一類多險(xiǎn)種復(fù)合Poisson-Geometric過(guò)程風(fēng)險(xiǎn)模型研究

李應(yīng)求 ，甘 柳 ，魏 民 ，2

(1.長(zhǎng)沙理工大學(xué)a.數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院；b.經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院，長(zhǎng)沙 410076;2.中國(guó)工商銀行湘潭湘江支行，湖南 湘潭 411101)

1 預(yù)備知識(shí)及模型定義

經(jīng)典風(fēng)險(xiǎn)模型中索賠來(lái)到過(guò)程是一個(gè)Poisson過(guò)程,Poisson過(guò)程的一個(gè)重要性質(zhì)是均值等于方差，但在保險(xiǎn)公司的實(shí)際運(yùn)作中是難以具備這樣的性質(zhì)的。為了使模型更加符合實(shí)際，文獻(xiàn)[2]提出了一類稱為復(fù)合Poisson-Geometric過(guò)程的計(jì)數(shù)過(guò)程，建立了如下模型:

其中U(t)為保險(xiǎn)公司在t時(shí)刻的盈余量，c為單位時(shí)間內(nèi)收取的保費(fèi)，u≥0 為公司的初始盈余，{N(t)；t≥0}是參數(shù)為，ρ的復(fù)合Poisson-Geometric過(guò)程，Xi表示第i次索賠額。針對(duì)模型(1)，文獻(xiàn)[2]給出了其破產(chǎn)概率所滿足的更新方程，并在索賠額服從指數(shù)分布時(shí)，得到了破產(chǎn)概率的顯示表達(dá)式;文獻(xiàn)[3]在索賠分布Xi為相位分布的情況下，得到了破產(chǎn)概率的顯示表達(dá)式，并進(jìn)行了數(shù)值計(jì)算;文獻(xiàn)[6]得到了Gerber-Shiu折現(xiàn)罰金函數(shù);文獻(xiàn)[7]給出了破產(chǎn)概率上界估計(jì)。文獻(xiàn)[8]將模型(1)推廣，建立了如下模型:

其中{M(t)，t≥0}為 Poisson 過(guò)程，并得到了模型(2)的破產(chǎn)概率上界。文獻(xiàn)[10]建立了一種多險(xiǎn)種模型:

其中每個(gè)險(xiǎn)種的索賠來(lái)到過(guò)程{Ni(t)；t≥0}都是參數(shù)為λi，ρi復(fù)合 Poisson-Geometric 過(guò)程，保費(fèi)來(lái)到次數(shù){Ki(t)；t≥0}是參數(shù) αi為的 Poisson 過(guò)程，i=1， …，n，{W(t)，t≥0} 是標(biāo)準(zhǔn)的Wiener過(guò)程，σ為擾動(dòng)強(qiáng)度，并得到了破產(chǎn)概率所滿足的Lundberg不等式和破產(chǎn)概率上界。

本文將模型(3)進(jìn)一步推廣，建立了模型如下:

其中保單的收入為隨機(jī)變量Yij。假定:Yij相互獨(dú)立，與Yi同分布，分布函數(shù)為Fi(x)，期望為 mi，其二階矩存在;理賠額Xij相互獨(dú)立，與 Xi同分布，分布函數(shù)為 Gi(x)，期望為 μi，且其二階矩存在;以上隨機(jī)過(guò)程和隨機(jī)變量序列都相互獨(dú)立。我們稱{X(t)，t≥0}為多險(xiǎn)種復(fù)合Poisson-Geometric風(fēng)險(xiǎn)模型。

模型(4)與(3)的區(qū)別在于:保費(fèi)的收取不再為常數(shù)，而是獨(dú)立同分布的隨機(jī)序列。

實(shí)際背景:Ki(t)表示在時(shí)間段內(nèi)(0，t]內(nèi)保險(xiǎn)公司第i個(gè)險(xiǎn)種的保單數(shù)，保費(fèi)的收取不為常數(shù)，而是獨(dú)立同分布的隨機(jī)序列，第i個(gè)險(xiǎn)種的保費(fèi)收入為Yij，保險(xiǎn)公司可以根據(jù)歷史數(shù)據(jù)確定各個(gè)險(xiǎn)種的其分布；第i個(gè)險(xiǎn)種理賠額隨機(jī)變量Xij，分布函數(shù)為Gi(x)，W(t)表示保險(xiǎn)公司不確定支付和收益。

