非強(qiáng)制混合向量變分不等式解的存在性研究

許可,范江華

(廣西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,廣西 桂林541006)

1.引言

變分不等式及其應(yīng)用是非線性分析中的重要部分,在力學(xué),博弈論,經(jīng)濟(jì),最優(yōu)化理論和非線性規(guī)劃等領(lǐng)域都有廣泛應(yīng)用.向量變分不等式是變分不等式的重要分支,向量變分不等式最早由Giannessi在文[1]中對(duì)有限維歐氏空間引入,大量學(xué)者對(duì)向量變分不等式進(jìn)行深入研究并將其推廣至無(wú)限維空間,參見文[2]及其參考文獻(xiàn).Lee和Bu[3]討論了具有非緊多面體約束集和正半定矩陣的仿射向量變分不等式的解集的有界性和連通性.

人們對(duì)無(wú)界集上變分不等式問(wèn)題加上強(qiáng)制性條件,使得解集非空有界.對(duì)于非強(qiáng)制變分不等式問(wèn)題,例外簇方法是研究無(wú)界集上變分不等式問(wèn)題解的存在性的有效方法.Smith[4]在Rn中首先利用例外序列研究非線性互補(bǔ)問(wèn)題解的存在性;ZHAO[5]應(yīng)用例外簇研究變分不等式問(wèn)題;韓繼業(yè)等人[6]給出變分不等式問(wèn)題新的例外簇,得到解的存在性的一些新結(jié)果;王敏等[7]對(duì)Banach空間中變分不等式的例外簇,嚴(yán)格可行性及解的存在性三者之間的關(guān)系進(jìn)行了研究.ZHONG等[8]提出了凸優(yōu)化問(wèn)題例外族,得到了自反Banach空間中凸優(yōu)化問(wèn)題的一些存在性結(jié)果,并應(yīng)用于約束優(yōu)化問(wèn)題和凸二次規(guī)劃問(wèn)題.HUANG等[9]利用例外簇方法研究張量互補(bǔ)問(wèn)題解的存在性,WANG等[10]利用例外簇方法研究張量變分不等式問(wèn)題解的存在性.

本文以下設(shè)X為自反Banach空間,K為X的非空閉凸子集,設(shè)T:X →L(X,Rm),H:K →Rm為向量值映射,我們考慮如下形式的混合向量變分不等式MVVI(T;H;K):找到ˉx ∈K使得

當(dāng)m=1時(shí),MVVI(T;H;K)為混合變分不等式.

對(duì)任一ξ ∈Rm+{0},定義ξH:K →R,使得ξH(x)=ξ(H(x)),我們考慮如下混合標(biāo)量變分不等式:找到ˉx ∈K使得

混合向量變分不等式是一類較為廣泛的數(shù)學(xué)模型,包含了變分不等式問(wèn)題,優(yōu)化問(wèn)題及向量變分不等式問(wèn)題,尚未有文獻(xiàn)給出向量變分不等式問(wèn)題的例外簇.另一方面,最近文[11]給出混合變分不等式解集為非空緊致集的充分條件.

本文利用例外簇方法研究非強(qiáng)制混合向量變分不等式的弱有效解的存在性;首先證明若混合向量變分不等式問(wèn)題不存在例外簇,則混合向量變分不等式問(wèn)題的弱有效解集為非空集合;利用向量值映射的漸近映射給出自反Banach空間中非強(qiáng)制混合向量變分不等式的弱有效解集不存在例外簇的充分條件,從而得到混合向量變分不等式問(wèn)題的弱有效解的存在性結(jié)果;我們研究了當(dāng)算子為余正仿射算子時(shí),給出混合仿射向量變分不等式不存在例外簇的充分條件,得到混合仿射向量變分不等式弱有效解的存在性,還給出了混合向量變分不等式的弱有效解集為非空緊致集的充分條件.將文[11]中有限維空間中標(biāo)量混合變分不等式解的存在性結(jié)果推廣到自反Banach空間中混合向量變分不等式.

2.預(yù)備知識(shí)

本節(jié)給出本文需要的基本定義和結(jié)論.

設(shè)X為自反Banach空間,X?為X的對(duì)偶空間.K為X中非空閉凸子集,K的內(nèi)部,邊界和閉包分別用intK,?K和來(lái)表示.我們用∥·∥表示X中的范數(shù).”→”,”?”分別表示強(qiáng)收斂和弱收斂.

我們用coneK:=∪t≥0tK為K生成的錐.給定錐P ?X,稱緊凸集B0為P的一個(gè)緊致基,若0/∈B0,且P= coneB0.一個(gè)有緊致基的錐被稱為具有良好基,顯然有限維空間中閉凸點(diǎn)錐具有良好基.給定ε>0,定義Pε=cone(B0+B(0,ε)),顯然Pε是錐,且P ?Pε.

