尾部條件期望約束下最優(yōu)保險合同的選擇

高志強，張夢琳

（南開大學 風險管理與保險學系，天津 300071）

0 引言

尾部條件期望（Tail probability expectation,CTE）是一個優(yōu)于在險價值（Value at Risk，VaR）的風險度量指標，也是目前最常用的風險度量指標。

因此，以CTE代替VaR作為約束條件，是具有積極意義的。本文的目的就是完成這一任務，并從中得到一些有用的結論。本文的貢獻和創(chuàng)新主要有以下兩個方面：第一，本文將CTE引入了最優(yōu)保險合同的研究領域。盡管CTE的性質優(yōu)于VaR，但是其計算也更加復雜。在優(yōu)化的過程中，本文采用了大量的分情況討論，用以代替復雜的數學計算。第二，本文將免賠額保險同賠款上限保險結合在一起考慮，過程更加一般化。之前的研究不允許保險合同中同時具有免賠額和賠款上限，將其視為兩種保險合同。本文稱這種同時具有免賠額和賠款上限的保險合同為一般保險合同，實際上免賠額保險是一般保險的一種特殊形式。

本文假設保費為比例保費，是損失期望的一定比例。在這一假設條件下，本文發(fā)現(xiàn)免賠額保險總是最優(yōu)的保險方式。本文對CTE限定下最優(yōu)保險合同的研究只是初探，該方面的研究還遠未完成，有很多可以繼續(xù)進行的地方，譬如采用其他形式的保費、引入效應函數等等。希望有更多的學者投入到該領域的研究中。

1 模型的構建

1.1 風險度量指標

最優(yōu)保險合同的計算是在一定的約束條件下進行的，而約束條件的目的是將投保人的風險控制在一定程度內，因此，首先要確定一個合適的風險度量指標。盡管VaR也是一個被廣泛使用的風險度量指標，但是相關研究證明CTE更加優(yōu)秀。一致性是對風險度量指標非常重要的一個性質，Artzner（1999）、Pflug（2000）證明 CTE 具有一致性的性質，而VaR則不具有該性質。Bucay、Rosen（1999）較早的將CTE用于信用風險的度量中。隨后，更多的學者將其用于優(yōu)化問題，如 Uryasev（2000、2002），Jun Cai、Ken Seng Tan（2007）等。

如果是一個連續(xù)型隨機變量，VaRα(X)是滿足式的唯一解：

CTE通常通過F式來計算：

通常情況下，α的取值小于5%。但是當VaRα(X)值附件存在概率質量的話，也就是說如果存在ε>0，使得VaRα(X)=VaRα-β，式（1）和式（2）的計算方法就不再適用。 此時，應該調整為：

設 β=min{γ∶VaRγ(X)=VaRα(X)}，有：1.2 假設條件

假設投保人最初的財富值為W0，其面對的風險所造成的損失為X，X是一個 [0，T]內分布的非負的連續(xù)型隨機變量，密度函數為f(x)，分布函數為F(x)。為了管理風險，投保人選擇了購買保險。當損失為x時，保險合同補償的金額為I(x)，0≤I(x)≤x。保費為P，是保險人補償金額的期望值的一定比例，P=λE[I(X)]。購買保險后，投保人的財富變?yōu)閃0-P；發(fā)生損失后，投保人的財富變?yōu)閃0-P-X+I(X)。因此，購買保險后，投保人可能的損失為(W0-P)-[W0-P-X+I(X)]=X-I(X)?，F(xiàn)在將R(X)=X-I(X)定義為投保人的自留風險。由于X是一個隨機變量，因此R(X)也是一個隨機變量。投保人希望將自留風險控制在可接受的范圍內，即約束條件為CTEα[R(X)]≤N。其中，1-α是置信區(qū)間，N代表投保人可以承受的風險。1.3 最優(yōu)保險合同問題

本文構建的最優(yōu)保險合同的模型，是在保證一定的安全程度下，使得保費最小，具體表示為：在CTEα[R(X)]≤N的約束條件下，最小化P。如果要使得自留風險更小，也就是使CTEα[R(X)]更小，投保人需要購買更多的保險。因此，要使得保費最小，原約束條件等同于CTEα[R(X)]=N。再來看P，因為P=λE[I(X)]，而λ是一個固定的值，因此最小化的目標可以變?yōu)镋[I（X）]。因此，本文需要解決的問題是在滿足CTEα[R(X)]=N的約束條件下，選擇一定的保險合同，使得E[I（X）]最小。

本文比較的是兩種最重要的保險合同：一般保險合同和比例保險合同。首先，本文通過對不同的免賠額和賠款上限的討論，選擇一般保險合同中的最優(yōu)形式；然后，本文將最優(yōu)的一般保險合同與比例保險合同進行比較，最終選出一個最優(yōu)保險合同。

