)和波腹現(xiàn)象，如同“駐波”形式(見圖1)。將手指不斷抬高，豎直液流受到的擾動(dòng)增大，表面毛細(xì)波不再保持穩(wěn)定形式，連續(xù)的液流將斷裂成大液滴。若截住下落液柱的手指上沾有油污或肥皂，液柱底部的毛細(xì)波將受到抑制，出現(xiàn)一段光滑的筆直液段，而在液柱中部激起穩(wěn)定的毛細(xì)波形。

圖1 水龍頭下豎直液柱表面的波動(dòng)現(xiàn)象

水平液面上液體表面流速v與表面毛細(xì)波波數(shù)k(=2π/λ)的關(guān)系[1]：

v2=Tk/ρ+g/k

(1)

式中：T為液體表面張力；ρ為液體密度；g為重力加速度。Lord[2]根據(jù)式(1)提出通過對(duì)液流速度和液體表面張力波波長的光學(xué)測(cè)量，計(jì)算流動(dòng)的液體表面張力系數(shù)的方法[3-5]。隨后Yoshimasa等[1，6]先后觀察并初步討論了豎直液柱表面的毛細(xì)波傳播現(xiàn)象。Awati K[7]在理想流體的基礎(chǔ)上引入牛頓黏性力的作用，分析了黏性流體中液體表面毛細(xì)波的傳播。Setterwall[8-9]首先注意到了液體表面活性物質(zhì)對(duì)表面毛細(xì)波的影響，Matthew等[10]建立數(shù)學(xué)模型驗(yàn)證分析了豎直液柱底部的表面毛細(xì)波受到抑制，在液柱中部出現(xiàn)穩(wěn)定毛細(xì)波形的現(xiàn)象。

本文針對(duì)下部水平液面的深度和表面性質(zhì)對(duì)豎直液柱底部能否產(chǎn)生穩(wěn)定的毛細(xì)波形，以及毛細(xì)波形的變化有著重要的影響，建立理想流體的基本物理模型，推導(dǎo)出影響豎直液柱表面出現(xiàn)穩(wěn)定的“駐波”波形的條件。根據(jù)物理模型的分析，設(shè)計(jì)出穩(wěn)定的實(shí)驗(yàn)裝置和對(duì)比實(shí)驗(yàn)方案，分別使自由下落的豎直液流沖擊到純凈的深水液面、淺水液膜表面以及薄層油膜液面上。通過控制初始條件的變化探究豎直液柱表面激起的表面毛細(xì)波波形對(duì)不同實(shí)驗(yàn)條件的響應(yīng)。

1 基本物理模型

豎直液柱在自由下落過程中，液柱中的液流速度受到重力作用加速；同時(shí)，只要液流保持穩(wěn)定連續(xù)，根據(jù)連續(xù)方程可得液柱的截面半徑隨著下落高度也有緩慢減小。

柱坐標(biāo)系下，垂直方向z以向下為正，設(shè)定常流量為Q，密度為ρ，黏性系數(shù)為ν，液體表面張力系數(shù)為σ，液柱中液流初始流速為U0，初始截面半徑為a。在大雷諾數(shù)Re=Q/(aν)條件下忽略黏性流體的作用，假設(shè)豎直液柱的流速只與下落高度z有關(guān)，流速表示為U(z)，截面半徑為r(z)。根據(jù)流體力學(xué)方程組推導(dǎo)豎直液柱在重力作用和液體表面張力作用下，液柱中液流速度和液柱截面半徑隨下落高度的變化[10-12]：

(2)

(3)

(4)

表示隨著下落高度z增大，液柱中的液流速度U(z)增大，液柱截面半徑r減小。

下面分析長直液柱表面受到小擾動(dòng)激起毛細(xì)波的波動(dòng)情況。設(shè)平衡半徑為R0，徑向小擾動(dòng)為ε(ε?R0)。液柱截面半徑r=R0+ε·exp(ωt+ikz)，其中，k=2π/λ為毛細(xì)波數(shù)，ω=2πυ為圓頻率。根據(jù)豎直液柱的Navier-Stokes方程，結(jié)合邊界條件解得表面毛細(xì)波的傳播方程[11]：

