保險(xiǎn)公司和再保險(xiǎn)公司之間的停止損失再保險(xiǎn)策略選擇博弈

林祥,錢藝平,任余豪

(浙江工商大學(xué)金融學(xué)院,浙江 杭州310018)

1.引言

再保險(xiǎn)是保險(xiǎn)公司分散經(jīng)營(yíng)風(fēng)險(xiǎn),控制保險(xiǎn)責(zé)任,提高承保能力的重要手段.保險(xiǎn)公司購(gòu)買再保險(xiǎn)需要支付再保險(xiǎn)保費(fèi),同時(shí)把一部分風(fēng)險(xiǎn)轉(zhuǎn)移給再保險(xiǎn)公司.因此,保險(xiǎn)公司向再保險(xiǎn)公司購(gòu)買再保險(xiǎn)時(shí),在承擔(dān)風(fēng)險(xiǎn)和獲得收益之間有一個(gè)替換,存在著價(jià)格和需求之間的一個(gè)博弈.在實(shí)際中,一個(gè)再保險(xiǎn)合約是需要保險(xiǎn)公司和再保險(xiǎn)公司雙方同時(shí)認(rèn)可并簽訂的,一個(gè)對(duì)保險(xiǎn)公司最有利的再保險(xiǎn)策略往往并不是對(duì)再保險(xiǎn)公司最優(yōu)的,甚至可能是再保險(xiǎn)公司無(wú)法接受的.因此,在再保險(xiǎn)實(shí)踐中,需要考慮以下問(wèn)題:保險(xiǎn)公司購(gòu)買的最優(yōu)再保險(xiǎn)數(shù)量是多少或保險(xiǎn)公司的最優(yōu)自留風(fēng)險(xiǎn)是多少? 再保險(xiǎn)公司對(duì)保險(xiǎn)公司購(gòu)買再保險(xiǎn)時(shí)的再保費(fèi)是多少?再保險(xiǎn)公司的最優(yōu)承保再保險(xiǎn)數(shù)量是多少? 是否存在再保險(xiǎn)合約使得保險(xiǎn)公司和再保險(xiǎn)公司都能受益?能成交的再保險(xiǎn)合約需要滿足什么條件?

現(xiàn)有的文獻(xiàn)主要站在保險(xiǎn)公司的角度研究最優(yōu)再保險(xiǎn)問(wèn)題,Borch[1]指出一個(gè)對(duì)保險(xiǎn)公司的最優(yōu)再保險(xiǎn)合約,對(duì)再保險(xiǎn)公司來(lái)說(shuō)并不是最優(yōu)的.因此,一個(gè)合理的再保險(xiǎn)合約需要同時(shí)考慮保險(xiǎn)公司和再保險(xiǎn)公司的利益.在靜態(tài)單期模型中,CAI等人[2]在不同的保費(fèi)準(zhǔn)則下,考慮了使得保險(xiǎn)公司和再保險(xiǎn)公司聯(lián)合生存和收益概率最大化的最優(yōu)比例再保險(xiǎn)和最優(yōu)停止損失再保險(xiǎn)合約設(shè)計(jì)問(wèn)題.CAI等人[3]在最小化保險(xiǎn)公司和再保險(xiǎn)公司的VaR風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度凸組合下,考慮了保險(xiǎn)公司和再保險(xiǎn)公司之間的最優(yōu)再保險(xiǎn)合約設(shè)計(jì)問(wèn)題.LO[4]在再保險(xiǎn)公司風(fēng)險(xiǎn)約束下,提出了使得保險(xiǎn)公司扭曲風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度最小的再保險(xiǎn)合約設(shè)計(jì)方案.ZHANG等人[5]在保險(xiǎn)公司和再保險(xiǎn)公司效用增加約束下,運(yùn)用最優(yōu)化準(zhǔn)則考慮了保險(xiǎn)公司和再保險(xiǎn)公司之間的最優(yōu)比例再保險(xiǎn)合約設(shè)計(jì)問(wèn)題.JIANG等人[6]考慮了風(fēng)險(xiǎn)厭惡的期望效用最大化的保險(xiǎn)公司和再保險(xiǎn)公司之間合作再保險(xiǎn)策略選擇博弈問(wèn)題,在協(xié)商再保費(fèi)和期望值再保費(fèi)下,得到Pareto最優(yōu)再保險(xiǎn)合約.

近年來(lái),也有大量的文獻(xiàn)研究連續(xù)時(shí)間保險(xiǎn)公司和再保險(xiǎn)公司之間的最優(yōu)再保險(xiǎn)合約設(shè)計(jì)問(wèn)題.ZENG和LUO[7]通過(guò)隨機(jī)合作博弈框架表示保險(xiǎn)公司和再保險(xiǎn)公司之間的聯(lián)系,研究了使得保險(xiǎn)公司和再保險(xiǎn)公司的效用加權(quán)和最大化的Pareto最優(yōu)再保險(xiǎn)策略選擇問(wèn)題.LI等人[8]在擴(kuò)散風(fēng)險(xiǎn)模型下,考慮了使得保險(xiǎn)公司和再保險(xiǎn)公司期望終端財(cái)富效用乘積最大化的最優(yōu)比例再保險(xiǎn)和投資策略選擇問(wèn)題,在保險(xiǎn)公司和再保險(xiǎn)公司都具有指數(shù)效用下,得到最優(yōu)比例再保險(xiǎn)和投資策略,以及值函數(shù)的顯示表達(dá)式.LI等人[9]考慮了保險(xiǎn)公司和再保險(xiǎn)公司的終端財(cái)富權(quán)重和的時(shí)間一致再保險(xiǎn)和投資策略選擇問(wèn)題,得到了時(shí)間一致再保險(xiǎn)-投資策略,以及值函數(shù)的顯示解,并通過(guò)數(shù)值計(jì)算得到了模型參數(shù)對(duì)時(shí)間一致最優(yōu)再保險(xiǎn)和投資策略的影響.王愫新等人[10]和王愫新和榮喜民[11]同時(shí)考慮保險(xiǎn)公司和再保險(xiǎn)公司的最優(yōu)再保險(xiǎn)和投資問(wèn)題,在保險(xiǎn)公司和再保險(xiǎn)公司終端期望財(cái)富效用最大化目標(biāo)下,得到了保險(xiǎn)公司和再保險(xiǎn)公司的最優(yōu)再保險(xiǎn)和投資策略,以及值函數(shù)的顯示表達(dá)式.ZHAO等人[12]在風(fēng)險(xiǎn)股票價(jià)格服從CEV模型下,考慮了保險(xiǎn)公司和再保險(xiǎn)公司盈余過(guò)程的加權(quán)和的時(shí)間一致再保險(xiǎn)-投資選擇問(wèn)題,得到了時(shí)間一致再保險(xiǎn)-投資策略和值函數(shù)的顯示解.