本文給出了模型(4)的破產(chǎn)概率所滿足的Lundberg不等式及一般表達(dá)式。最后得到了模型 (4)在雙險(xiǎn)種情況下的Gerber-Shiu折現(xiàn)罰金函數(shù)。

為了保證保險(xiǎn)公司的經(jīng)營(yíng)穩(wěn)定，每個(gè)險(xiǎn)種的單位時(shí)間內(nèi)的保費(fèi)收入應(yīng)都大于其單位時(shí)間內(nèi)的理賠，即：

本文恒設(shè)式(5)成立。

定義 1 設(shè) λ＞0，0≤ρ＜1，稱{N(t)；t≥0}是參數(shù)為 λ，ρ 的復(fù)合Poisson-Geometric過(guò)程，如果：

(1)N(0)=0

(2){N(t)；t≥0}具有平穩(wěn)獨(dú)立增量

(3)對(duì) t≥0 有 N(t)～PG(λt，ρ)

注3：當(dāng)ρ=0時(shí)，復(fù)合Poisson-Geometric過(guò)程退化成Poisson過(guò)程，可見前者是后者的推廣。

2 最終破產(chǎn)概率上界

容易驗(yàn)證，由(4)定義的風(fēng)險(xiǎn)過(guò)程是具有性質(zhì):

性質(zhì)1 (1)X(0)=0 P-a.s.

(2){X(t)；t≥0}具有平穩(wěn)獨(dú)立增量

(3) 存在正數(shù) r，使得 E[e-rX(t)]＜∞

定理1 對(duì)于模型(4)，存在函數(shù)g(r)，使得E[e-rX(t)]=etg(r)

證明因?yàn)椋?/p>

故有E[e-rX(t)]=etg(r)。定理結(jié)論得證。□

定理2 方程存在唯一的正解。

證明 由式(6)可得：

又因?yàn)?MXi(r)是遞增的，且有 0＜ρi＜1，所以存在 ri＞0，使MXi(r)=1/ρi，當(dāng) 0＜r＜ri時(shí)，0＜MXi(r)＜1/ρi(i=1，2，…，n)，取 r0=min(r1，r2，…，rn)故當(dāng) 0＜r＜r0有 g''(r)＞0。 且 r→r0時(shí)有 g(r)→∞，故 g(r)為一下凸函數(shù)，則方程g(r)存在唯一的正解R，且0＜R＜r0。

定義2 稱R為調(diào)節(jié)系數(shù)。

設(shè)保險(xiǎn)公司初始準(zhǔn)備金為u，破產(chǎn)時(shí)刻為Tu=inf{t≥0|u+X(t)＜0}。 相應(yīng)的最終破產(chǎn)概率定義為 ψ(u)=P(Tu＜∞)。 定義=σ{X(v);v≤t}。

引理1 Tu是的停時(shí)

定理3 令Mu(t)則{Mu(t)，，t≥0}是鞅

證明 由于對(duì)任意的t＞v，我們有：

于是定理結(jié)論得證。□

定理4 在初始資本為u的條件下，最終破產(chǎn)概率為：

且有 ψ(u)≤e-Ru。

證明 Tu為破產(chǎn)時(shí)刻，又對(duì)于固定時(shí)刻t0，TuΛt0為有界停時(shí)，由有界停時(shí)

定理，我們有：

這樣式(8)就化為了式(7)?！?/p>

3 Gerb er-Sh iu折現(xiàn)罰金函數(shù)

為了簡(jiǎn)化問(wèn)題的討論，我們現(xiàn)將多險(xiǎn)種模型退化為雙險(xiǎn)種的情況，且保費(fèi)收入退化為常數(shù)，這樣我們有盈余過(guò)程

在破產(chǎn)發(fā)生情況下，我們把破產(chǎn)時(shí)刻的赤字記為|U(T)|，破產(chǎn)前瞬時(shí)盈余記為U(T-)，記：

式(10)被稱為Gerber-Shiu折現(xiàn)罰金函數(shù)，由 Gerber和Shui于 1998 年提出， 其中 v∈(0，1]表示折現(xiàn)因子，ω（X，Y）是有界實(shí)函數(shù)，稱之為罰金函數(shù)，1A是示性函數(shù)。