(5)

式中：V為波動(dòng)速度；In(x)表示第一類貝塞爾函數(shù)；

f(x)=(1-x-2)·I1(x)/I0(x)

是對(duì)有限截面半徑的豎直液柱的修正，f(1)=0，f(10)?0.94，f(50)?0.99[1]。因此當(dāng)kR0有限但逐漸增大時(shí)，f(kR0)逐漸趨近于1，豎直液柱退化為水平液面，傳播方程形式與式(1)相同。

在自由下落的豎直液柱表面看到穩(wěn)定的毛細(xì)波傳播，將式(4)與(5)比較，即令表面毛細(xì)波的傳播速度與液柱下落的流速相同，在實(shí)驗(yàn)室參考系下將看到穩(wěn)定的“駐波”形式。用液柱截面半徑r代替平衡半徑R0，在初始流速U0、下落總高度H和毛細(xì)波波數(shù)k之間，具有如下關(guān)系：

(6)

因此，可以設(shè)計(jì)定量實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證液柱表面毛細(xì)波與初始條件的關(guān)系，進(jìn)一步實(shí)驗(yàn)探究與不同水平液面作用，液柱表面毛細(xì)波的變化。

2 實(shí)驗(yàn)方案設(shè)計(jì)

設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)裝置如圖2所示，可用于定量調(diào)節(jié)初始條件，并準(zhǔn)確測(cè)量毛細(xì)波形的變化：右邊的大量筒、流量計(jì)和潛水泵組成穩(wěn)定的循環(huán)水系統(tǒng)；流量計(jì)和豎直千分尺可分別定量調(diào)節(jié)豎直液柱的初始流量Q=πa2U0和下落高度H；左邊的大、小水池構(gòu)成連通器，保證實(shí)驗(yàn)中水平液面的穩(wěn)定；固定的CCD攝像頭連續(xù)記錄豎直液柱表面的毛細(xì)波形，再利用圖片處理軟件截取穩(wěn)定毛細(xì)波段，并計(jì)算平均波數(shù)和平衡截面半徑之積。

圖2 實(shí)驗(yàn)裝置示意圖

實(shí)驗(yàn)對(duì)比豎直液柱與深水液面、淺水液面和油膜液面的相互作用：①豎直液柱自由下落到實(shí)驗(yàn)水池中，視為與無限大深水液面的相互作用；②在實(shí)驗(yàn)水池中加入固體介質(zhì)，使其上表面恰好沒入水平液面形成淺水液膜；③在深水液面表面緩慢滴入清油，待其自然擴(kuò)散成薄層油膜后，使豎直液柱自由下落到油膜液面上。

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

在相同初始條件下，豎直液柱與深水液面、淺水液面和油膜液面的相互作用，都激起了穩(wěn)定的表面毛細(xì)波，但具體形式有微小變化。如圖3所示：(a)深水液面上，豎直液柱底部出現(xiàn)穩(wěn)定的毛細(xì)波形；(b)淺水液面上，液柱底部激起的毛細(xì)波形與深水液面相比，波長變短，波數(shù)變大，且更易達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)；(c)油膜液面上，液柱底部毛細(xì)波受到抑制，出現(xiàn)一段筆直的光滑液段，在液柱中部激起穩(wěn)定的毛細(xì)波形。

(a)深水液面(b)淺水液面(c)油膜液面

圖3 豎直液柱與不同水平液面相互作用激起毛細(xì)波實(shí)驗(yàn)圖

3.1 豎直液柱與深水液面相互作用

圖4表示在不同初始條件下，豎直液柱與深水液面相互作用液柱底部激起毛細(xì)波形的變化，圖中：Q表示初始流量，L/h；H表示液柱下落高度，mm。由圖4看出，初始流量Q保持一定時(shí)，隨下落高度H逐漸減小，豎直液柱表面毛細(xì)波波長增大，波數(shù)減小，而豎直液柱的平衡截面半徑隨下落高度的變化不大；由圖4(a)、(d)、(g)(或圖4(b)、(e)、(h)，圖4(c)、(f)、(i))看出，下落高度H保持一定時(shí)，隨Q增大，液柱表面毛細(xì)波波長減小，波數(shù)增大。