委托代理框架提供了一個(gè)描述保險(xiǎn)公司和再保險(xiǎn)公司之間相互作用的模型.HU等人[13]在保險(xiǎn)者或再保險(xiǎn)者索賠過(guò)程模型不確定下,從委托-代理框架考慮了連續(xù)時(shí)間比例再保險(xiǎn)合約問(wèn)題,得到最優(yōu)再保險(xiǎn)合約的顯示表達(dá)式.HU等人[14]在再保險(xiǎn)公司索賠強(qiáng)度不確定下,從委托-代理框架考慮了保險(xiǎn)公司和再保險(xiǎn)公司之間的連續(xù)時(shí)間比例再保險(xiǎn)和停止損失再保險(xiǎn)策略選擇問(wèn)題,得到最優(yōu)再保險(xiǎn)合約滿足的方程.結(jié)果顯示再保險(xiǎn)公司降低再保險(xiǎn)保費(fèi)會(huì)增加再保險(xiǎn)需求,但是再保險(xiǎn)公司面臨的模型不確定會(huì)增加再保險(xiǎn)公司的再保險(xiǎn)保費(fèi).HU和WANG[15]在保險(xiǎn)公司索賠強(qiáng)度不確定下,從委托-代理框架考慮了傳統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)模型的比例再保險(xiǎn)和停止損失再保險(xiǎn)合約問(wèn)題,在指數(shù)效用函數(shù)和指數(shù)索賠分布下,得到再保險(xiǎn)公司的最優(yōu)再保費(fèi),保險(xiǎn)公司的最優(yōu)自留額,以及保險(xiǎn)公司和再保險(xiǎn)公司值函數(shù)的顯示表達(dá)式.CHEN和SHEN[16]在期望財(cái)富效用最大化下,考慮了保險(xiǎn)公司和再保險(xiǎn)公司之間的隨機(jī)leader-follower比例再保險(xiǎn)博弈問(wèn)題,在指數(shù)效用函數(shù)下,得到了再保險(xiǎn)公司的最優(yōu)再保費(fèi),保險(xiǎn)公司的最優(yōu)自留額,以及保險(xiǎn)公司和再保險(xiǎn)公司值函數(shù)的顯示表達(dá)式.GU等人[17]在再保險(xiǎn)公司索賠強(qiáng)度和金融市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)不確定下,考慮保險(xiǎn)公司和再保險(xiǎn)公司之間的停止損失再保險(xiǎn)和投資策略選擇問(wèn)題,在指數(shù)分布索賠和指數(shù)效用函數(shù)下,得到了該問(wèn)題的顯示解.WANG和Siu[18]在保險(xiǎn)公司面臨動(dòng)態(tài)VaR風(fēng)險(xiǎn)限制下,研究了保險(xiǎn)公司和再保險(xiǎn)公司之間的魯棒再保險(xiǎn)合約設(shè)計(jì)問(wèn)題,在指數(shù)效用函數(shù)下,得到了該問(wèn)題的顯示解.

現(xiàn)有文獻(xiàn)對(duì)保險(xiǎn)公司和再保險(xiǎn)公司之間再保險(xiǎn)合約設(shè)計(jì)問(wèn)題的研究,主要集中于保險(xiǎn)公司決定購(gòu)買再保險(xiǎn)數(shù)量,再保險(xiǎn)公司決定承保的再保險(xiǎn)保費(fèi).而在再保險(xiǎn)實(shí)踐中,還可能有保險(xiǎn)公司決定購(gòu)買再保險(xiǎn)數(shù)量和再保險(xiǎn)費(fèi),再保險(xiǎn)公司只能根據(jù)再保費(fèi)決定是否承保;或者再保險(xiǎn)公司確定再保險(xiǎn)保費(fèi)和承保的再保險(xiǎn)數(shù)量,保險(xiǎn)公司只能根據(jù)再保費(fèi)決定是否購(gòu)買此數(shù)量再保險(xiǎn).現(xiàn)有的文獻(xiàn)也缺乏對(duì)保險(xiǎn)公司和再保險(xiǎn)公司的效用損益進(jìn)行系統(tǒng)分析,保險(xiǎn)公司購(gòu)買再保險(xiǎn)和再保險(xiǎn)公司承保后,其期望盈余效用如何變化.模型主要參數(shù)變化如何影響再保險(xiǎn)策略和再保費(fèi),如何影響再保險(xiǎn)合約設(shè)計(jì),這些問(wèn)題都值得進(jìn)行系統(tǒng)深入研究.本文將系統(tǒng)研究處于地位不對(duì)等的保險(xiǎn)公司和再保險(xiǎn)公司之間的停止損失再保險(xiǎn)策略選擇博弈問(wèn)題,探討再保險(xiǎn)合約能夠成交的條件.同時(shí),深入分析模型主要參數(shù)對(duì)再保險(xiǎn)合約設(shè)計(jì)和值函數(shù)的影響,并探尋其內(nèi)在保險(xiǎn)意義.本文的結(jié)果有助于更好的理解保險(xiǎn)公司和再保險(xiǎn)公司之間的再保險(xiǎn)博弈,對(duì)于再保險(xiǎn)合約設(shè)計(jì)也有重要的理論和實(shí)際意義.

