與“因式分解”交朋友

文／江蘇省無錫市西漳中學 陳蘭馨

學習了整式的乘法之后，我知道了整式乘法就是由“乘”到“加”的過程，那反過來，由“加”到“乘”的過程是什么呢？學習完本章，我認識了一位新朋友——因式分解。

由“加”到“乘”的過程就是因式分解。它和整式乘法是互逆的過程，準確地說就是把一個多項式寫成幾個整式的積的形式，這樣的過程叫作多項式的因式分解。注意，單項式是沒有因式分解的哦。

因式分解還有好多解法，比如：提公因式法、公式法、分組分解法、十字相乘法等。下面，我們再來認識一下它的這些解法吧。

提公因式法：一般地，如果多項式的各項有公因式，我們可以把這個公因式提到括號外面，將多項式寫成因式乘積的形式。

公式法：利用完全平方公式或平方差公式將多項式寫成整式乘積的形式。

要想認識它們，就要充分地觀察，發(fā)現(xiàn)它們的特征，這樣就能夠想到和識別出它們了。

例如，因式分解：4ab2-4a2b-b3。

我們先把這個多項式分為3個單項式：4ab2，-4a2b和-b3。仔細觀察后發(fā)現(xiàn)，這三個單項式都有共同的成分b。這個b就是公因式。提取公因式b后，我們得到b（4ab-4a2-b2）。再觀察，發(fā)現(xiàn)括號內為類似于完全平方公式的多項式，但是不完全一樣。要使這個多項式變?yōu)闃藴实耐耆椒焦?，就要提取負號。隨后得到-b（4a2-4ab+b2），接著，利用完全平方公式，得到-b（2a-b）2。

公式法中，除了利用完全平方公式進行因式分解，還可以利用平方差公式進行因式分解。

例如，因式分解：x2y2-16。同學們可以動手做一做哦。

因式分解的第三種解法是分組分解法，即針對前兩種解法無法直接解決的情況，通過分組的方式，從局部到整體，逐步分解。分解的方式一般分為“1+3”式或“2+2”式。

例如，因式分解：x2+2xy+y2-36。

這是一個含有4個單項式的多項式。我們觀察前三項，會發(fā)現(xiàn)這是典型的完全平方公式。于是我們將原式部分分解為（x+y）2-36。有些小伙伴進行到這步，便止步不前了。但我們再將36看成62，把x+y看作一個整體，會出現(xiàn)什么呢？這不是平方差公式嗎？于是，進一步分解，便可以得到（x+y+6）（x+y-6）。

再如，因式分解：x2-7x+6。

通過觀察，我們會發(fā)現(xiàn)，這里沒有公因式，也不具備乘法公式的特征，不能用提公因式法和公式法。我們再仔細觀察，還會發(fā)現(xiàn)，-7x可以拆成-x和-6x，于是原式化為x2-x-6x+6。觀察局部，前兩項有公因式，后兩項也有公因式，于是提公因式法就可以來幫忙了。局部分解，得到x（x-1）-6（x-1）。再提取一次公因式，就得到（x-1）（x-6）。

對比結果和原式，結合思考過程，我們可以發(fā)現(xiàn)：x2可以分解為兩個x的積，6可以看成-1和-6的積，而-7x正好可以看成-x和-6x的和。有人把這個過程設計成“十字相乘”的樣子，如圖1。

圖1

這種“十字相乘”的方法，也是因式分解的第四種方法——十字相乘法。即十字左邊相乘等于二次項，右邊相乘等于常數(shù)項，交叉相乘再相加等于一次項。這其實就是乘法公式（x+a）（x+b）=x2+（a+b）x+ab的逆運算，通過分組分解來進行因式分解。

當然，因式分解的方法可不止這四種，還有其他方法，比如換元法、待定系數(shù)法、雙十字相乘法，等等。有興趣的小伙伴可以利用網絡資源廣泛結識這些好朋友。

教師點評

小作者用輕松的文筆為大家介紹了因式分解及其四種基本方法，不僅注重知識的學習，更關注知識運用的方法及背后的原理。這也啟發(fā)我們，學習數(shù)學知識的時候，不僅要“知其然”，還要“知其所以然”，只有這樣，我們才能學好數(shù)學，好學數(shù)學。