定義K的退化錐

當(dāng)K是閉凸集時(shí),有

并且K∞也是凸集.

定義K的障礙錐

定義2.1函數(shù)f:K →R稱為凸函數(shù),若滿足對(duì)任意的x,y ∈K,t ∈[0,1],有

定義2.2F:K →Y稱為Rm+-凸向量值映射,若對(duì)任意的x,y ∈K,t ∈[0,1],有

定義2.3設(shè)X為Banach空間,D(T)?X,算子T:X →L(X,Rm),

1)稱T在x0∈D(T)處強(qiáng)連續(xù),若

2)稱T為1 次正齊次,若對(duì)任一x ∈D(T),任一λ>0,有T(λx)=λT(x).

定義2.4設(shè)F:K →Rm為非空向量值映射,則稱F:

(i)在點(diǎn)x0是Rm+-上半連續(xù),如果對(duì)Rm中零點(diǎn)的任意開鄰域V,存在x0在X中的開鄰域U,對(duì)任意的x ∈U,有F(x)∈F(x0)+V ?Rm+;

(ii)在點(diǎn)x0是Rm+-下半連續(xù),如果對(duì)Rm中零點(diǎn)的任意開鄰域V,存在x0在X中的開鄰域U,對(duì)任意的x ∈U,有F(x)∈F(x0)+V+Rm+.

設(shè)F:X →Rm為向量值映射,F=(f1,...,fm),由Rm+-凸映射與Rm+-下半連續(xù)映射的定義可知

1)若F:X →Rm為Rm+-凸映射,則對(duì)任一i ∈{1,...,m},fi:X →R為凸函數(shù);

2)若F:X →Rm為Rm+-下半連續(xù)映射,則對(duì)任一i ∈{1,...,m},fi:X →R為下半連續(xù)函數(shù).

定義2.5給定矩陣A ∈Rn×n,我們稱

1)A是正定矩陣,若對(duì)于所有x ∈Rn,當(dāng)xθ時(shí),有(Ax,x)>0;

2)A是半正定矩陣,若對(duì)于所有x ∈Rn有(Ax,x)≥0;

3)A是K-余正矩陣,若對(duì)于所有x ∈K有(Ax,x)≥0;

4)A是K-余正+矩陣,若對(duì)于所有x ∈K有(Ax,x)≥0.當(dāng)(Ax,x)= 0意味著Ax= 0,x ∈K.

顯然,正定矩陣都是半正定的,半正定矩陣在Rn的非空子集K上都是K-余正矩陣.反之則通常不成立.

定義2.6設(shè)h:Rn →R ∪{+∞}是真函數(shù),h∞:Rn →ˉR:=R ∪{±∞}稱為h的漸近函數(shù),若

并且有如下等式:

當(dāng)h是真凸下半連續(xù)函數(shù)時(shí):

文[12]定義向量值映射的漸近映射如下.

定義2.7[12]設(shè)F:X →Rm為向量值映射,稱F∞:X →Rm為F的漸近映射,若

定義2.8任意給定稱序列{xr}r>0為混合向量變分不等式問(wèn)題MVVI(T;H;K)相對(duì)于的例外簇,若

1)xr ∈K,且

2)對(duì)任一y ∈Kr,有

引理2.1[13]設(shè)K是X的非空閉凸子集,若int(barr(K))?,則不存在滿足∥xn∥→∞的序列{xn}?K,使得

我們?nèi)菀鬃C明如下引理.

引理2.2設(shè)C為線性賦范空間Y中的閉凸點(diǎn)錐且intC?,則

1)C+Y (?intC)?Y (?intC);

2)intC+C=intC;

3)C ?Y (?intC).

下面引理說(shuō)明若K為有界閉凸集,則MVVI(T;H;K)的弱有效解集S(T;H;K)為非空集合.

引理2.3設(shè)K為自反Banach空間X的非空有界閉凸子集.設(shè)T:X →L(X,Rm)是強(qiáng)連續(xù)映射,H:X →Rm是真Rm+-凸,Rm+-下半連續(xù)映射.則MVVI(T;H;K)的弱有效解集S(T;H;K)為非空集合.

證任取ξ ∈Rm+{0},考慮如下標(biāo)量平衡問(wèn)題:找到x0∈K使得

下證上述標(biāo)量平衡問(wèn)題在K上有解.