2.風(fēng)險(xiǎn)模型

令(?,F,{Ft}0≤t≤T,P)是一個(gè)滿足通常條件的完備概率空間,其中域流Ft表示到t時(shí)刻為止所能獲得的所有信息,T為一有限時(shí)間.假設(shè)下面所有的隨機(jī)過(guò)程都是定義在該完備概率空間上的適應(yīng)過(guò)程.

根據(jù)經(jīng)典的Cramer-Lundberg模型,保險(xiǎn)公司盈余過(guò)程可表示為

其中x0≥0是保險(xiǎn)公司的初始盈余,c >0是單位時(shí)間的保費(fèi)收入,索賠次數(shù)過(guò)程{N(s),s ≥0}是參數(shù)為λ >0的齊次Possion過(guò)程,每一次理賠大小{Zi,i= 1,2,···}是獨(dú)立同分布的正值的隨機(jī)變量,分布函數(shù)為F(z),期望值為μ= E(Zi),二階原點(diǎn)矩為σ2= E[Z2i],矩母函數(shù)為mZ(r)=E[erZ].此外,假設(shè){N(s),s ≥0}和{Zi,i=1,2,···}之間相互獨(dú)立.假設(shè)保險(xiǎn)公司按期望值保費(fèi)原理收取保費(fèi),即c=(1+θ)λμ,其中θ >0為保險(xiǎn)公司的安全系數(shù).

假設(shè)保險(xiǎn)公司可以通過(guò)向再保險(xiǎn)公司購(gòu)買停止損失再保險(xiǎn)來(lái)轉(zhuǎn)移風(fēng)險(xiǎn),在這里不考慮投資.對(duì)每次賠付,假設(shè)保險(xiǎn)公司的自留風(fēng)險(xiǎn)為m,即對(duì)每次賠付,保險(xiǎn)公司負(fù)責(zé)賠付Zi ∧m,再保險(xiǎn)公司負(fù)責(zé)賠付(Zi ?m)+.假設(shè)再保險(xiǎn)公司也按期望值保費(fèi)原理收取再保費(fèi),再保險(xiǎn)公司的安全系數(shù)為η,則再保險(xiǎn)公司的再保費(fèi)為c1= (1+η)λE[(Zi ?m)+].此時(shí),再保險(xiǎn)價(jià)格就通過(guò)再保險(xiǎn)公司的安全系數(shù)來(lái)體現(xiàn),并假設(shè)η ≥θ.

因此,保險(xiǎn)公司購(gòu)買停止損失再保險(xiǎn)后盈余過(guò)程為

假設(shè)再保險(xiǎn)公司自身并沒(méi)有參與其它的保險(xiǎn)活動(dòng),其收入來(lái)源完全由再保險(xiǎn)保費(fèi)構(gòu)成.不考慮保險(xiǎn)公司和再保險(xiǎn)公司的投資行為,是因?yàn)槲覀兿Ｍ接懕ｋU(xiǎn)公司和再保險(xiǎn)公司之間再保險(xiǎn)合約能夠成交的條件.再保險(xiǎn)公司承保后(接受保險(xiǎn)公司的停止損失再保險(xiǎn))的盈余過(guò)程為

其中y0>0是再保險(xiǎn)公司的初始盈余.

因此,根據(jù)Grandell[19]可得,保險(xiǎn)公司的盈余過(guò)程可用下面的擴(kuò)散過(guò)程逼近

再保險(xiǎn)公司承保后盈余過(guò)程的擴(kuò)散逼近過(guò)程為

其中W(s)是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的Brownian運(yùn)動(dòng),并且

和

考慮兩個(gè)嚴(yán)格遞增嚴(yán)格凹的效用函數(shù)ui:R→R,i=1,2,即u′i >0且u′′i <0,其中u1為保險(xiǎn)公司的效用函數(shù),u2為再保險(xiǎn)公司的效用函數(shù).保險(xiǎn)公司以期望盈余效用增加作為購(gòu)買停止損失再保險(xiǎn)的依據(jù),保險(xiǎn)公司在終端時(shí)刻T的期望盈余效用定義為

若保險(xiǎn)公司不購(gòu)買停止損失再保險(xiǎn),則保險(xiǎn)公司在終端時(shí)刻T的期望盈余效用為

假設(shè)再保險(xiǎn)公司也以期望盈余效用增加作為承保的依據(jù),以再保險(xiǎn)公司的安全系數(shù)η作為再保險(xiǎn)價(jià)格.如果再保險(xiǎn)公司接受保險(xiǎn)公司的停止損失再保險(xiǎn)策略,再保險(xiǎn)公司在終端時(shí)刻T的期望盈余效用定義為

若再保險(xiǎn)公司能夠決定承保的停止損失再保險(xiǎn)數(shù)量,再保險(xiǎn)公司承保停止損失再保險(xiǎn)策略為m時(shí)在終端時(shí)刻T的期望盈余效用定義為

