新型UPQC直流電壓的PIλDμ控制

梁祖權(quán) 束洪春

（1. 哈爾濱工業(yè)大學(xué)電氣工程及其自動(dòng)化學(xué)院 哈爾濱 150001 2. 昆明理工大學(xué)電力工程學(xué)院 昆明 650051）

1 引言

在實(shí)際控制系統(tǒng)中，非線性問題廣泛存在，并且許多系統(tǒng)中的非線性元件越來越多，使得傳統(tǒng)的控制問題也越來越多地開始采取非線性控制理論。目前，電力系統(tǒng)中的非線性元件也越來越多，且非線性問題廣泛存在。由于許多實(shí)際系統(tǒng)本質(zhì)上呈現(xiàn)分?jǐn)?shù)而非整數(shù)階次，如文獻(xiàn)[1]分析得出電容對(duì)應(yīng)的積分階次是0.998次而不是通常的1次。在許多控制過程，如精確控制和非線性問題中，傳統(tǒng)的控制很難完全適應(yīng)非整數(shù)階次的需要。

電力系統(tǒng)中，電能質(zhì)量問題已經(jīng)得到越來越多的重視，是目前研究的熱點(diǎn)。統(tǒng)一電能質(zhì)量調(diào)解器（UPQC）作為解決電能質(zhì)量的有效設(shè)備，其有關(guān)的研究報(bào)道已很多，但如何使其工作在更優(yōu)、更精確的狀態(tài)以提高設(shè)備的控制效果仍需進(jìn)一步研究。

分?jǐn)?shù)微積分[2]是基本與古典微積分同時(shí)出現(xiàn)的數(shù)學(xué)，已經(jīng)具有完整的理論，但其應(yīng)用由于受到如數(shù)學(xué)處理工具等客觀條件的限制而只在 20世紀(jì)后期才得到了發(fā)展。PID控制器作為控制系統(tǒng)的經(jīng)典控制器，基本原理是通過基于整數(shù)階次的比例、微分和積分控制器的組合和相應(yīng)系數(shù)的調(diào)整來調(diào)節(jié)被控制系統(tǒng)，其控制靈活，實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單，物理意義明確因而得到廣泛的應(yīng)用。目前PID控制的研究已經(jīng)比較成熟，在此基礎(chǔ)上出現(xiàn)了許多新型PID控制器，并在非線性特性方面也有文獻(xiàn)報(bào)道[3]。目前 PIλDμ控制器[4]在電力系統(tǒng)控制中還沒有報(bào)道。隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)處理器以及相應(yīng)數(shù)學(xué)軟件的高速發(fā)展，使其必將在電力系統(tǒng)及其他許多領(lǐng)域中得到新的廣泛地應(yīng)用。

2 分?jǐn)?shù)階基本定義

目前，分?jǐn)?shù)微分方程的基本定義有許多，最廣泛認(rèn)可的有以下兩種[2]：

Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)微分定義：

Caputo分?jǐn)?shù)微分定義：

式中Γ(·)—— Gamma函數(shù)；

α—— 分?jǐn)?shù)微積分的分?jǐn)?shù)階次，k為整數(shù)，k-1＜α≤k；

上述兩種定義對(duì)于很多實(shí)際函數(shù)都是等效的，其區(qū)別在于對(duì)常數(shù)求導(dǎo)的定義不同，Caputo定義對(duì)常數(shù)的求導(dǎo)是有界的（為0），而Riemann-Liouville定義是無界的，Caputo定義更適用于分?jǐn)?shù)階微積分方程初值問題的描述。

2.1 分?jǐn)?shù)階 PIλDμ控制器

分?jǐn)?shù)階 PIλDμ控制器由 Podlubony提出并對(duì)其進(jìn)行了研究[4]，國內(nèi)學(xué)者[5]也對(duì)其進(jìn)行了原理性的仿真研究，但尚未有其在電力方面應(yīng)用的研究文獻(xiàn)。其定義為

