協(xié)調(diào)、一致與一階公理系統(tǒng)的強(qiáng)完全性

鄧雄雁，胡澤洪

（華南師范大學(xué)政治與行政學(xué)院，廣東廣州510631）

協(xié)調(diào)、一致與一階公理系統(tǒng)的強(qiáng)完全性

鄧雄雁，胡澤洪

（華南師范大學(xué)政治與行政學(xué)院，廣東廣州510631）

在公理系統(tǒng)中演繹定理是連接一致性和協(xié)調(diào)性的橋梁。對(duì)于帶演繹定理的公理系統(tǒng)，可以證明公式集的一致性和協(xié)調(diào)性是等價(jià)的。在不帶演繹定理的一階公理系統(tǒng)中，一致性和協(xié)調(diào)性的差異集中體現(xiàn)在強(qiáng)完全性證明過(guò)程中。基于一致性的證明不依賴演繹定理，但基于協(xié)調(diào)性的強(qiáng)完全性證明多處受演繹定理束縛。文中將給出一個(gè)松綁方案，基于協(xié)調(diào)性上證明一階公理系統(tǒng)QC1的強(qiáng)完全性。

一致；協(xié)調(diào)；演繹定理；強(qiáng)完全性

一致、協(xié)調(diào)和演繹定理

一致和協(xié)調(diào)有兩個(gè)層面：一是系統(tǒng)本身的一致與協(xié)調(diào)，令S是公理系統(tǒng)，稱S協(xié)調(diào)?①S⊥，稱S是一致系統(tǒng)?S的定理集Th（S）是S一致集；二是公式集的一致和協(xié)調(diào)，稱Φ是S一致集?對(duì)所有有窮集Ψ?Φ，S?∧Ψ，稱Φ是S協(xié)調(diào)集?ΦS⊥②。

按照直觀理解，一個(gè)“好”的推理要求不能推出矛盾“⊥”。由這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)，公式集的一致性達(dá)不到這個(gè)要求。因?yàn)榭赡艹霈F(xiàn)這種情況，Φ├⊥但Φ還是一致的。例如，在某些系統(tǒng)中，比如下文的QC1，公式集Φ＝｛A，?xA→?xB，?xA→?x?B｝├QC1⊥，但是不存在有窮集Ψ?Φ，使得QC1?∧Ψ。相對(duì)來(lái)說(shuō)，一個(gè)協(xié)調(diào)集Φ肯定推不出矛盾“⊥”，所以，協(xié)調(diào)更符合直觀。然而，在形式系統(tǒng)中特別是基本模態(tài)系統(tǒng)的完全性證明中用得較多的卻是一致性。個(gè)中原因值得探討。

一致和協(xié)調(diào)性的邏輯性質(zhì)跟系統(tǒng)是否有演繹定理密切相關(guān)。按照是否有一般性演繹定理（下文簡(jiǎn)稱為演繹定理），公理系統(tǒng)可以分為兩類：一類是有演繹定理的系統(tǒng)，一類是沒(méi)有演繹定理的系統(tǒng)。鑒于本文主要考慮一階系統(tǒng)情況中協(xié)調(diào)性和演繹定理以及其完全性證明三者之間的關(guān)系，有必要把這些系統(tǒng)簡(jiǎn)要的列出來(lái)。較為常見的QC1是由下列公理模式和推理規(guī)則構(gòu)成的形式系統(tǒng)：

（一）公理模式：

1，A→B→A

2，（A→B→C）→（A→B）→A→C

3，?（A→?B）→（B→A）

4，?xA→A（t／x），其中t對(duì)x代入自由，

5，?x（A→B）→A→?xB，x在A中不自由

（二）推理規(guī)則：

1，分離規(guī)則（MP），從A和A→B可以推出B

2，全稱概括規(guī)則（UG），從A可以推出?xA

Φ├QC1A指A為公式集Φ的QC1語(yǔ)法后承，也可稱為從Φ到A的QC1推演（在本文里，除非特別說(shuō)明，用Φ├A表示Φ├QC1A）。當(dāng)Φ為空集時(shí)，A為QC1定理，記為├A，也稱A在QC1中可證。Φ?A指對(duì)一階語(yǔ)言L的任一解釋M＝＜D，H＞和Μ上的任一指派σ，M?Φ［σ］?M?A［σ］；當(dāng)Φ為空集時(shí)，A為有效式，記為?A。其中D為非空個(gè)體域；H為一階語(yǔ)言L的非邏輯符號(hào)集到Dn的一個(gè)映射。若s是L的特征符號(hào)，也可用sM表示H（s）。