若再保險(xiǎn)公司不接受保險(xiǎn)公司的再保險(xiǎn),則再保險(xiǎn)公司在終端時(shí)刻T的期望盈余效用為

在實(shí)際再保險(xiǎn)市場(chǎng),保險(xiǎn)公司可以選擇是否購(gòu)買再保險(xiǎn)及其數(shù)量,同時(shí),再保險(xiǎn)公司也可以選擇是否承保及其承保的價(jià)格和數(shù)量.因此,在保險(xiǎn)公司和再保險(xiǎn)公司之間存在著一個(gè)再保險(xiǎn)策略博弈.一個(gè)合理的再保險(xiǎn)合約應(yīng)該同時(shí)考慮保險(xiǎn)公司和再保險(xiǎn)公司的利益,對(duì)雙方來(lái)說(shuō)都是有利的,再保險(xiǎn)合約才能成交.考慮到保險(xiǎn)公司和再保險(xiǎn)公司之間所處主導(dǎo)地位的不同,再保險(xiǎn)策略選擇存在如下三種博弈情形:

(i)保險(xiǎn)公司占主導(dǎo).保險(xiǎn)公司決定再保費(fèi)和購(gòu)買停止損失再保險(xiǎn)數(shù)量,再保險(xiǎn)公司只能根據(jù)再保費(fèi)決定是否承保此數(shù)量再保險(xiǎn).保險(xiǎn)公司選擇的最優(yōu)停止損失再保險(xiǎn)策略m?,使得

再保險(xiǎn)公司決定承保時(shí),再保費(fèi)應(yīng)該滿足下面條件

(ii)保險(xiǎn)公司和再保險(xiǎn)公司共同主導(dǎo).保險(xiǎn)公司決定購(gòu)買停止損失再保險(xiǎn)數(shù)量,再保險(xiǎn)公司決定承保的再保費(fèi).此時(shí),保險(xiǎn)公司選擇最優(yōu)停止損失再保險(xiǎn)策略,使得

再保險(xiǎn)公司選擇最優(yōu)的再保費(fèi)η?,使得

(iii)再保險(xiǎn)公司占主導(dǎo).再保險(xiǎn)公司決定再保費(fèi)和承保的再保險(xiǎn)數(shù)量,保險(xiǎn)公司只能根據(jù)再保費(fèi)決定是否購(gòu)買此數(shù)量再保險(xiǎn).此時(shí),再保險(xiǎn)公司選擇最優(yōu)承保數(shù)量,使得

保險(xiǎn)公司決定購(gòu)買此數(shù)量的停止損失再保險(xiǎn)時(shí),再保費(fèi)應(yīng)該滿足下面條件

如果保險(xiǎn)公司和再保險(xiǎn)公司具有一般的效用函數(shù),要判斷三種博弈情形下解的存在唯一性是比較困難的,即便三種博弈情形下存在解,要得到其解的顯示表達(dá)式也是十分困難的.

3.CARA效用保險(xiǎn)公司和再保險(xiǎn)公司

假設(shè)保險(xiǎn)公司和再保險(xiǎn)公司都具有指數(shù)效用函數(shù),即

其中αi >0為常數(shù)絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡(constant absolute risk aversion(CARA))系數(shù).此時(shí),保險(xiǎn)公司和再保險(xiǎn)公司的絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)分別為α1和α2.

若保險(xiǎn)公司不購(gòu)買停止損失再保險(xiǎn),則由(2.4),(2.9)和(3.1)可得保險(xiǎn)公司在終端時(shí)刻T的期望盈余效用為

若再保險(xiǎn)公司不接受保險(xiǎn)公司的停止損失再保險(xiǎn),則由(2.5),(2.12)和(3.1)可得再保險(xiǎn)公司在終端時(shí)刻T的期望盈余效用為

Ⅰ 保險(xiǎn)公司占主導(dǎo)

下面,在保險(xiǎn)公司占主導(dǎo)下,考慮保險(xiǎn)公司的最優(yōu)停止損失再保險(xiǎn)策略以及再保險(xiǎn)公司決定承保的條件.

定理3.1保險(xiǎn)公司的最優(yōu)停止損失再保險(xiǎn)策略為

相應(yīng)的值函數(shù)為

證根據(jù)動(dòng)態(tài)規(guī)劃原理可知,V1滿足下面的Hamilton-Jacobi-Bellman(HJB)方程

其邊界條件為

為了求解(3.6),根據(jù)邊界條件(3.7),假設(shè)方程(3.6)具有如下形式的解

其中h(t)是一個(gè)待定函數(shù),使得(3.8)是方程(3.6)的解,且由邊界條件(3.7)知h(T)= 1.因此,由(3.8)有

把(3.9)代入(3.6)化簡(jiǎn),可得

由一階最優(yōu)化條件得到保險(xiǎn)公司的最優(yōu)停止損失再保險(xiǎn)策略為

把m?=η/α1代入(3.10),化簡(jiǎn)得

由邊界條件h(T)=1,可得

注3.1由定理3.1可知,保險(xiǎn)公司的最優(yōu)停止損失再保險(xiǎn)策略僅僅依賴保險(xiǎn)公司的絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)和再保費(fèi),獨(dú)立于索賠強(qiáng)度和每次賠付大小的分布.

定理3.2如果再保費(fèi)η滿足

則再保險(xiǎn)公司承保后能夠增加其效用,即有V2η(t,y)≥(t,y).

證由(2.5),(2.10)和(3.1)可知,再保險(xiǎn)公司承保保險(xiǎn)公司的停止損失再保險(xiǎn)m?=η/α1后的期望終端盈余效用為

因此,由(3.3)可得

所以由λ>0和α2>0易知定理3.2成立.