設(shè)τω為X上的弱拓?fù)?因?yàn)镵為X中有界閉凸集,故K為(X,τω)中緊凸集.顯然對(duì)任意的x ∈K,φ(x,y)關(guān)于y是凹的,對(duì)任意的y ∈K,φ(x,y)關(guān)于x是下半連續(xù)的.由Ky Fan極大極小不等式定理知,存在x0∈K使得

即有

顯然x0為MVVI(T;H;K)的弱有效解,從而S(T;H;K)為非空集合.

引理2.4[14]設(shè)X為自反Banach空間,設(shè)對(duì)于任一i ∈{1,...,m},fi:X →R為下半連續(xù)凸函數(shù),則

下面引理給出向量值映射的漸近映射的性質(zhì).

引理2.5設(shè)F:X →Rm為Rm+-凸,Rm+-下半連續(xù)映射,F= (f1,...,fm).則對(duì)任一ξ ∈Rm+{0},任一d ∈dom(F∞),有(ξF)∞=ξF∞.

證因任一i ∈{1,...,m},fi:X →R為下半連續(xù)凸函數(shù),任一ξ ∈Rm+{0},因ξi ≥0,由引理2.4,有故有(ξF)∞=ξF∞.

3.混合向量變分不等式解的存在性

本節(jié)首先在定理3.1中證明混合向量變分不等式的弱有效解集為空集則存在例外簇.推論3.1說(shuō)明若不存在例外簇,則混合向量變分不等式問(wèn)題的弱有效解集為非空集合.在定理3.2中,我們利用Rm+-凸映射的漸近映射,給出條件使得混合向量變分不等式不存在例外簇,證明了混合向量變分不等式問(wèn)題的弱有效解集為非空有界集.我們將文[11]的部分結(jié)果推廣到自反Banach空間中混合向量變分不等式情形.

定理3.1設(shè)K為自反Banach空間X的非空閉凸子集,∈K.設(shè)T:X →L(X,Rm),設(shè)H:X →Rm是真Rm+-凸,Rm+-下半連續(xù)映射.若混合向量變分不等式問(wèn)題MVVI(T;H;K)無(wú)解,則存在序列{xr}r>0為混合向量變分不等式問(wèn)題MVVI(T;H;K)相對(duì)于的例外簇.

證由引理2.3知,存在xr ∈Kr,使得xr為問(wèn)題MVVI(T;H;Kr)的解,即

因H為Rm+-凸映射,tH(xr)+(1?t)H(y)∈H(txr+(1?t)y)+Rm+,故

將(3.2)代入(3.1)得

故有

從而xr為問(wèn)題MVVI(T;H;K)的解,與定理3.1條件混合向量變分不等式問(wèn)題MVVI(T;H;K)無(wú)解矛盾.故∥r ?∥=r,從而{xr}r>0為混合向量變分不等式問(wèn)題MVVI(T;H;K)相對(duì)于的例外簇.

下面推論3.1說(shuō)明不存在例外簇,則混合向量變分不等式問(wèn)題的弱有效解集為非空集.推論3.1為定理3.1的逆否命題.

推論3.1設(shè)K為自反Banach空間X的非空閉凸子集,∈K.設(shè)T:X →L(X,Rm),設(shè)H:X →Rm是真Rm+-凸,Rm+-下半連續(xù)映射.若混合向量變分不等式問(wèn)題MVVI(T;H;K)不存在相對(duì)于的例外簇,則問(wèn)題MVVI(T;H;K)的弱有效解集S(T;H;K)為非空集.

定理3.2設(shè)K為自反Banach空間X的非空閉凸子集且int(barrK)?,設(shè)T:X →L(X,Rm)為1 次正齊次的強(qiáng)連續(xù)映射,且對(duì)任意的x ∈K,滿足?Tx,x? ∈Rm+.設(shè)H:X →Rm是真Rm+-凸,Rm+-下半連續(xù)映射,且存在x0∈K使得

則S(T;H;K)為非空有界閉集.

證首先證明S(T;H;K)為非空集.假設(shè)S(T;H;K)=?.

對(duì)任意y ∈K,存在r0>0,滿足r0>∥y∥,有

即

從而有

因?qū)θ我鈞 ∈K滿足得

則存在ξ ∈Rm+{0},使得

因ξH為真凸下半連續(xù)函數(shù),由真凸下半連續(xù)函數(shù)的漸近函數(shù)定義可知,存在.故即由引理2.5知，(ξH)∞=ξH∞,從而故有

因此

與定理3.2條件矛盾.從而S(T;H;K)?.

下面用反證法證明S(T;H;K)為有界集.假設(shè)存在{xn}∈S(T;H;K),使得∥xn∥=+∞.