對(duì)上述Caputo定義進(jìn)行Laplace變換后有

通過對(duì)0時(shí)刻的選取可以簡(jiǎn)化上式為

由式（5）可知

當(dāng)λ=0且μ=0時(shí)，G(s)=Kp，為常規(guī)比例控制。

當(dāng)λ=1且μ=0時(shí)，G(s)=Kp+Ki/s，為常規(guī) PI控制器。

當(dāng)λ=0且μ=1時(shí)，G(s)=Kp+Kds，為常規(guī) PD控制器。

當(dāng)λ=1且μ=1時(shí)，G(s)=Kp+Ki/s+Kds，為常規(guī) PID控制器。

由于λ和μ可以為任意實(shí)數(shù)，所以經(jīng)典的 PID控制實(shí)際上就是PIλDμ控制的特例，而PIλDμ控制可以看作為經(jīng)典PID控制的拓展形式。通過選取不同的λ和μ值，能在很大程度上拓寬控制范圍，有可能取得更好的控制效果。PIλDμ控制和經(jīng)典PID控制最大不同在于：PIλDμ控制既可以調(diào)節(jié)三個(gè)增益系數(shù)Kp、Ki、Kd，同時(shí)還可以對(duì)積分和微分的階次進(jìn)行調(diào)節(jié)以增大或減少該環(huán)節(jié)的作用，故其結(jié)構(gòu)更靈活，控制范圍可以更廣；另外，從分?jǐn)?shù)微分的定義可知，其微分也具有記憶功能，故能確保歷史信息對(duì)現(xiàn)在和未來的影響，從而有利于改善系統(tǒng)的控制品質(zhì)；分?jǐn)?shù)階 PIλDμ控制器最突出的特點(diǎn)是具有更強(qiáng)的魯棒性，其對(duì)控制參數(shù)的變化以及對(duì)被控對(duì)象系統(tǒng)參數(shù)的變化不敏感，只要參數(shù)在一定范圍內(nèi)變化，分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制器都能很好地進(jìn)行控制。

2.2 PIλDμ控制器存在問題

（1）由于PIλDμ控制器有5個(gè)自由度可以進(jìn)行控制，故控制范圍更廣，但更多的階次和系數(shù)的選取也增加了優(yōu)化的難度。

（2）實(shí)際應(yīng)用中還存在一定的困難，對(duì)于分?jǐn)?shù)階次的實(shí)現(xiàn)較復(fù)雜，在實(shí)際應(yīng)用的不同情況要采取不同的形式來對(duì)待，例如對(duì)于離散系統(tǒng)來說由于純粹的分?jǐn)?shù)階微分器是不能直接物理實(shí)現(xiàn)的，所以需要用FIR濾波器或IIR濾波器形式來近似，具體討論將在后期工作中研究。

（3）PIλDμ控制器在實(shí)現(xiàn)上較復(fù)雜，在分?jǐn)?shù)階次的計(jì)算上要耗費(fèi)較多的時(shí)間，如何提高計(jì)算時(shí)間和精度間的矛盾問題還有待研究。

3 UPQC直流電壓控制系統(tǒng)

統(tǒng)一質(zhì)量調(diào)解器（UPQC）[6]是用戶電力的重要成員，能有效提高電力系統(tǒng)的電能質(zhì)量，其具有消除諧波，補(bǔ)償無功等功能。國內(nèi)外有關(guān)的研究已經(jīng)比較深入。為使主電路正常運(yùn)行，需使UPQC直流側(cè)電容電壓維持在一固定的數(shù)值，以保證主電路在任何時(shí)刻都能跟隨指令的變化產(chǎn)生正確的補(bǔ)償量，否則會(huì)出現(xiàn)降低補(bǔ)償精度的欠補(bǔ)償和可能增加諧波的過補(bǔ)償。直流側(cè)電壓變化的原因有：

（1）逆變器元件本身亦要消耗一定的能量而引起的電壓變化。

（2）若系統(tǒng)中存在負(fù)序電流, 則其與系統(tǒng)電壓在直流側(cè)產(chǎn)生的能量脈動(dòng)也可使直流電壓波動(dòng)；不同次的諧波電壓和諧波電流的相互作用將與電容產(chǎn)生能量交換，從而使得直流側(cè)電壓發(fā)生波動(dòng)等。

目前UPQC控制中通常采用的直流側(cè)電容電壓控制基本原理是：根據(jù)瞬時(shí)無功功率理論[6]，針對(duì)直流側(cè)電容電壓的實(shí)際測(cè)量值udc與基準(zhǔn)值udcref之差，通過PI控制得到調(diào)節(jié)結(jié)果Ic，將其疊加到瞬時(shí)有功電流的直流分量上，補(bǔ)償電流生成電路（UPQC并聯(lián)部分）產(chǎn)生與其相應(yīng)的補(bǔ)償電流進(jìn)入系統(tǒng)，使得UPQC的補(bǔ)償電流中包含一定的基波有功電流分量，從而使UPQC的直流側(cè)與交流側(cè)產(chǎn)生能量交換，將udc調(diào)節(jié)到基準(zhǔn)值。其原理如圖1所示。