QC2的公理模式1－4與QC1的相同，模式5是：A→?xA，其中x在A中不自由；模式6：?x（A→B）→?xA→?xB；模式7：?x1…?xnA，A是前六類公理之一，x1…xn是任意變?cè)?hào)且n≥1；推理規(guī)則只有MP。類似于QC2的系統(tǒng)有葉峰的系統(tǒng)［7］，李小五的P［4］。

QC3的公理模式和推理規(guī)則與QC1相同，但對(duì)UG進(jìn)行限制，規(guī)定只允許對(duì)系統(tǒng)定理運(yùn)用UG。類似系統(tǒng)有陳慕澤、余俊偉的Q系統(tǒng)［2］。

QC2和QC3、QC1對(duì)于UG規(guī)則的不同使用所導(dǎo)致的結(jié)果就是：QC2和QC3有演繹定理，而QC1沒(méi)有演繹定理。陳慕澤詳細(xì)論述了演繹定理與UG的關(guān)系［1］，這里不再贅述。

與一階系統(tǒng)情況類似，對(duì)于含有必然化規(guī)則（RN）的模態(tài)系統(tǒng)，如果RN只運(yùn)用于定理集，則這個(gè)系統(tǒng)有演繹定理；如果RN運(yùn)用于前提集，則沒(méi)有的演繹定理。

但QC1有受限制演繹定理：令A(yù)和B是任意L公式，Φ是L任公式集，若Φ∪｛A｝├B，并且演繹對(duì)涉及A中的自由變?cè)獩](méi)有使用概括，那么Φ├A→B。證明從略。（下文中凡是出現(xiàn)類似的較為常識(shí)性的定理、引理或結(jié)論，這些定理、引理或結(jié)論的證明在數(shù)理邏輯著作中均可找到，此處就不再贅述）

推論：若Φ∪｛A｝├B，且A是閉公式，則Φ├A→B。

一致和協(xié)調(diào)的邏輯性質(zhì)須從如下兩個(gè)方面加以探討。

一、系統(tǒng)本身的協(xié)調(diào)性和一致性：S一致?S協(xié)調(diào)。

證明：“?”設(shè)S一致。據(jù)系統(tǒng)一致定義，Th（S）是S一致的?！?是任何集合的有窮子集，∴據(jù)公式集一致定義，S?∧?③。 ∴S⊥，也就是S協(xié)調(diào)。

二、公式集的協(xié)調(diào)性和一致性：在有演繹定理的系統(tǒng)S中，Φ是S一致?Φ是S協(xié)調(diào)；在無(wú)演繹定理的系統(tǒng)S中，Φ是S－協(xié)調(diào)?Φ是S一致，反向不成立。

證明：“?”，設(shè)Φ是S一致，假如Φ不是S協(xié)調(diào)，則Φ├s⊥，∵推演的長(zhǎng)度是有窮的，∴存在有窮集｛A1…An｝?Φ，使得｛A1…An｝├s⊥，運(yùn)用演繹定理n次得，├sA1→…→An→⊥（無(wú)演繹定理的系統(tǒng)在此處通不過(guò)），即├s（A1∧…∧An）→⊥，∵├PCA→B?├PC?B→?A有├s?⊥→?（A1∧…An），再據(jù)├s⊥，∴├s?（A1∧…∧An），矛盾于題設(shè)。