這里我們記F*n(x)=x-t)dF(t)，n≥1為索賠分布 F(x)的 n重卷積，G*n(x)=(x-t)dG(t)，n≥1為索賠分布 G(x)的 n重卷積，其密度函數(shù)f(x)，g(x)的n重卷積分別記為 f*n(x)=x-t)df(t)，n≥1 和 g*n(x)=x-t)dg(t)，n≥1。

定理5 在滿足(5)的條件下，模型(4)的Gerber-Shiu折現(xiàn)罰金函數(shù)ψ(u，ω,v)滿足下列更新方程：

證明 對(duì)于充分小的時(shí)間Δt，我們考慮(0，Δt]內(nèi)發(fā)生索賠的情況，分成四種情況:1.兩個(gè)險(xiǎn)種都沒(méi)有發(fā)生索賠，2.第一個(gè)險(xiǎn)種沒(méi)有發(fā)生索賠，第二個(gè)險(xiǎn)種發(fā)生1次以上索賠，3.第二個(gè)險(xiǎn)種沒(méi)有發(fā)生索賠，第一個(gè)險(xiǎn)種發(fā)生1次以上索賠，4.兩個(gè)險(xiǎn)種都發(fā)生一次以上索賠，根據(jù)文獻(xiàn)[2]引理6，這種情況相對(duì)Δt是高階無(wú)窮小。這樣，有全概率公式和文獻(xiàn)[2]引理6，我們有：

整理得：

對(duì)式 (7)利用泰勒公式，然后兩邊同時(shí)除以cΔt，并令Δt→0，上式化為：

利用文獻(xiàn)[2]引理6，交換積分與求和可以交換，這就得到：

注 4 當(dāng) ω(X，Y)≡1，v=1 時(shí)，容易知道 ψ(u，ω,v)=ψ(u)，即為破產(chǎn)概率。

這樣我們有：

推論1 破產(chǎn)概率ψ(u)滿足如下更新方程

利用文獻(xiàn)[6]中引理3和定理2我們可以得到下面定理:

定理6 破產(chǎn)概率ψ(u)有下面的表達(dá)式

[1]Grandell J.Aspects of Risk Theory[M].New York:Springer Verlag,1991.

[2]毛澤春,劉錦萼.索賠次數(shù)為復(fù)合Poisson-Geometric過(guò)程的風(fēng)險(xiǎn)模型及破產(chǎn)概率[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報(bào),2005,26(3).

[3]毛澤春,劉錦萼.索賠次數(shù)為復(fù)合Poisson-Geometric過(guò)程下破產(chǎn)概率的顯式表達(dá)[J].中國(guó)管理科學(xué),2007,15(5).

[4]李應(yīng)求,劉朝才,彭朝暉.不確定條件下企業(yè)的投資規(guī)模決策[J].運(yùn)籌學(xué)學(xué)報(bào),2008,12(2).

[5]李應(yīng)求,林財(cái)超,馮榮麗.湖南省產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)調(diào)整的庫(kù)茲涅茨經(jīng)驗(yàn)法則實(shí)證分析[J].中國(guó)經(jīng)貿(mào),2007,(4).

[6]廖基定,龔日朝,劉再明,鄒捷中.復(fù)合 Poisson-Geometric風(fēng)險(xiǎn)模型Gerber-Shiu折現(xiàn)懲罰函數(shù)[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報(bào),2007,30(6).

[7]廖基定,劉再明,龔日朝.賠付次數(shù)為復(fù)合Poisson-Geometric過(guò)程的風(fēng)險(xiǎn)模型破產(chǎn)概率上界估計(jì) [J].南華大學(xué)學(xué)報(bào) (自然科學(xué)版),2008,22(3).

[8]劉東海,李博.推廣后的復(fù)合Poisson-Geometric過(guò)程的風(fēng)險(xiǎn)模型下的破產(chǎn)概率[J].湖南文理學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2006,18(2).

[9]彭朝暉,馮榮麗,李應(yīng)求.湖南省城鄉(xiāng)收入差距的基本趨勢(shì)和影響因素分析[J].長(zhǎng)沙理工大學(xué)學(xué)報(bào)(社會(huì)科學(xué)版),2008,23(1).

[10]于文廣,黃玉娟等.干擾條件下復(fù)合Poisson-Geometric過(guò)程的多險(xiǎn)種風(fēng)險(xiǎn)模型下的破產(chǎn)概率[J].山東大學(xué)學(xué)報(bào)(理學(xué)版),2008,43(2).