圖1 直流電容電壓控制原理Fig.1 The control scheme of the DC capacitor voltage

雖然UPQC的控制方法有許多，但直流電容電壓控制的原理基本相同[7-8]，即通過 PI控制過程使得 UPQC補(bǔ)償電流中包含一定的基波有功電流分量，其控制參數(shù)主要是比例和積分系數(shù)Kp、Ki，該過程中可能會(huì)有比較大的超調(diào)量和靜差，響應(yīng)速度也較慢。

對(duì)于直流電容電壓的分?jǐn)?shù)階 PIλDμ控制器，只需將圖 1中的 PI環(huán)節(jié)換成分?jǐn)?shù)階 PIλDμ控制器即可。

4 PIλDμ控制的實(shí)現(xiàn)

對(duì)于 PIλDμ控制器存在的問題，在具體實(shí)現(xiàn)時(shí)要有針對(duì)性的解決。文獻(xiàn)[5]對(duì) PIλDμ的控制主要是針對(duì)已知函數(shù)信號(hào)的處理，而在實(shí)際應(yīng)用中控制信號(hào)通常是未知的或由于反饋等原因而很難精確表達(dá)的，因此對(duì)于該類信號(hào)需要采取如濾波器的形式來對(duì)其進(jìn)行數(shù)值微分處理，即通過濾波器的輸出來實(shí)現(xiàn)信號(hào)的分?jǐn)?shù)階數(shù)值微分運(yùn)算。

文獻(xiàn)[9]列出了許多連續(xù)濾波器的實(shí)現(xiàn)算法，本文亦采取其中的 Oustaloup算法來構(gòu)造分?jǐn)?shù)階連續(xù)濾波器。假設(shè)擬合頻率段為（ωb,ωh），其傳遞函數(shù)模型為

式中，濾波器的零極點(diǎn)、增益可由下式求出：

其中，r為分?jǐn)?shù)階次；2N+1為濾波器階次；ωh、ωb是擬合頻率的上限和下限，如果擬合的頻率范圍較大，需適當(dāng)增加擬合的階次。本文中ωb=0.0001，ωh=10000，N=4。

對(duì)于分?jǐn)?shù)階次的選取可以通過最優(yōu)控制規(guī)則和主導(dǎo)極點(diǎn)法等方法來獲得，考慮到直流電壓控制本質(zhì)上是一個(gè)優(yōu)化過程，本文是就 PIλDμ控制器的效果進(jìn)行評(píng)定，故對(duì)分?jǐn)?shù)階次的選取上以仿真結(jié)果為參考。

5 仿真及比較

Matlab是數(shù)學(xué)模型軟件包，Matlab語言具有強(qiáng)大的計(jì)算功能和豐富的圖形功能，編程效率高，擴(kuò)充能力強(qiáng)，而且具有功能齊備的各種工具箱，所以Matlab語言已成為目前應(yīng)用最廣泛的數(shù)值計(jì)算軟件，EMTDC/PSCAD是暫態(tài)分析程序，兩者之間具有互補(bǔ)性，通過程序提供的接口可把兩者的優(yōu)點(diǎn)結(jié)合起來。本文采用 EMTDC/PSCAD來搭建 UPQC仿真模型。PIλDμ控制器采取上述的Oustaloup算法通過Matlab來實(shí)現(xiàn)，通過EMTDC/PSCAD與Matlab的接口來調(diào)用。

針對(duì) UPQC直流電壓的建立過程，采取 PIλDμ控制器，取Kp=0.55、Ki=10、Kd=0.001，利用 Matlab軟件進(jìn)行了仿真。

5.1 λ 對(duì)系統(tǒng)控制的影響

取λ值分別等于 0.85、0.95、1.0、1.005、1.01和1.2，得到直流電壓的響應(yīng)曲線如圖2所示。由圖2可知，隨著λ的增大，直流電容電壓的動(dòng)態(tài)性能由差（λ=0.85）慢慢變好（λ=1.01），之后又變差（λ=1.2）。當(dāng)λ＜1.01時(shí)，圖 2中直流電壓超調(diào)量的大小與λ的增加成反方向，λ越小，超調(diào)量越大；但當(dāng)λ＞1.05后，動(dòng)態(tài)響應(yīng)效果又明顯變差，主要表現(xiàn)在響應(yīng)時(shí)間的增大上。

圖2 不同λ 值下直流電容電壓曲線Fig.2 The DC capacitor voltage waveforms of different values of λ