推論3.1如果每次賠付額Zi服從參數(shù)為β的指數(shù)分布,則保險(xiǎn)公司的的最優(yōu)停止損失再保險(xiǎn)策略為m?=η/α1,值函數(shù)為

再保險(xiǎn)公司承保后的值函數(shù)為

且當(dāng)再保費(fèi)時(shí),有Vη2(t,y)(t,y).

證若索賠額Zi服從參數(shù)為β的指數(shù)分布,則有

和

因此,把(3.15)和(3.16)分別代入(3.5)和(3.12)化簡(jiǎn)可得(3.13)和(3.14).把(3.15)和(3.16)代入(3.11)化簡(jiǎn)可得

Ⅱ 保險(xiǎn)公司和再保險(xiǎn)公司共同主導(dǎo)

下面,在保險(xiǎn)公司和再保險(xiǎn)公司共同主導(dǎo)下,考慮保險(xiǎn)公司的最優(yōu)停止損失再保險(xiǎn)策略和再保險(xiǎn)公司的最優(yōu)再保費(fèi).

定理3.3保險(xiǎn)公司的最優(yōu)停止損失再保險(xiǎn)策略為

再保險(xiǎn)公司的最優(yōu)再保費(fèi)η?滿足下面的方程

此時(shí),保險(xiǎn)公司的值函數(shù)為

再保險(xiǎn)公司的值函數(shù)為

證由定理3.1可得,保險(xiǎn)公司的最優(yōu)停止損失再保險(xiǎn)策略為m?=η/α1.把m?=η/α1代入(2.5),根據(jù)動(dòng)態(tài)規(guī)劃原理可知,V2滿足下面的HJB方程

其邊界條件為

為了求解(3.21),根據(jù)邊界條件(3.22),假設(shè)方程(3.21)具有如下形式的解

其中g(shù)(t)是一個(gè)待定函數(shù),使得(3.23)是方程(3.21)的解,且由邊界條件(3.22)知g(T)=1.因此,由(3.23)有

把(3.24)代入(3.21)化簡(jiǎn),可得

由一階最優(yōu)化條件得到再保險(xiǎn)公司的最優(yōu)再保費(fèi)η?滿足

把m?和η?代入(3.25),化簡(jiǎn)得

由邊界條件g(T)=1,可得

注3.2首先由(3.18)得到再保險(xiǎn)公司的最優(yōu)再保費(fèi),然后代入(3.17)得到保險(xiǎn)公司的最優(yōu)停止損失再保險(xiǎn)策略.

推論3.2如果每次賠付額Zi服從參數(shù)為β的指數(shù)分布,則保險(xiǎn)公司的的最優(yōu)停止損失再保險(xiǎn)策略為

值函數(shù)為

再保險(xiǎn)公司的最優(yōu)再保費(fèi)為

值函數(shù)為

證若索賠額Zi服從參數(shù)為β的指數(shù)分布,則有(3.15)和(3.16)成立.因此,把(3.15)和(3.16)代入(3.18)化簡(jiǎn)可得

Ⅲ 再保險(xiǎn)公司占主導(dǎo)

下面,在再保險(xiǎn)公司占主導(dǎo)下,考慮再保險(xiǎn)公司的最優(yōu)承保停止損失再保險(xiǎn)策略以及保險(xiǎn)公司決定購(gòu)買該再保險(xiǎn)時(shí)再保費(fèi)滿足的條件.

定理3.4再保險(xiǎn)公司的最優(yōu)承保停止損失再保險(xiǎn)策略滿足下面方程

相應(yīng)的值函數(shù)為

證根據(jù)動(dòng)態(tài)規(guī)劃原理可知,V3滿足下面的HJB方程

其邊界條件為

為了求解(3.32),根據(jù)邊界條件(3.33),假設(shè)方程(3.32)具有如下形式的解

其中f(t)是一個(gè)待定函數(shù),使得(3.34)是方程(3.32)的解,且由邊界條件(3.33)知f(T)=1.因此,由(3.34)有

把(3.35)代入(3.32)化簡(jiǎn),可得

由一階最優(yōu)化條件可得再保險(xiǎn)公司的最優(yōu)承保停止損失再保險(xiǎn)策略滿足下面方程

由邊界條件f(T)=1,可得

注3.3由定理3.4可知,再保險(xiǎn)公司的最優(yōu)承保停止損失再保險(xiǎn)策略不僅依賴再保險(xiǎn)公司的絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)和再保費(fèi),而且還依賴每次賠付大小的分布.

定理3.5如果再保費(fèi)η滿足

證由(2.4),(2.8)和(3.1)可知,保險(xiǎn)公司購(gòu)買停止損失再保險(xiǎn)后在終端時(shí)刻T的期望盈余效用為

因此,由(3.2)可得

所以由λ>0和α1>0易知定理3.5成立.

推論3.3假設(shè)每次賠付額Zi服從參數(shù)為β的指數(shù)分布,則有

(i)如果η=α2/β,則再保險(xiǎn)公司的最優(yōu)承保停止損失再保險(xiǎn)策略為任意非負(fù)常數(shù),值函數(shù)為

(ii)如果ηα2/β,則再保險(xiǎn)公司的最優(yōu)承保停止損失再保險(xiǎn)策略=∞,即再保險(xiǎn)公司不愿承保任何數(shù)量的停止損失再保險(xiǎn),值函數(shù)為

保險(xiǎn)公司不購(gòu)買停止損失再保險(xiǎn),值函數(shù)為

證如果索賠額Zi服從參數(shù)為β的指數(shù)分布,則(3.15)和(3.16)成立.因此,把(3.15)和(3.16)代入(3.30)化簡(jiǎn)可得滿足下面方程

所以,當(dāng)η=α2/β時(shí),方程(3.43)的解為任意非負(fù)常數(shù).把(3.15)、(3.16)、η=α2/β和分別代入(3.31)和(3.38)化簡(jiǎn)可得(3.39)和(3.40).當(dāng)ηα2/β時(shí),方程(3.43)的解=∞,即再保險(xiǎn)公司不承保任何停止損失再保險(xiǎn).因此,再保險(xiǎn)公司和保險(xiǎn)公司的值函數(shù)分保為(3.41)和(3.42).