“?”，設(shè)Φ是S協(xié)調(diào)但不S一致，則存在有窮集Ψ?Φ，使得├s?∧Ψ，易見Φ├s?∧Ψ且Φ├s∧Ψ，∵├PC?A→A→B，∴Φ├s⊥，矛盾。

上述結(jié)果表明，對(duì)于系統(tǒng)本身的協(xié)調(diào)性和一致性，我們可以等價(jià)地運(yùn)用這兩個(gè)概念，無(wú)需顧忌系統(tǒng)是否有演繹定理。但對(duì)于公式集的協(xié)調(diào)性和一致性，必須分情況對(duì)待：對(duì)于有演繹定理的系統(tǒng)，比如QC2與QC3，公式集的一致性和協(xié)調(diào)性是等價(jià)的；但對(duì)于只有受限制的演繹定理的系統(tǒng)，比如QC1或基本模態(tài)系統(tǒng)，協(xié)調(diào)性強(qiáng)于一致性。造成這種差異的關(guān)鍵在于｛A1…An｝├⊥?├A1→…→An→⊥的推導(dǎo)過(guò)程中前者可以運(yùn)用演繹定理而后者不能。

QC1或基本模態(tài)系統(tǒng)中的公式集的一致和協(xié)調(diào)的區(qū)別集中體現(xiàn)在這些系統(tǒng)的強(qiáng)完全性證明過(guò)程中。強(qiáng)完全性指：Φ?A?Φ├A；弱完全性指：?A?├A。

對(duì)于這些系統(tǒng)的強(qiáng)完全性證明有兩種版本：一種是基于公式集的一致性，例如通行的模態(tài)邏輯的強(qiáng)完全性證明，如Hughe，G.E.and Cresswell，M.J或LI Xiao－wu的證明［8，10］，其特點(diǎn)是證明過(guò)程無(wú)需運(yùn)用演繹定理；一種是基于公式集的協(xié)調(diào)性，漢密爾頓，劉壯虎基于協(xié)調(diào)性基礎(chǔ)上證明了QC1弱完全性［3，5］。筆者尚未看到基于協(xié)調(diào)性的基本模態(tài)系統(tǒng)的強(qiáng)完全性證明?；趨f(xié)調(diào)性的QC1強(qiáng)完全性證明也具有一定難度，本文嘗試用亨金方法［9］證明QC1強(qiáng)完全性。

基于協(xié)調(diào)性的QC1強(qiáng)完全性證明

基于協(xié)調(diào)性QC1強(qiáng)完全證明要解決如下問(wèn)題，第一，ΦA(chǔ)?Φ∪｛?A｝協(xié)調(diào)，是否成立，下文命題1的證明過(guò)程展示這個(gè)結(jié)論是不成立的；第二，Φ協(xié)調(diào)?Φ可滿足，是否成立，這是證明完全性的核心問(wèn)題。第二個(gè)問(wèn)題又分為兩個(gè)方面：首先，任何一個(gè)協(xié)調(diào)集與亨金公式集的并是否還是協(xié)調(diào)集；其次，任何一個(gè)協(xié)調(diào)集與亨金公式集的并能否擴(kuò)充為極大協(xié)調(diào)集。這三個(gè)問(wèn)題的共同特點(diǎn)是均要牽涉演繹定理。但相對(duì)于一致性的證明，在這三種情形中均不需演繹定理?；趨f(xié)調(diào)性QC1強(qiáng)完全性證明要依賴演繹定理，已經(jīng)知道QC1系統(tǒng)只有受限制的演繹定量。如何化解這個(gè)矛盾是解決第二、三個(gè)問(wèn)題的關(guān)鍵。我們的策略是盡量避免使用演繹定理：或者弱化使用演繹定理情形，只用受限制的演繹定理；或者把關(guān)于協(xié)調(diào)性的討論轉(zhuǎn)化為關(guān)于一致性的討論。