2 一般保險合同

2.1 一般保險合同的形式

之前的研究都是將具有免賠額的保險與具有賠款上限的保險區(qū)分開，如 Wang（2005）、Hung-Hsi Huang（2006）等。實際上，投保人在保險合同中可以同時選擇免賠額和賠款上限，這樣投保的風險較少，需繳納的保費也相應較少。當一般保險合同中免賠額為0時，一般保險合同就變?yōu)橘r款上限保險；當一般保險合同中賠款上限為損失最大值時，一般保險合同就變?yōu)槊赓r額的保險?？梢姡话惚ｋU合同是一種更一般的保險合同。

設一般保險合同中，免賠額為a，賠款上限為b，0≤a≤b≤T。發(fā)生損失后，保險公司對投保人的賠付為：

因此，投保人的自留風險為：

由式（6）可知，R（x）是一個關于 x的非遞減函數，不難證明 VaRα[R(X)]=R[VaRα(X)]

2.2 對免賠額及賠款上限的討論

直接研究CTE約束下最優(yōu)一般保險合同的問題會非常復雜，這里首先探討免賠額、賠款上限和VaRα(X)在不同位置關系下的最優(yōu)一般保險合同，為后文的分析做準備工作，現(xiàn)在分三種情況對免賠額及賠款上限進行討論：

2.2.1 b≤VaRα(X)

這種情況下，R(x)與x的關系如圖1所示。曲線R(x)交x于D點，設D點縱坐標為d。此時，最優(yōu)問題的約束條件為：

根據圖 1，不難得出 VaRα(X)=d+(b-a)。 由式（7）可知，當N確定后，d也是確定的，由于VaRα(X)也是確定的，因此，免賠額和賠款上限的選擇要滿足b-a=VaRα(X)-d。此時，a是關于b的函數，并且滿足da/db=1?，F(xiàn)在的目標是使式（8）最小化。

將式（8）相對b進行求導，并代入da/db=1，得到：

圖1 投保人的自留風險（實線部分）

很明顯式小于0。因此，式（8）是關于b的減函數。當b=VaRα(X)時，式(8)取得最小值。

結論一：b≤VaRα(X)時，最優(yōu)的保險合同形式是賠款上限等于 VaRα(X)。

2.2.2 a＜VaRα(X)＜b這種情況下，約束條件可以寫為：

最小化的目標是：

由式（10）可知，此時a是關于b的函數。將式(10)兩邊關于b求導，可以得到da/db的值。將式（11）對b進行求導，并代入由式得到的da/db的值，有：

將式（12）繼續(xù)對b進行求導，得到：

因為 a＜Varα(X)，所以當 b=T 時，式（12）等于0，式（13）大于 0。 因此，式（11）在 b=T 時取最小值。

結論二：a＜VaRα(X)＜b 時，最優(yōu)的保險合同形式是免賠額保險。

2.2.3 VaRα(X)≤a

在這種情況下，約束條件可以寫作：

最小化的目標是：

將式（14）代入式（15），不難發(fā)現(xiàn)式（15）是一個固定的值。也就是說，在滿足約束條件的情況下，免賠額和最高限額的選擇并不影響保險合同的保費。此時，本文將b=T作為最優(yōu)解也是可以的。

結論三：VaRα(X)≤a時，最優(yōu)的保險合同形式是免賠額保險。

2.3 最優(yōu)的一般保險合同

根據上文的分析，在免賠額、賠款上限與VaRα(X)的三種位置關系中，有兩種最優(yōu)保險合同的形式：賠款上限等于VaRα(X)的一般保險合同與免賠額保險合同。但是上文并沒有考慮到值的影響，現(xiàn)在考慮值給定的情況下，如何選擇在上述兩種一般保險合同中選擇一種最優(yōu)形式。

當賠款上限為VaRα(X)時，如果免賠額為0，可以得到：

這是最復雜的一種情況，在這種情況下，賠款上限為VaRα(X)的一般保險合同和免賠額保險合同都是可能的。這里需要比較的是在滿足約束條件的情況下，哪種保險合同更加節(jié)省保費。但是，現(xiàn)在仍然不能對兩種保險合同進行直接比較，因為免賠額保險的免賠額小于VaRα(X)時和免賠額大于VaRα(X)時，自留風險的CTE的計算公式不同，需要進一步分情況討論。設一般保險合同中的免賠額為a，賠款上限為VaRα(X)；設免賠額保險合同中的免賠額為c。當免賠額保險合同中的免賠額等于VaRα(X)時，有：