注3.4由推論3.3可知,當(dāng)時(shí),任意非負(fù)常數(shù)的停止損失再保險(xiǎn)合約都是可以成交的.此時(shí),雖然承保后再保險(xiǎn)公司的效用保持不變,但是由于有再保費(fèi)收入,承保后再保險(xiǎn)公司的規(guī)模會(huì)變大.

4.結(jié)果比較與靈敏性分析

下面在賠付額服從指數(shù)分布下分別考慮三種博弈情況下最優(yōu)再保險(xiǎn)合約與模型主要參數(shù)之間的關(guān)系,并通過(guò)數(shù)值計(jì)算得到保險(xiǎn)公司和再保險(xiǎn)公司的效用損益與模型主要參數(shù)之間的關(guān)系.除非特別說(shuō)明,各模型參數(shù)取值如表4.1所示,其大小與實(shí)際較為一致.

表4.1 數(shù)值例子中的各個(gè)模型參數(shù)值

由于V1(t,x)<0和(t,x)<0,定義

為保險(xiǎn)公司購(gòu)買停止損失再保險(xiǎn)后對(duì)應(yīng)的效用損益.若L1(T)>0,則表示保險(xiǎn)公司購(gòu)買再保險(xiǎn)后期望終端盈余效用會(huì)增加,即保險(xiǎn)公司有效用收益,L1(T)的大小為保險(xiǎn)公司效用增加的百分比;L1(T)<0表示保險(xiǎn)公司購(gòu)買再保險(xiǎn)后期望終端盈余效用會(huì)減少,即保險(xiǎn)公司有效用損失,L1(T)的大小為保險(xiǎn)公司效用損失的百分比.同樣的,定義為再保險(xiǎn)公司承保后對(duì)應(yīng)的效用損益.若L2(T)>0,則表示再保險(xiǎn)公司承保后有效用收益;若L2(T)<0,則表示再保險(xiǎn)公司承保后有效用損失.

Ⅰ 保險(xiǎn)公司占主導(dǎo)

由推論3.1容易得到下面的推論.

推論4.1(i)保險(xiǎn)公司的最優(yōu)停止損失再保險(xiǎn)策略m?是α1的減函數(shù),是η的增函數(shù);

(ii)再保險(xiǎn)公司愿意承保的最小再保費(fèi)隨著再保險(xiǎn)公司的絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)的增加而增加,隨著平均賠付額的增加而增加.

由推論4.1(i)可知,保險(xiǎn)公司的最優(yōu)自留停止損失是α1的減函數(shù).因?yàn)棣?為保險(xiǎn)公司的絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù),α1越大,保險(xiǎn)公司越厭惡風(fēng)險(xiǎn),因此保險(xiǎn)公司會(huì)自留更少的風(fēng)險(xiǎn).同時(shí),保險(xiǎn)公司的最優(yōu)自留停止損失是η的增函數(shù).由于η為再保險(xiǎn)公司的安全系數(shù),η越大,購(gòu)買再保險(xiǎn)的成本越高,所以保險(xiǎn)公司購(gòu)買更少的再保險(xiǎn).這些結(jié)果都與實(shí)際相符合.由推論4.1(ii)可知,再保險(xiǎn)公司愿意承保的最小再保費(fèi)是α2的增函數(shù).因?yàn)棣?為再保險(xiǎn)公司的絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù),α2越大,再保險(xiǎn)公司越厭惡風(fēng)險(xiǎn),因此再保險(xiǎn)公司承保需要更高的再保費(fèi).同時(shí),再保險(xiǎn)公司愿意承保的最小再保費(fèi)是β的減函數(shù).這是因?yàn)棣略酱?賠付額的平均值越小,再保險(xiǎn)公司承保面臨的風(fēng)險(xiǎn)越小,所以再保費(fèi)越少.

由推論3.1,(4.1)和(4.2)可得保險(xiǎn)公司的效用損益為

再保險(xiǎn)公司的效用損益為

由(4.3)可知,保險(xiǎn)公司購(gòu)買停止損失再保險(xiǎn)后有效用收益.當(dāng)時(shí),再保險(xiǎn)公司承保后也有效用收益.此時(shí),停止損失再保險(xiǎn)合約可以成交.

推論4.2在保險(xiǎn)公司占主導(dǎo)下,保險(xiǎn)公司和再保險(xiǎn)公司的效用收益與模型主要參數(shù)之間的關(guān)系如表4.2所示.

表4.2 效用收益Li(T)與模型主要參數(shù)之間的關(guān)系

證由(4.3)和(4.4)分別對(duì)相應(yīng)的參數(shù)求導(dǎo),化簡(jiǎn)容易得到推論4.2的結(jié)論.下面僅僅給出L2(T)與η之間關(guān)系的證明,其它類似.根據(jù)(4.4),L2(T)對(duì)η求導(dǎo),化簡(jiǎn)得