下面開始證明Φ?A?Φ├?，從命題1到命題6分成六個(gè)步驟。

引理1：對(duì)任L協(xié)調(diào)集Φ和任意L公式A，它的自由變?cè)莤1…xm，Φ├A?Φ├?x1…?xmA。

證明：“?”，對(duì)A的自由變?cè)獋€(gè)數(shù)進(jìn)行歸納，當(dāng)m＝1，A只有一自由變?cè)獂，若Φ├A，UG，則Φ├?x1A；當(dāng)m＞1，假設(shè)對(duì)于m－1成立，證對(duì)m成立，若Φ├A，由歸納假設(shè)有Φ├?x1…?xm－1A，再UG，有Φ├?x1…?xmA。

“?”，若，Φ├?x1…?xmA，對(duì)m作類似歸納，∵任一變?cè)獙?duì)自身作代入總是代入自由的，∴再與公理4，MP m次，易得Φ├A。

命題2，任何一個(gè)L協(xié)調(diào)集與L1亨金公式集的并是一致。⑤

引理2，等值置換定理：令B是A的子公式，A［B／C］是用C置換A中的B的某個(gè)出現(xiàn)得到的公式，則├B?C＆├A?├A［B／C］

引理3，設(shè)Φ是L一致，增加可數(shù)無(wú)窮個(gè)新常元來(lái)膨脹原有語(yǔ)言，Φ作為膨脹語(yǔ)言中L1的公式集仍是一致的。

枚舉膨脹語(yǔ)言中的每一公式和變?cè)械拿恳蛔冊(cè)獦?gòu)成的序?qū)θ缦拢?/p>

＜A1，x1＞，…，＜An，xn＞，…

定義亨金公式：B1＝??x1A1→?A1（c1／x1）。其中，c1是膨脹語(yǔ)言中第一個(gè)不在A1中出現(xiàn)的新常元。假設(shè)Bn已經(jīng)構(gòu)造完畢，令Bn＋1＝??xn＋1An＋1→?An＋1（cn＋1／xn＋1）。其中cn＋1是L1中第一個(gè)不在｛A1，…，An＋1｝中出現(xiàn)的新常元，規(guī)定語(yǔ)言L1是可數(shù)的，上述構(gòu)造是能完成的。令Ψ＝｛B1，…，Bn｝，則Ψ稱為L(zhǎng)1亨金公式集。

引理4，Φ∪｛A｝不一致?存在有窮集Θ?Φ使得├∧Θ→?A。

現(xiàn)證命題2：設(shè)任一L協(xié)調(diào)集Φ，如前所證，由Φ是協(xié)調(diào)的，可知Φ是一致的，據(jù)引理3，Φ作為膨脹語(yǔ)言中L1的公式集仍是一致的，下證Φ與L1亨金公式集Ψ的并Φ∪Ψ還是一致的。

證明：假設(shè)不一致，則總存在n∈?，使得1≤n且Φ∪｛B1…Bn＋1…｝不一致。

極限情況：Φ∪｛B1｝不一致，由引理4，存在有窮集Ξ?Φ使得├?Ξ→?B1。據(jù)B1的構(gòu)造和├PCA→B∧C?├PCA→B＆├PCA→C有├∧Ξ→??x1A1⑴＆├∧Ξ→A1（c1／x1）⑵，令y1是第一個(gè)不在Φ，A1，和∧Ξ→A1（c1／x1）中出現(xiàn)的變?cè)?，用y1替換每個(gè)c1的出現(xiàn)，則├（∧Ξ→A1（c1／x1））（y1／c1），∵據(jù)B1規(guī)定，c1不在Φ中出現(xiàn)，則c1肯定不在∧Ξ中出現(xiàn)，∴├∧Ξ→A1（c1／x1）（y1／c1）⑶，據(jù)亨金公式構(gòu)造規(guī)定，c1也不在A1中出現(xiàn)，∴A1（c1／x1）（y1／c1）＝A1（y1／x1），再由⑶和引理2有├∧Ξ→A1（y1／x1），UG，得├?y1（∧Ξ→A1（y1／x1））⑷，∵y1不在∧Ξ中出現(xiàn)，∴再據(jù)公理5與⑷，MP，得├∧Ξ→?y1A1（y1／x1）⑸，∵由約束變?cè)鬃侄ɡ?y1A1（y1／x1）??x1A1，∴由⑸和引理2得├∧Ξ→?x1A1⑹，由⑴⑹和├PCA→B＆├PCA→C?├PCA→B∧C得├∧Ξ→??x1A1?x1A1，再由├PCA→⊥?├PC?A，有├?∧Ξ矛盾于Φ一致。

