基于AR（1）需求模式和固定間隔期訂貨點法的牛鞭效應(yīng)分析

周章金，郭進利

（上海理工大學(xué)，上海 200093）

0 引言

1961年Forrester首先發(fā)現(xiàn)需求隨著供應(yīng)鏈上游逐級放大的現(xiàn)象并做了相應(yīng)的研究，初步揭示了供應(yīng)鏈中時間延遲、需求放大等動態(tài)性的存在，該現(xiàn)象被稱為“牛鞭效應(yīng)”，同時也被稱為“Forrester效應(yīng)”。目前對這種現(xiàn)象的稱謂很多，有一般人所熟知的“蝴蝶效應(yīng)”，也有稱為牛鞭效應(yīng)、長鞭效應(yīng)、供應(yīng)鏈需求信息的扭曲、信息時滯。

1984年，麻省理工學(xué)院的J.D.Sterman教授為證實牛鞭效應(yīng)的存在主持了一項供應(yīng)鏈物流管理動態(tài)模擬實驗——啤酒實驗。實驗結(jié)果顯示：每個經(jīng)營者都有自己的庫存量決策依據(jù)，他們相信市場波動是外部因素造成的，而消費者需求正是順應(yīng)這種波動而發(fā)生變化的。

美國斯坦福大學(xué)的教授Lee及其合作者把導(dǎo)致牛鞭效應(yīng)的原因歸納為以下5種原因：（1）需求信號處理；（2）限量供應(yīng)和短缺博弈；（3）交貨時間延遲；（4）價格波動；（5）批量訂貨[1]。

本文研究牛鞭效應(yīng)與其他的定量研究有所不同，本文不考慮供應(yīng)鏈中的預(yù)測因素，而只考慮非預(yù)測因素對牛鞭效應(yīng)的影響。通過基于AR（1）的需求模式和訂貨點法的庫存策略，分析了平滑期、相關(guān)系數(shù)及提前期等對牛鞭效應(yīng)的影響，并為盡可能減少牛鞭效應(yīng)提出了一些方法手段。

1 模型假設(shè)及前提

本節(jié)的研究對象是由1個零售商和1個生產(chǎn)商組成的簡單兩級供應(yīng)鏈系統(tǒng)。假設(shè)零售商是生產(chǎn)商的唯一買方，他們之間只交易1種產(chǎn)品。雙方的行為發(fā)生在一個無限離散的時間范圍內(nèi)，即 t=-∞,…，-1，0，1，…，∞。 零售商從發(fā)出訂單到收到貨物的時間（即提前期）L[2][3]。

用于模擬終端顧客的需求的方法有從簡單的獨立同分布到動態(tài)非穩(wěn)定的一系列隨即過程。實踐證明，沒有任何一種需求預(yù)測的方法能夠完全真實的反映實際的情況。由于AR（1）模擬終端顧客需求較為成熟，且計算難度不大，成為眾多學(xué)者優(yōu)先選擇的對象。

同時零售商可采用的需求預(yù)測的方法也是琳瑯滿目，例如，一次移動平均法SMA、二次移動平均法DMA、一次指數(shù)平滑法SES、布朗單參數(shù)指數(shù)平滑法BSES、霍爾特雙參數(shù)指數(shù)平滑法HDES、溫特季節(jié)性指數(shù)平滑法WSES等等。本文僅采用一次移動平均法SMA。

因此，我們假設(shè)零售商面對的終端顧客的需求為一個簡單的平穩(wěn)AR（1）自相關(guān)時間序列：

式中：Dt：t時期終端顧客的需求；

μ：非負常數(shù)；

ρ：相鄰兩個時期終端顧客需求之間的相關(guān)系數(shù)，|ρ|＜1為需求平穩(wěn)的條件；

εt：市場需求的變動誤差，且εt為滿足均值為0，方差為σ2的獨立同分布隨機變量。

由（1）式我們很容易導(dǎo)出Dt的均值及方差：

圖1 需求預(yù)測過程中的牛鞭效應(yīng)（-1＜ρ＜1，P=5；P=8）

圖2 二級供應(yīng)鏈牛鞭效應(yīng)L與P的關(guān)系（ρ=0.7）

在這里，我們可以注意到，變量取不同的值代表了不同的需求模式：當(dāng)μ=0，ρ=1時，需求為隨即游走過程；當(dāng)ρ=0時，需求為均值為μ，方差為σ2的獨立同分布過程；當(dāng)-1＜ρ＜0時,相鄰兩期需求負相關(guān),過程呈現(xiàn)振蕩行為；當(dāng)0＜ρ＜1時,相鄰兩期需求正相關(guān),過程呈現(xiàn)波動趨勢;當(dāng)|ρ|→1時,需求過程呈非穩(wěn)定狀態(tài)[4]。

2 需求預(yù)測過程中的牛鞭效應(yīng)

移動平均法簡單易用，且效果不錯，被廣泛應(yīng)用于企業(yè)的經(jīng)營管理中。假設(shè)零售商采用移動平均法，平滑期為p，則零售商對時期t的需求預(yù)測為：