這種情況下，滿足條件的免賠額保險合同中的免賠額要大于VaRα(X)。兩種保險合同的約束條件為：

兩種保險合同的保費差為：

不難發(fā)現(xiàn)式（19）是一個關于c遞減的函數，當c=T時取得最小值。當c=T時，式（19）等于0。這說明，式（19）是大于等于0的，也就是說，N在這個區(qū)間內無論取什么值，免賠額保險合同的保費更低。

第一個區(qū)間：

此時，免賠額保險合同中的免賠額都要大于VaRα(X)，計算的過程同情況（1）相同。免賠額保險合同的保費更低。

第二個區(qū)間：

如果N屬于這個區(qū)間，說明免賠額保險合同中的免賠額小于等于VaRα(X)。兩種保險合同的約束條件為：

兩種保險合同的保費差為：

不難說明當 c=VaRα(x)時，式（21）取最小值，但是仍然大于0。因此，式（21）大于0。說明這種情況下，N在這個區(qū)間內無論取什么值，免賠額保險合同更加節(jié)省保費。

綜合以上幾種情況，可以得出的結論是：在CTE的約束下，在一般保險合同中，沒有上限的免賠額保險合同是最優(yōu)的。

3 比例保險合同

上文主要分析了最優(yōu)的一般保險合同，這里將免賠額保險合同與比例保險合同進行比較，研究在CTE的約束條件下，哪種保險合同更加節(jié)省保費。比例保險合同，即將風險的一部分進行投保。當發(fā)生的損失為X時，保險公司的賠付額為θX，θ為保險比例。因此，在比例保險合同下，投保人的自留風險為(1-θ)X。設免賠額保險合同中的免賠額為c。下面根據N的不同分情況討論。

在這種情況下，免賠額保險合同中的免賠額小于等于VaRα(X)。免賠額保險與比例保險的約束條件為：

在滿足上面的約束條件下，兩種保險的保費差為：

整理式（22），可得：

假設在規(guī)定的區(qū)間內可以隨意變動，可以將式（23）看作一個關于N的函數G（N），對G（N）關于N求導，得到：

將式（24）、（25）代入式（26），進行整理，得到：

可以證明，G'(N)是一個關于遞增的函數，G'(0)＜0，G'(VaR(x))>0。這說明從N=0開始，G（N）開始遞減，到達一個最小值后，G（N）開始遞增，一直增到 N=VaRα(x)。

當N=0時，c=0，θ=1，也就是投保人全額投保，不自留任何風險，此時 G(N)=0。 當 N=VaRα(X)時，有：

不難證明，式（28）小于0。由以上分析，可以得出結論：在此區(qū)間內，G（N）＜0，也就是說，N在這個區(qū)間內無論取什么值，免賠額保險都更加節(jié)省保費。

這種情況下，免賠額保險中的免賠額大于VaRα(X)，此時，兩種保險的約束條件為：

設兩種保險的保費差是免賠額的函數：

假設N在規(guī)定的區(qū)間內可以隨意變動，由式（29）左邊的等式可知，當N取不同值時，θ時關于c的函數。將等式兩邊對c求導，得到：

將式（30）對c求導，并將式（31）代入，整理后可以得到：

c≠T時，式(32)明顯大于 0，因此 G(c)是關于 c的增函數。當c=T時，說明投保人自己可以承受所有風險，不需要購買保險，此時G(VaRα(X))=0。根據以上分析可知，在這個區(qū)間內，G(c)＜0，也就是說，N在這個區(qū)間內無論取什么值，免賠額保險都更加節(jié)省保費。

綜合以上分析，可以得出結論：在CTE的約束條件下，免賠額保險優(yōu)于比例保險。

4 結論

本文的目的是將投保人的自留風險控制在一定水平下，選擇一種最節(jié)省保費的保險合同。通過對多種情況分別進行的討論，本文得出的結論是：在CTE的約束條件下，最優(yōu)保險合同的形式是免賠額保險。如果仔細思考，這一結論是合理的。CTE只考慮在一定損失水平之上的平均損失，也就是極端情況的平均損失，而不考慮那些發(fā)生概率比較大但是金額很低的損失。在比例保費的情況下，所有風險都有相同的價格。因此，合理的作法是為發(fā)生概率較小但是損失金額很大的那部分風險進行投保，而對那些發(fā)生概率比較大但是金額很低的損失則不投保。這樣，既保證CTE處于一個比較小的水平，又可以有效的降低保費。因此，在CTE的約束條件下，免賠額保險應該是投保人的最優(yōu)選擇。這對實際生活中企業(yè)或個人的風險管理具有重要的指導意義：投保人在購買保險時，首先要確定自身的風險承受能力，確定自留風險的大小，然后購買相應的免賠額保險。這樣，既可以保證將自留風險維持在可承受范圍內，又可以使得保費支出最小化。

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