一般情況：∵Φ∪｛B1｝一致的，∴總存在某個(gè)最小n使得Φ∪｛B1…Bn…｝是一致，現(xiàn)在Φ∪｛B1…Bn＋1…｝不一致，據(jù)引理4，存在有窮集Ξ?Φ∪｛B1…Bn…｝使得├∧Ξ→?Bn＋1，據(jù)Bn＋1構(gòu)造規(guī)則，得├? Ξ→??xn＋1An＋1⑴和├∧Ξ→An＋1（cn＋1／xn＋1），令yn＋1是第一個(gè)不在Φ，An＋1和∧Ξ→An＋1（cn＋1／xn＋1）中出現(xiàn)的變?cè)?，用yn＋1替換每個(gè)cn＋1的出現(xiàn)。據(jù)語(yǔ)言L1是可數(shù)語(yǔ)言和集合論知識(shí)，這是可以做到的，則├（∧Ξ→An＋1（cn＋1／xn＋1））（yn＋1／cn＋1）。類似于上述根據(jù)情況證明過(guò)程，有├∧Ξ→An＋1（yn＋1／xn＋1）。由UG，得├?yn＋1（∧Ξ→An＋1（yn＋1／xn＋1）），再由yn＋1不在∧Ξ中出現(xiàn)和公理5，MP，有├∧Ξ→?yn＋1An＋1（yn＋1／xn＋1）；由易字定理和引理2得├∧Ξ→?xn＋1An＋1⑵；由⑴⑵易得├?∧Ξ，矛盾于Φ∪｛B1…Bn…｝一致。

命題3，任何一個(gè)協(xié)調(diào)集與亨金公式集的并能擴(kuò)充為亨金集。

引理5，緊致性定理：Φ是一致的?Φ的所有有窮子集是一致的。

引理6，林登保姆引理：任何一致集都可以擴(kuò)充為極大一致集。

先證：⑴Ψn是一致的。

據(jù)設(shè)定條件，已知Φ＝Ψ0是一致的。對(duì)任意n＞0，歸納設(shè)定Ψn是一致的。下證Ψn＋1是一致的。為此考慮Ψn∪｛An｝的一致性。

情況1 Ψn∪｛An｝是一致的：此時(shí)Ψn＋1＝Ψn∪｛An｝，∴Ψn＋1是一致的。

情況2 Ψn∪｛An｝不是一致的：此時(shí)Ψn＋1＝Ψn∪｛?An｝。假設(shè)Ψn＋1不是一致的，則據(jù)本情況的設(shè)定條件和剛才的假設(shè)，Ψn∪｛An｝不是一致的，Ψn∪｛?An｝不是一致的，∴據(jù)引理4，存在有窮子集Θ，Ξ?Ψn使得├∧Θ→?An，├∧Ξ→An。易得，├?（∧Θ∧∧Ξ），∵Θ∪Ξ是Ψn的有窮子集，∴Ψn不是一致的，與歸納設(shè)定矛盾。

再證：⑵Σ是極大一致集。

任給A∈L1，總存在n∈?使得A＝An。據(jù)Ψn＋1的構(gòu)造，An或?An總有一屬于Ψn＋1?Σ，∴Σ是極大的。假設(shè)Σ不是一致的，則據(jù)引理5，存在有窮子集Θ?Σ使得Θ不是一致的。但Σ的每一有窮子集顯然是某個(gè)Ψn?Σ的子集，∴再據(jù)定理5，易見Ψn不是一致的，矛盾于⑴。［10］124－125