(a)Q=10，H=15．9(b)Q=10，H=12．1(c)Q=10，H=9．2(d)Q=14，H=11．6(e)Q=14，H=11．6(f)Q=14，H=8．6(g)Q=18，H=15．5(h)Q=18，H=11．5(i)Q=18，H=8．7

圖4 不同初始條件下豎直液柱與深水液面相互作用激起毛細(xì)波實(shí)驗(yàn)圖

3.2 豎直液柱與淺水液面相互作用的對(duì)比實(shí)驗(yàn)

相同初始條件下，對(duì)比實(shí)驗(yàn)探究豎直液柱在深水和淺水液面上激起毛細(xì)波形的變化。改變實(shí)驗(yàn)條件，驗(yàn)證豎直液柱與純凈水平液面作用，表面毛細(xì)波的kr與初始條件間的線性變化關(guān)系。

圖5為豎直液柱與(a)深水、(b)淺水液面相互作用，表面毛細(xì)波的kr與下落液柱高度H的線性擬合曲線。表1為不同初始流量下kr—H線性擬合曲線的相關(guān)參數(shù)，不同流量分別對(duì)應(yīng)圖5中的一條擬合曲線。在豎直液柱與純凈水平液面的相互作用中，kr—H擬合曲線的斜率始終為正，表示當(dāng)初始流量一定時(shí)，表面毛細(xì)波的kr與下落高度H正相關(guān)；當(dāng)初始流量逐漸增大時(shí)，kr—H擬合曲線的斜率逐漸增大。對(duì)比深水和淺水液面，初始流量相同時(shí)，淺水液面的kr—H曲線斜率比深水液面的大。

豎直液柱與純凈水平液面相互作用激起液體表面的擾動(dòng)，其中一部分?jǐn)_動(dòng)能量將以毛細(xì)波形式沿豎直液柱表面?zhèn)鞑ィ涣硪徊糠帜芰繉⒑纳⒃谒揭好嫔?。在淺水液面上，豎直液柱向下沖擊堅(jiān)硬的固體表面，激起的擾動(dòng)將沿豎直液柱向上反射，因此液柱表面的毛細(xì)波波長較短，波數(shù)較大，攜帶擾動(dòng)能量較大。若液柱的下落速度過大，還將出現(xiàn)湍流現(xiàn)象，難以觀察到穩(wěn)定的毛細(xì)波形。

(a) 深水液面

(b) 淺水液面

Q/(L·h-1)深水液面淺水液面截距斜率相關(guān)系數(shù)截距斜率相關(guān)系數(shù)60．13840．00910．97-0．05890．01070．9670．18930．00970．98-0．01310．01200．968-0．18660．01180．99-0．00570．01250．9290．23810．01030．980．07600．01280．9810-0．16920．01420．950．46870．01290．9711-0．09930．01460．990．44480．01440．9212-0．12010．01550．990．47970．01450．9813-0．42360．01760．990．18730．02130．9714-0．05060．01830．99150．32230．01750．97

3.3 豎直液柱與油膜液面相互作用

圖6為在深水液面表面加入一層薄油膜，豎直液柱與油膜液面作用激起的毛細(xì)波實(shí)驗(yàn)圖。如圖所示，可將豎直液柱化分為調(diào)整段、駐波段和筆直液段。設(shè)水的液體表面張力系數(shù)為σ，油膜的液體表面張力系數(shù)為σ′(σ′<σ)。由于吉布斯-馬朗格尼效應(yīng)[13-15]，使得液體從液體表面張力低的地方向液體表面張力高的地方流動(dòng)，豎直液柱底部的毛細(xì)波形將被抑制，出現(xiàn)一段表面光滑的筆直液段，其高度h與液體表面張力系數(shù)的梯度Δσ=σ-σ′有關(guān)[5]：

(7)

豎直液柱中部重新激起穩(wěn)定的“駐波”波形，可以看作初始流量Q和實(shí)際下落高度(H-h)條件下，豎直液柱與純凈水平液面作用激起的毛細(xì)波動(dòng)。