因?yàn)閟upn∈N∥xn∥= +∞,知重復(fù)上述證明過(guò)程可得到矛盾.故S(T;H;K)為有界集.

下面證明S(T;H;K)為閉集.任取{xn}?S(T;H;K),且xn →x0.因{xn}?S(T;H;K),故有

故存在ξ ∈Rm+{0},使得

上式兩側(cè)取下極限,得

從而有

所以x0∈S(T;H;K),因此S(T;H;K)為閉集.

注3.1當(dāng)X為有限維歐氏空間,m= 1時(shí),文[11]得到了混合變分不等式解集為非空緊致集的充分條件.定理3.2將文[11]部分結(jié)果推廣到自反Banach空間中混合向量變分不等式.

4.混合仿射向量變分不等式弱有效解的存在性

本節(jié)研究如下混合仿射向量變分不等式MAVVI(A;H;K),找到x0∈K使得

其中Ai ∈Rn×n,Ai ∈Rn×n為K-余正矩陣,qi ∈Rn,i= 1,...,m;H:Rn →Rm為Rm+-凸,Rm+-下半連續(xù)映射,H= (h1,...,hm).因此對(duì)每個(gè)i ∈{1,...,m},hi為真凸下半連續(xù)函數(shù).稱x0為MAVVI(A;H;K)的弱有效解,記S(A;H;K)為MAVVI(A;H;K)的弱有效解集.

在定理4.1中,我們將定理3.2的結(jié)果應(yīng)用到混合仿射向量變分不等式,得到混合仿射向量變分不等式的弱有效解集為非空緊致集的充分條件.在定理4.2中,我們給出混合仿射向量變分不等式不存在例外簇的充分條件.

定理4.1設(shè)K為Rn中的非空閉凸子集,設(shè)H:Rn →Rm為Rm+-凸,Rm+-下半連續(xù)映射,對(duì)任一i ∈{1,...,m},Ai ∈Rn×n為K-余正矩陣,qi ∈Rn,若存在x0∈K使得

則MAVVI(A;H;K)的弱有效解集S(A;H;K)為非空緊致集.

證因H:Rn →Rm為Rm+-凸,Rm+-下半連續(xù)映射,故對(duì)任一i ∈{1,...,m},hi為真凸下半連續(xù)函數(shù).定義G:Rn →Rm,使得G(x)=H(x)+qx,即gi(x)=hi(x)+qix.令T(x)=(A1x,...,Amx),根據(jù)G的定義,有

由已知條件知

因此

由定理3.2知,對(duì)任意y ∈K,存在x0∈K使得

故S(A;H;K)為非空有界閉集,又因Rm為有限維空間,故S(A;H;K)為非空緊致集.

若K為閉凸集,則K∞是閉凸錐.若K∞具有良好基,給定ε>0,我們定義K∞ε=∪t≥0t(K∞+εB(0,1)).

定理4.2設(shè)K為Rn中的非空閉凸子集,K∞具有良好基.對(duì)任一i ∈{1,...,m},設(shè)Ai ∈Rn×n是K∞ε-余正+矩陣.設(shè)H是Rm+-凸,Rm+-下半連續(xù)映射,且有

則MAVVI(A;H;K)的弱有效解集S(A;H;K)為非空緊致集.

證首先證明S(A;H;K)為非空集.假設(shè)S(A;H;K)=?.

由(4.1)知,存在i0∈{1,...,m},存在{xr}r>0的子序列,不失一般性,仍記為{xr}r>0,使得

兩側(cè)除以∥xr∥2,得

兩邊取下極限,且因hi0為凸函數(shù),有從而有

在(4.2)式中除以∥xr∥,得

因?yàn)锳i0是K∞ε-余正+矩陣,故當(dāng)r充分大時(shí),有從而

(4.3)式可寫為

故有

令r →∞,上式兩邊取下極限,則有又因?yàn)閡 ∈KerAi0,故

與已知條件矛盾,故S(A;H;K)為非空集.

利用定理3.2的證明方法,可得S(A;H;K)為非空有界閉集,故為Rn中非空緊致集.

例4.1設(shè)X= R2,Y= R2.H= (h1,h2),其中則H為R2+-凸,R2+-下半連續(xù)映射,A1,A2是K-余正矩陣,且K∞={(x1,x2)∈R2+:且K∞有緊凸基{(x1,x2)∈R2+:故K∞具有良好基.T(x)= (A1x,A2x),對(duì)任一x ∈K,對(duì)任意u ∈K∞{θ},有h∞1(u)=h∞2(u)=+∞.滿足定理3.2,定理4.1,定理4.2的條件.