令

可以看到，協(xié)調(diào)集的一致擴(kuò)充過(guò)程中始終未曾用到演繹定理，這也是把關(guān)于協(xié)調(diào)性的討論轉(zhuǎn)化為關(guān)于一致性的討論根據(jù)所在。

命題4，亨金集Σ有典范解釋。

定義一致集Σ的解釋和指派σ如下：⑴定義D是膨脹一階語(yǔ)言L1的所有項(xiàng)的集合；⑵對(duì)每一常元c，定義c＝c；⑶對(duì)n元函數(shù)F，F(xiàn)t1…tn＝Ft1…tn；⑷對(duì)n元謂詞符號(hào)P，〈t1….tn〉∈P?Pt1…tn∈Σ；⑸對(duì)任意變?cè)?，σ（x）＝x

引理7，M?A［σ］?A∈Σ，對(duì)于所有A∈L1，所以有M?Σ［σ］。驗(yàn)證從略。

引理8：令L1是L的膨脹語(yǔ)言，令解釋M是相對(duì)于原語(yǔ)言L的規(guī)約，使得⑴DL＝DL1，⑵HL（s）＝HL1（s），對(duì)每一特征符號(hào)s。則對(duì)每一L公式A和每一指派σ，M1?A［σ］?M?A［σ］。

命題5，在亨金集里，Φ∪｛??x1…?xmA｝可滿足?Φ∪｛?A｝可滿足。⑥

引理9：對(duì)任極大一致集Σ，｛A，A→B｝∈Σ?B∈Σ。

引理10，代入自由引理，令t對(duì)A中的x自由，任給解釋M和σ，使得σ（a／x）（x）＝tM則M?A（t／x）［σ］?M?A［σ（a／x）］。其中σ是任一解釋M的指派，σ（a／x）使得對(duì)任一變?cè)獃，若y≠x，則σ（a／x）（y）＝σ（y）；若y＝x，則σ（a／x）（y）＝a。

現(xiàn)證命題5：設(shè)Φ∪｛??x1…?xmA｝可滿足，往證Φ∪｛?A｝是可滿足的。

一方面：由??x1…?xmA∈Σ⑴，且具有??xA的形式，據(jù)亨金公式集的構(gòu)造，總可以找到一亨金公式??xnAn→?An（cn／xn）與??x1…?xmA對(duì)應(yīng)。令x1＝xn，則?x2…?xmA＝An，顯然??x1…?xmA→??x2…?xmA（c1／x1）∈Σ⑵。由⑴⑵和引理9，可得??x2…?xmA（c1／x1）∈Σ⑶。??x2…?xmA（c1／x1）又具有??xA形式，不難找到一亨金公式與之對(duì)應(yīng)，使得??x2…?xmA（c1／x1）→??x3…?xmA（c1／x1）（c2／x2）∈Σ⑷。再據(jù)引理9，⑶⑷，有??x3…?xmA（c1／x1）（c2／x2）∈Σ。重復(fù)上述步驟m次，最終可得?A（c1／x1）…（cm／xm）∈Σ。據(jù)引理7，? A（c1／x1）…（cm／xm）是可滿足的⑸。

命題6，Φ?A?Φ├A。

如本文所述，一致和協(xié)調(diào)的區(qū)別主要是指公式集層面上的，且只有在不帶演繹定理的系統(tǒng)中討論二者的區(qū)別才是有意義的。對(duì)于有演繹定理的公理系統(tǒng)，公式集的協(xié)調(diào)性和一致性通過(guò)演繹定理過(guò)渡，從而二者是等價(jià)的。在不帶演繹定理的系統(tǒng)中，二者的區(qū)別主要是體現(xiàn)在強(qiáng)完全性證明過(guò)程當(dāng)中?；趨f(xié)調(diào)性的強(qiáng)完全性證明對(duì)演繹定理依賴性比較強(qiáng)，基于一致性的強(qiáng)完全性證明不依賴于演繹定理。還可以看到，協(xié)調(diào)集不一定能擴(kuò)充為極大協(xié)調(diào)集。因?yàn)樵跇O大擴(kuò)充的過(guò)程中要受到演繹定理的束縛。只有對(duì)于有演繹定理的系統(tǒng)，協(xié)調(diào)集可以擴(kuò)充為極大協(xié)調(diào)集。值得提出的是，任一協(xié)調(diào)閉式集可以擴(kuò)充為極大協(xié)調(diào)閉式集，不論系統(tǒng)是否帶演繹定理。原因是在擴(kuò)充過(guò)程中可以運(yùn)用受限制的演繹定理。但是，本文只是給出了一種基于協(xié)調(diào)性的QC1強(qiáng)完全性證明，基于協(xié)調(diào)性的基本模態(tài)系統(tǒng)強(qiáng)完全性證明尚待解決。