圖6 豎直液柱與油膜液面相互作用的毛細(xì)波形實(shí)驗(yàn)圖

圖7表示豎直液柱與油膜液面相互作用的實(shí)驗(yàn)結(jié)果：(a)筆直液段。當(dāng)初始流量一定時(shí)，液柱底部的筆直液段高度h隨下落高度H增大而減?。划?dāng)下落高度一定時(shí)，底部筆直液段高度h隨初始流量Q增大而減小。(b)駐波段。當(dāng)初始流量一定時(shí)，豎直液柱表面毛細(xì)波的kr與(H-h)成正比關(guān)系；當(dāng)初始流量逐漸增大時(shí)，kr—(H-h)擬合曲線的斜率也逐漸增大。油膜液面上駐波段的性質(zhì)與純凈水平液面相似。

4 結(jié) 語

本文在理想流體的理論模型下，討論了影響豎直液柱表面波動(dòng)形式的因素，解釋了豎直液柱與水平液面相互作用，液柱表面及其毛細(xì)波的現(xiàn)象。設(shè)計(jì)了一整套穩(wěn)定可控的實(shí)驗(yàn)裝置。定性分析豎直液柱與純凈深水液面相互作用的實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象，并通過定量實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了表面毛細(xì)波的kr與初始流量Q和下落高度H之間存在線性關(guān)系。

通過對(duì)比實(shí)驗(yàn)，分析討論了純凈水流分別沖擊到深水液面、淺水液面以及油膜液面上時(shí)激起的液柱表面毛細(xì)波波形的變化。發(fā)現(xiàn)在相同條件下，與純凈深水液面相比，淺水液面上豎直液柱底部激起的毛細(xì)波波長較短，kr—H擬合曲線的斜率較大。油膜液面上豎直液柱底部的毛細(xì)波被抑制，出現(xiàn)一段表面光滑的筆直液段，在液柱中部激起穩(wěn)定的毛細(xì)波形，毛細(xì)波的kr與(H-h)具有線性相關(guān)關(guān)系。根據(jù)豎直液柱與不同水平液面相互作用激起毛細(xì)波形的微小變化，可以對(duì)水平液面性質(zhì)的微小變化作精密的檢測(cè)。

(a) 筆直液段

(b) 駐波段

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Capillary Waves on Vertical Jets Impinging upon Different Types of Liquid Surfaces

GONGXin-ya1,2,ZHANGYu1,ZHANGYong-zhan1,SHENHong1,PANYong-hua1,GAOHuibin1
(1. Department of Physics, Nanjing University, Nanjing 210093, China;2. Institute of Atmospheric Physics, Chinese Academy of Sciences, Beijing 100029， China)

When small cylindrical fluid jets impinge upon liquid surfaces, a stationary field of capillary waves can be excited on the base of the vertical jets. Theoretical description of the phenomena is derived from transformation of Navier-Stokes equation. Comparative experiments showed that the form of wave pattern excited on vertical jet depends on the jet’s initial conditions and type of liquid surface. Further results are presented by theoretical and experimental investigation: 1) The form of wave pattern is influenced by several matters, the major ones are the initial flow velocity, jet’s downward distance and type of liquid surface. 2) Under the same initial conditions, the capillary wave pattern excited on a shallow water base is more stable than which excited upon a deep water base; and the capillary wavelength is shorter and wave number is smaller. 3) When fluid jets impinge upon a thin oil surface base, the field of stationary wave is suppressed on the bottom of the jets, and excited somewhere above.

capillary wave; liquid surface tension; vertical jet; stationary wave pattern; liquid surface

2014-04-04

南京大學(xué)教育部大學(xué)生創(chuàng)新訓(xùn)練計(jì)劃項(xiàng)目(XZ1110284090)資助

鞏欣亞(1990-)，女，四川成都人，碩士，主要研究方向?yàn)榇髿馕锢砑傲黧w力學(xué)。

Tel.:13021121846;E-mail: gongxinya13@mails.ucas.ac.cn

潘永華(1971-)，女，浙江義烏人，高級(jí)工程師，現(xiàn)主要從事大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)和演示實(shí)驗(yàn)教學(xué)研究。

Tel.: 025-89680302；E-mail：pan_yong_hua@sina.com

O 353.3

A

1006-7167(2015)02-0029-05