通過仿真結(jié)果對(duì)比后可以說明：通過改變?chǔ)说娜≈?，能夠有效地提高階躍響應(yīng)的控制效果，在非整數(shù)階次積分環(huán)節(jié)下能夠?qū)ふ业较啾日麛?shù)階次積分環(huán)節(jié)具有更小超調(diào)量和響應(yīng)時(shí)間的控制效果。

5.2 μ 對(duì)系統(tǒng)控制的影響

與分析λ時(shí)的條件相似，取Kp=0.55、Ki=10、Kd=0.001，并令λ=1。分別取μ值為 0.01、0.15、0.29、0.35、0.46和1.0，得到直流電容的電壓波形如圖3所示。

圖3 不同μ 值下直流電容電壓曲線Fig.3 The DC capacitor voltage waveforms of different values of μ

μ值的大小，意味著微分環(huán)節(jié)的強(qiáng)弱。由圖 3可知，當(dāng)μ=0.29時(shí)，直流電壓的動(dòng)態(tài)性能較好，而當(dāng)μ值偏離0.29時(shí)（即大于或小于0.29時(shí)），直流電壓的控制效果逐漸變差。

仿真結(jié)果同樣說明：通過改變?chǔ)痰娜≈?，可以有效地提高階躍響應(yīng)的控制效果，在非整數(shù)階次微分環(huán)節(jié)下能夠?qū)ふ业较啾日麛?shù)階次微分環(huán)節(jié)具有更小超調(diào)量和響應(yīng)時(shí)間的控制效果。

5.3 UPQC直流電容電壓PIλDμ控制的動(dòng)態(tài)效果仿真

EMTDC/PSCAD與Matlab接口的內(nèi)部結(jié)構(gòu)如圖4所示。

圖4 EMTDC/PSCAD與Matlab接口示意圖Fig.4 The scheme of EMTDC/PSCAD-Matlab interface

內(nèi)部接口實(shí)現(xiàn)具體要求：

（1）在EMTDC/PSCAD中提供所定義的m文件。

（2）在利用EMTDC/PSCAD提供的自定義模塊來實(shí)現(xiàn)與Matlab的接口，并對(duì)其輸入和輸出數(shù)據(jù)的類型和維數(shù)等性質(zhì)進(jìn)行定義，指定m文件的具體位置。

（3）需要采用Fortran90編譯器并在EMTDC/PSCAD中設(shè)定F90編譯器和Matlab的路徑。

仿真中系統(tǒng)側(cè)三相線電壓為0.2kV，含有250Hz幅值為0.02kV和350Hz幅值為0.02kV的諧波電壓，負(fù)載側(cè)為三相整流電路接電阻 2.5Ω和電感 1mH的串聯(lián)負(fù)載。UPQC在0.2s時(shí)投入，直流電容電壓給定值為0.6kV。為考察其動(dòng)態(tài)特性，在0.3s投入另一組負(fù)載，持續(xù) 0.06s后切除，仿真時(shí)間共 0.5s，利用上述方式求得的控制結(jié)果如圖5和圖6所示。圖中的 3條曲線分別為采用傳統(tǒng) PI控制、PIλ控制和PIλDμ控制后的直流電容電壓波形（圖中符號(hào)udc之后的下標(biāo)pi表示PI控制、fpi表示PIλ控制、fpid表示 PIλDμ控制）。其中，Kp=0.55、Ki=10、Kd=0.001；在 PIλ控制中，取λ=1.005；在 PIλDμ控制中，取λ=1.01，μ=0.3。

由上面的結(jié)果可知，在同樣的Kp、Ki下，采取PIλ和 PIλDμ控制都能夠更精確地得到控制結(jié)果，兩者的差距不大，但傳統(tǒng)的 PI控制則存在一定的誤差，而由圖6可知，分?jǐn)?shù)階控制器的動(dòng)態(tài)效果也要好些，具有更小的超調(diào)量和響應(yīng)速度，即 PIλDμ控制具有更強(qiáng)的魯棒性和控制效果。對(duì)于本文所述的控制對(duì)象，由于 PIλDμ比 PIλ更難實(shí)現(xiàn)，所以采取 PIλ即可達(dá)到很好的控制效果。

圖5 直流電容電壓放大波形Fig.5 The zooming in waveforms of the DC capacitor voltage

圖6 直流電容電壓局部放大波形Fig.6 The partly zoomed waveforms of the DC capacitor voltage

6 結(jié)論

分?jǐn)?shù)階 PIλDμ控制規(guī)律增加了控制器設(shè)計(jì)的靈活性，為進(jìn)一步提高控制系統(tǒng)的性能提供了可能。本文設(shè)計(jì)了 PIλDμ控制器，并將其應(yīng)用于 UPQC直流電容電壓的定值控制。仿真結(jié)果顯示，PIλDμ控制較傳統(tǒng)的 PI控制，要更加精確且具有更強(qiáng)的魯棒性，結(jié)構(gòu)更靈活，控制范圍也更廣，可以應(yīng)用于精確控制和非線性問題。

[1] Westerlund S. Capacitor theory[J]. IEEE Trans. on Dielectrics Electron Insulation, 1994, 1(5): 826-839.