注 釋：

① 為了簡(jiǎn)潔，本文用“?”表示元語(yǔ)言意義上的“…當(dāng)且僅當(dāng)…”，用“?”表示“若…，則…”，用“∵”表示“因?yàn)椤?，用“∴”表示“所以…”，用“＆”表示“并且”?/p>

② 在不引起混淆情況下S和下標(biāo)s均可省略。

③ 定義：∧?＝⊥。∧Φ＝⊥成立的條件是：如果∧Φ所有的合取枝都為真，那么∧Φ為真。顯然當(dāng)合取枝數(shù)目為零時(shí)，條件句前件為假，條件句空洞成立。

④ 這個(gè)定理和下文中將出現(xiàn)的├PC?A→A→B以及導(dǎo)出規(guī)則├PC?B→?A?├PCA→B或├PCA→B?├PC?B→?A等是命題邏輯中定理，用├PC標(biāo)示，以示區(qū)別。在一階邏輯中或模態(tài)邏輯可以使用命題邏輯中的定理或?qū)С鲆?guī)則，而不用考慮演繹定理的束縛，因?yàn)槊}邏輯中的定理都是一階邏輯或模態(tài)邏輯的定理，而命題邏輯的導(dǎo)出規(guī)則是依據(jù)定理轉(zhuǎn)化而來(lái)的。依據(jù)前面的討論，對(duì)定理集作推演不會(huì)受到演繹定理的束縛。

⑤ 從這里開始，我們把關(guān)于協(xié)調(diào)集的討論轉(zhuǎn)化為一致集的討論，由命題6，再?gòu)囊恢滦苑祷氐絽f(xié)調(diào)性。

⑥ Φ∪｛??x1…?xmA｝可滿足?Φ∪｛?A｝是可滿足，在一般情況下不成立。

⑦ 設(shè)σ是任一解釋M的指派，定義σ（a／x）使得對(duì)任一變?cè)獃，若y≠x，則σ（a／x）（y）＝σ（y）；若y＝x，則σ（a／x）（y）＝a。

［1］ 陳慕澤.全稱概括規(guī)則和受限制的演繹定理——國(guó)內(nèi)數(shù)理邏輯教材中的一個(gè)問(wèn)題.浙江社會(huì)科學(xué)，2002（2）：99－101.

［2］ 陳慕澤，余俊偉.數(shù)理邏輯基礎(chǔ).北京：中國(guó)人民大學(xué)出版社，2003.

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［9］ 王健平.實(shí)質(zhì)蘊(yùn)涵與自然語(yǔ)言中的相關(guān)蘊(yùn)涵命題分析.華南師范大學(xué)學(xué)報(bào)：社會(huì)科學(xué)版，2005（3）：11－18.

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［11］ HENKIN L.The Completeness of The First－order Functional Calculus.The Journal of Symbolic Logic，1949，14：159－166.

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【責(zé)任編輯：趙小華】

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1000－5455（2010）03－0112－05

2009－11－20

鄧雄雁（1979—），男，湖南衡南人，華南師范大學(xué)政行學(xué)院博士研究生；胡澤洪（1964—），男，湖南雙峰人，華南師范大學(xué)政行學(xué)院教授、博士生導(dǎo)師。