圖4.1給出了保險(xiǎn)公司和再保險(xiǎn)公司的效用損益與再保費(fèi)η之間的關(guān)系.由圖4.1可知,保險(xiǎn)公司和再保險(xiǎn)公司都有效用收益,即在此再保費(fèi)下,保險(xiǎn)公司購(gòu)買停止損失再保險(xiǎn)和再保險(xiǎn)公司承保都能提高其效用,再保險(xiǎn)合約可以成交.保險(xiǎn)公司的效用收益L1(T)隨著再保費(fèi)η的增加而減少,因?yàn)棣窃酱?再保險(xiǎn)成本越高,購(gòu)買再保險(xiǎn)需要花費(fèi)更多財(cái)富,導(dǎo)致保險(xiǎn)公司的期望盈余效用減少.再保險(xiǎn)公司的效用收益L2(T)是再保費(fèi)η的先增后減函數(shù),這與直觀的再保費(fèi)越高,再保險(xiǎn)公司承保收取更多的保費(fèi),再保險(xiǎn)公司具有更多的財(cái)富,從而期望盈余效用越大不一致.這是因?yàn)橐环矫?再保費(fèi)越高,再保險(xiǎn)公司承保收取更多的保費(fèi)導(dǎo)致再保險(xiǎn)公司期望盈余增加;另一方面,再保費(fèi)越高,再保險(xiǎn)成本越高,由推論4.1可知,保險(xiǎn)公司購(gòu)買更少的再保險(xiǎn)導(dǎo)致再保險(xiǎn)公司盈余減少.當(dāng)再保費(fèi)較小時(shí),第一方面占主導(dǎo),因此再保險(xiǎn)公司的效用收益隨著再保費(fèi)的增加而增加;當(dāng)再保費(fèi)較大時(shí),第二方面占主導(dǎo),因此再保險(xiǎn)公司的效用收益隨著再保費(fèi)的增加而減小.這些結(jié)果與表4.2所得結(jié)果一致.

圖4.1 效用損益與η之間的關(guān)系

圖4.2給出了保險(xiǎn)公司和再保險(xiǎn)公司的效用損益與每次賠付額分布參數(shù)β之間的關(guān)系.由圖4.2可知,保險(xiǎn)公司的效用收益L1(T)隨著β的增加而減少,因?yàn)棣略酱?平均賠付額越小,由于保險(xiǎn)公司是根據(jù)期望值保費(fèi)原理收取保費(fèi),故保費(fèi)減少且保險(xiǎn)公司的分保保持不變,所以保險(xiǎn)公司的期望盈余效用減少.再保險(xiǎn)公司的效用收益L2(T)是β的先增后減函數(shù).因?yàn)橐环矫?β越大,再保險(xiǎn)公司承保后的賠付風(fēng)險(xiǎn)減小導(dǎo)致再保險(xiǎn)公司期望盈余增加;另一方面,β越大,再保險(xiǎn)公司是根據(jù)期望值保費(fèi)原理收取再保費(fèi),再保費(fèi)減少,導(dǎo)致再保險(xiǎn)公司盈余減少.當(dāng)β較小時(shí),第一方面占主導(dǎo),因此再保險(xiǎn)公司的效用收益隨著β的增加而增加;當(dāng)β較大時(shí),第二方面占主導(dǎo),因此再保險(xiǎn)公司的效用收益隨著β的增加而減小.

圖4.2 效用損益與β之間的關(guān)系

Ⅱ 保險(xiǎn)公司和再保險(xiǎn)公司共同主導(dǎo)

由推論3.2容易得到下面的推論.

推論4.3(i)保險(xiǎn)公司的最優(yōu)自留停止損失是保險(xiǎn)公司絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)α1的減函數(shù),是再保險(xiǎn)公司絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)α2的增函數(shù),是平均賠付額1/β的增函數(shù);

(ii)再保險(xiǎn)公司承保的最優(yōu)再保費(fèi)隨著再保險(xiǎn)公司或再保險(xiǎn)公司的絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)的增加而增加,隨著平均賠付額的增加而增加.

由推論4.3(i)可知,保險(xiǎn)公司的最優(yōu)自留停止損失是再保險(xiǎn)公司絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)α2的增函數(shù).因?yàn)棣?為再保險(xiǎn)公司的絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù),α2越大,再保險(xiǎn)公司越厭惡風(fēng)險(xiǎn),所以再保險(xiǎn)公司承保需要更多的再保費(fèi),保險(xiǎn)公司購(gòu)買停止損失再保險(xiǎn)成本更高,因此保險(xiǎn)公司會(huì)自留更多的風(fēng)險(xiǎn).同時(shí),保險(xiǎn)公司的最優(yōu)自留停止損失是平均賠付額1/β的增函數(shù).這是因?yàn)橐环矫?/β越大,賠付額的均值越大,保險(xiǎn)公司需要購(gòu)買更多的再保險(xiǎn);另一方面,1/β越大,由(3.28)知再保險(xiǎn)公司承保的再保費(fèi)越高,保險(xiǎn)公司會(huì)減少再保險(xiǎn)的購(gòu)買.由于第二方面占主導(dǎo),所以保險(xiǎn)公司會(huì)自留更多的風(fēng)險(xiǎn).保險(xiǎn)公司的最優(yōu)自留停止損失與α1之間關(guān)系的原因類似推論4.1解釋.由推論4.3(ii)還可以發(fā)現(xiàn),再保險(xiǎn)公司愿意承保的最優(yōu)再保費(fèi)是α1的增函數(shù).因?yàn)棣?為保險(xiǎn)公司的絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù),α1越大,保險(xiǎn)公司越厭惡風(fēng)險(xiǎn),因此保險(xiǎn)公司購(gòu)買再保險(xiǎn)愿意支付更高的再保費(fèi).再保險(xiǎn)公司承保的最優(yōu)再保費(fèi)與α2和β之間關(guān)系的原因類似推論4.1的解釋.