[2] Podlubny I. Fractional differential equations[M]. New York: Academic Press, 1999.

[3] 胡包鋼. 非線性PID控制器研究—比例分量的非線性方法[J]. 自動(dòng)化學(xué)報(bào), 2006, 32(2): 219-227.

Hu Baogang. A study on nonlinear PID controllersproportional component approach[J]. Acta Automatica Sinica, 2006, 32(2): 219-227.

[4] Podluby I. Fractional-order systems and PIλDμ-controllers[J]. IEEE Transactions on Automatic Control, 1999, 44(1): 208-214.

[5] 曾慶山, 曹廣益, 王振斌. 分?jǐn)?shù)階 PIλDμ控制器的仿真研究[J]. 系統(tǒng)仿真學(xué)報(bào), 2004, 16(3): 465-473.

Zeng Qingshan, Cao Guangyi, Wang Zhenbin.Simulation research on fractiona1 order PIλDμcontroller[J]. Journal of System Simulation, 2004,16(3): 465-473.

[6] Fujita H, Akagi H. The unified power quality conditioner: the integration of series and shunt-active filters[J]. IEEE Transactions on Power Electronics,1998, 13(2): 315-322.

[7] 朱鵬程, 李勛, 康勇, 等. 統(tǒng)一電能質(zhì)量控制器控制策略研究[J]. 中國電機(jī)工程學(xué)報(bào), 2004, 24(8):67-73.

Zhu Pengcheng, Li Xun, Kang Yong, et al. Study of control strategy for a unified power quality conditioner[J]. Proceedings of the CSEE, 2004, 24(8):67-73.

[8] 李鵬, 楊以涵. 基于H∞控制理論的UPQC串并聯(lián)單元協(xié)調(diào)控制的實(shí)現(xiàn)[J]. 中國電機(jī)工程學(xué)報(bào), 2006,26(20): 91-97.

Li Peng, Yang Yihan. Realization for coordinated control of UPQC series unit and shunt unit based onH∞control theory[J]. Proceedings of the CSEE, 2006,26(20): 91-97.

[9] 張邦楚, 王少鋒, 韓子鵬, 等. 飛航導(dǎo)彈分?jǐn)?shù)階PID控制及其數(shù)字實(shí)現(xiàn)[J]. 宇航學(xué)報(bào), 2005, 26(5):653-656.

Zhang Bangchu, Wang Shaofeng, Han Zipeng, et al.Using fractional-order PID controller for control of aerodynamic missile[J]. Journal of Astronautics，2005,26(5): 653-656.

[10] Axtell M, Bise E M. Fractional calculus application sin control systems[C]. Proceedings of the IEEE 1990 Nat. Aerospace and Electronics Conf, New York,USA, 1990: 563-566.

[11] 樓森岳, 唐曉艷. 非線性數(shù)學(xué)物理方法[M]. 北京：科學(xué)出版社, 2006.

[12] 袁曉, 張紅雨, 虞厥邦. 分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)與數(shù)字微分器設(shè)計(jì)[J]. 電子學(xué)報(bào), 2004, 32(10): 1658-1165.

Yuan Xiao, Zhang Hongyu, Yu Juebang. Fractionalorder derivative and design of fractional digital diferentiators[J]. Acta Electronica Sinica, 2004,32(10): 1658-1165.

[13] 蔡智富, 張?chǎng)? 劉志宏, 等. 基于提升靜態(tài)小波-分?jǐn)?shù)階傅立葉變換的 LFM 識(shí)別[J]. 數(shù)據(jù)采集與處理, 2008, 23(5): 542-546.

Cai Zhifu, Zhang Wenwen, Liu Zhihong, et al.Recognition of LFM signals based on lifting SWT-FRFT[J]. Journal of Data Acquisition &Processing, 2008, 23(5): 542-546.

[14] Xue Dingyu, Chen Yangquan. Fractional order calculus and its applications in mechatronics and power electronics-an introduction[C]. 2nd IEEE Conference on Industrial Electronics and Applications, 2007: xlvi.