函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖像繪制過程教學(xué)新解

●張東倉 (電子工業(yè)學(xué)校 陜西寶雞 721001)

全日制普通高級中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱(試驗修訂版)明確指出：按照一定的程序與步驟進行運算、處理數(shù)據(jù)(包括使用計算器)、簡單的推理、畫圖以及繪制圖表等基本技能;良好的個性品質(zhì)主要是指：正確的學(xué)習(xí)目的，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣、信心和毅力，實事求是的科學(xué)態(tài)度，勇于探索創(chuàng)新的精神，欣賞數(shù)學(xué)的美學(xué)價值.那么，在函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖像一節(jié)又將如何進一步體現(xiàn)呢?

一般情況下，教師授課會將本節(jié)知識能力目標大致確定為：揭示得到函數(shù)y=Asin(ωx+φ)(其中A＞0，φ＞0)圖像的思維過程.通過參數(shù)對函數(shù)圖像影響的研究及“五點法”畫函數(shù)圖像的介紹，讓學(xué)生充分體會由簡單到復(fù)雜、特殊到一般這一化歸數(shù)學(xué)思想.難點確定為：由y=sin(x+φ)的圖像得到y(tǒng)=sin(ωx+φ)的圖像.

我們把教材中的繪圖思路分別稱為方案1與方案2，流程圖如下所示：

在實際的教學(xué)中，盡管筆者使用了幾何畫板等繪圖軟件和多媒體技術(shù)，但發(fā)現(xiàn)本節(jié)的教學(xué)效果仍不理想.經(jīng)過認真思考，筆者對教材給出的繪圖過程做了一點修改，發(fā)現(xiàn)教學(xué)效果不錯，且該思想可進行推廣，適用于由y=f(x)圖像得到y(tǒng)=f(kx+b)圖像的作圖.具體過程如下：

1 新方案繪圖步驟

以y=2sin( 2 x +π)為例，即A=2，ω=2，φ=π.2 2第 1步，繪制 y=sin (x +φ)，即 y=ω sin( x +π)的圖像(如圖1).

4

圖2

圖1

注意：為了形象地演示圖2中的虛線怎樣得到，可看圖3及注釋：

圖3

圖4

2 新、舊方案比較

(1)方案1與方案2在作伸長或縮短變換時，指出將所有點橫坐標伸長或縮短.一方面，計算量大;另一方面，手動繪圖不可能實現(xiàn)，只是理論上應(yīng)該如此.新方案更進一步鞏固了“五點法”作圖.

(4)新方案比較容易根據(jù)正弦型圖像求出表達式 y=Asin(ωx+φ).

基于上面的敘述，有如下結(jié)論：

函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖像可依據(jù)大綱要求：會用“五點法”畫正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的簡圖.圖像的繪制從方法上來講一般是依據(jù)表達式或表格進行描點(如果需要再連結(jié)各點)、作圖、平移、旋轉(zhuǎn)、對折等以及到本節(jié)的對基本初等函數(shù)進行拉伸與壓縮變化得到y(tǒng)=Asin(ωx+φ)型初等函數(shù)的作圖法.

圖5

圖6

綜上所述，有如下結(jié)論：

通過對教材中2種方案的改進，一方面可將學(xué)生的繪圖思想得到解放——從三角函數(shù)的繪圖推廣到由y=f(x)圖像得到y(tǒng)=Af(kx+b)圖像的作圖，從而將他們的繪圖技能得到進一步升華.另一方面，培養(yǎng)了學(xué)生實事求是的科學(xué)態(tài)度和勇于探索的精神.