由推論3.2,(4.1)和(4.2)可得保險(xiǎn)公司的效用損益為

再保險(xiǎn)公司的效用損益為

推論4.4在保險(xiǎn)公司和再保險(xiǎn)公司共同主導(dǎo)下,保險(xiǎn)公司和再保險(xiǎn)公司的效用收益與模型主要參數(shù)之間的關(guān)系如表4.3所示.

表4.3 效用收益(T)與模型主要參數(shù)之間的關(guān)系

表4.3 效用收益(T)與模型主要參數(shù)之間的關(guān)系

?ˉL1(T)?ˉL1(T)?ˉL1(T)?ˉL2(T)?ˉL2(T)?ˉL2(T)?α1?β?α2?α1?β?α2 0<α2 ≤α1 α2 >α1+ - - + - + -

證由(4.5)和(4.6)分別對(duì)相應(yīng)的參數(shù)求導(dǎo),化簡(jiǎn)容易得到推論4.4的結(jié)論.

圖4.3給出了保險(xiǎn)公司和再保險(xiǎn)公司的效用損益與保險(xiǎn)公司的絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)α1之間的關(guān)系.由圖4.3可知,保險(xiǎn)公司和再保險(xiǎn)公司的效用收益都隨著α1的增加而增加,保險(xiǎn)公司和再保險(xiǎn)公司都有效用收益,再保險(xiǎn)合約是可以成交的.所得結(jié)果與表4.3所得結(jié)果一致.

圖4.3 效用損益與α1之間的關(guān)系

圖4.4給出了保險(xiǎn)公司和再保險(xiǎn)公司的效用損益與再保險(xiǎn)公司的絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)α2之間的關(guān)系.由圖4.4可知,保險(xiǎn)公司的效用收益隨著α2的增加而減小.由推論4.3可知,再保費(fèi)和保險(xiǎn)公司的最優(yōu)自留風(fēng)險(xiǎn)都是α2的增函數(shù).因此,隨著再保險(xiǎn)公司絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)的增加,保險(xiǎn)公司自留風(fēng)險(xiǎn)增加,并且再保險(xiǎn)公司承保收取更多的再保費(fèi),所以保險(xiǎn)公司的期望盈余效用減小.從圖4.4可以發(fā)現(xiàn),再保險(xiǎn)公司的效用收益是α2的先增后減函數(shù).因?yàn)橐环矫?α2越大,由推論4.3可知再保險(xiǎn)公司承保收取更多的再保費(fèi),導(dǎo)致再保險(xiǎn)公司期望盈余增加;另一方面,α2越大,由推論4.3可知保險(xiǎn)公司購(gòu)買更少的停止損失再保險(xiǎn),再保費(fèi)減少導(dǎo)致再保險(xiǎn)公司期望盈余減少.當(dāng)α2較小時(shí),第一方面占主導(dǎo),因此再保險(xiǎn)公司的效用收益隨著α2的增加而增加;當(dāng)α2較大時(shí),第二方面占主導(dǎo),所以再保險(xiǎn)公司的效用收益隨著α2的增加而減小.

圖4.4 效用損益與α2之間的關(guān)系

Ⅲ 再保險(xiǎn)公司占主導(dǎo)

由推論3.3容易得到下面的推論.

推論4.5(i)若η=α2/β,則再保險(xiǎn)公司的最優(yōu)承保停止損失再保險(xiǎn)策略為任意非負(fù)常數(shù),不隨任何模型參數(shù)的變化而變化;

(ii)若η=α2/β,則保險(xiǎn)公司購(gòu)買再保險(xiǎn)愿意支付的最大保費(fèi)隨著保險(xiǎn)公司絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)的增加而增加,隨著平均賠付額的增加而增加.

如果η=α2/β,由(3.41)可知,再保險(xiǎn)公司承保停止損失再保險(xiǎn)策略為任意非負(fù)常數(shù),再保險(xiǎn)公司承保和不承保對(duì)應(yīng)的期望終端盈余效用都一樣,所以再保險(xiǎn)公司的最優(yōu)承保停止損失再保險(xiǎn)策略不隨任何模型參數(shù)的變化而變化.保險(xiǎn)公司購(gòu)買再保險(xiǎn)愿意支付的最大保費(fèi)與α1和β之間關(guān)系的原因類似推論4.3的解釋.

由推論3.3,(4.1)和(4.2)可得保險(xiǎn)公司的效用損益為

再保險(xiǎn)公司的效用損益為

推論4.6在再保險(xiǎn)公司主導(dǎo)下,保險(xiǎn)公司的效用收益與模型主要參數(shù)之間的關(guān)系如表4.4所示.

表4.4 效用收益(T)與模型主要參數(shù)之間的關(guān)系

表4.4 效用收益(T)與模型主要參數(shù)之間的關(guān)系

?

證由(4.7)分別對(duì)相應(yīng)的參數(shù)求導(dǎo),化簡(jiǎn)容易得到推論4.6的結(jié)論.

由表4.4可知,保險(xiǎn)公司的效用收益是再保險(xiǎn)公司的最優(yōu)承保停止損失再保險(xiǎn)策略的先增后減函數(shù).由于再保費(fèi)η=α2/β是固定的,一方面,越大,保險(xiǎn)公司購(gòu)買更少的再保險(xiǎn),再保費(fèi)減少導(dǎo)致保險(xiǎn)公司期望盈余增加;另一方面,越大,保險(xiǎn)公司自留更多的風(fēng)險(xiǎn),面臨更大的賠付風(fēng)險(xiǎn)導(dǎo)致保險(xiǎn)公司的期望盈余減少.當(dāng)較小時(shí),第一方面占主導(dǎo),因此保險(xiǎn)公司的效用收益隨著的增加而增加;當(dāng)較大時(shí),第二方面占主導(dǎo),所以保險(xiǎn)公司的效用收益隨著的增加而減小.