式中：Dt-i：終端顧客在t-i時期的實際需求。

考慮到訂貨提前期L，這段時期內(nèi)的總需求預(yù)測為：

由（3）式我們可以得出：

由圖1我們可以看出固定ρ，增加平滑期P能夠減小牛鞭效應(yīng)，但隨著P增加減小作用減少；提前期L越長，牛鞭效應(yīng)越顯著，同時L小于某最小值時，沒有牛鞭效應(yīng)發(fā)生，該最小值隨著ρ的增大而減小。

3 信息處理過程中的牛鞭效應(yīng)

零售商對終端顧客的需求做出預(yù)測后，需要根據(jù)自己的庫存策略向生產(chǎn)商進行訂購。在經(jīng)典的庫存理論中，有固定量系統(tǒng)，固定間隔期系統(tǒng)和最大最小系統(tǒng)。公司一般都是間隔一定時期來在ERP系統(tǒng)中Run MRP，故采用與Run MRP相同周期的固定間隔補貨期是經(jīng)濟合理的。即每隔一個周期，采用訂貨點法將庫存補充到一個最高水位yt。有[5]：

yt：零售商采用訂貨點法的得到的t期的最高庫存；

那么零售商向生產(chǎn)商發(fā)出訂單的數(shù)量為：

將（3）（7）帶入（8），有：

為了方便起見，我們令z=0，故上式有：

則qt的方差為：

令B表示信息處理過程中的牛鞭效應(yīng)，有：

由于前面有假設(shè)|ρ|＜1，故(1-ρP)＞0，因此 B＞1，即零售商向供應(yīng)商發(fā)出的訂貨量始終大于終端顧客的實際需求Dt。進一步分析，有：

因此，隨著提前期L的增大，牛鞭效應(yīng)將增大；平滑期P越長，牛鞭效應(yīng)將減小。

至于 ρ，應(yīng)該分類討論，當(dāng) 0＜ρ＜1 時，?B/?L＜0，即相關(guān)系數(shù)ρ越大，牛鞭效應(yīng)越??；當(dāng)ρ=0時，B=1+2L/P(1+2L/P)，牛鞭效應(yīng)ρ與值無關(guān)，僅取決與L/P的比值；

當(dāng)-1＜ρ＜0 時，若 P 為偶數(shù)，?B/?L＞0，即相關(guān)系數(shù) ρ越大，牛鞭效應(yīng)越大；

若 P 為奇數(shù)，?B/?L＜0，即相關(guān)系數(shù) ρ 越大，牛鞭效應(yīng)越小。

4 信息傳遞過程中的牛鞭效應(yīng)

本文研究的是耳機供應(yīng)鏈系統(tǒng)，如果生產(chǎn)商與零售商之間沒有進行信息共享，那么生產(chǎn)商在向上一級訂購原材時，也只能根據(jù)零售商以前向他訂貨的歷史數(shù)據(jù)來進行預(yù)測，即零售商的訂購模式就是生產(chǎn)商的需求模式。

將（1）式帶入（9）式得生產(chǎn)商在t時期對零售商的需求預(yù)測為：

進一步推導(dǎo)qt的均值和方差：

移相整理得：

我們可以觀察到（17）式中的牛鞭效應(yīng)的表達式與（11）一樣。同時由（15）我們可以觀察到，當(dāng)終端顧客的需求信息為AR(1)的時間序列時，零售商采用移動平均法的預(yù)測方法和訂貨點法的庫存策略時，生產(chǎn)商與零售商之間信息不共享，那么生產(chǎn)商的需求預(yù)測為一個ARMA（1，P）的隨機過程。

5 小結(jié)

本文推導(dǎo)了基于AR（1）需求模式和訂貨點法的二級供應(yīng)鏈牛鞭效應(yīng)的量化模型，推導(dǎo)了零售商在對終端顧客的需求預(yù)測中，零售商在向生產(chǎn)商訂貨的信息處理過程中，生產(chǎn)商在預(yù)測零售商的訂貨數(shù)量的信息傳遞中的牛鞭效應(yīng)，并得出了相關(guān)結(jié)論。為定量計算牛鞭效應(yīng)提供了依據(jù)，也為進一步研究供應(yīng)鏈系統(tǒng)提供了基礎(chǔ)。

[1]Lee H L,Padmanabhan V,Whang S.The Bullwhip Effect in Supply Chains[J].Sloan Management Review,1997，23.

[2]劉紅,王平.基于不同預(yù)測技術(shù)的供應(yīng)鏈牛鞭效應(yīng)分析[J].系統(tǒng)工程理論與實踐,2007，(7).

[3]曹慶仁,周敏,宋學(xué)鋒.固定間隔期補充定貨策略中牛鞭效應(yīng)的計算[J].中國礦業(yè)大學(xué)學(xué)報,2004，(5).

[4]萬杰,寇紀(jì)淞,李敏強.需求信息預(yù)測與處理中的牛鞭效應(yīng)[J].天津大學(xué)學(xué)報,2003，(5).

[5]劉紅.供應(yīng)鏈牛鞭效應(yīng)研究[D].上海海事大學(xué),2006.