關(guān)于度量空間中終于周期點(diǎn)集的注記

冉海全

(重慶師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，重慶 400047)

終于周期點(diǎn),回歸點(diǎn)，和非游蕩點(diǎn)的概念都是由周期點(diǎn)的概念推廣得到的概念，它們是動(dòng)力系統(tǒng)中的重要概念.在緊致度量空間中，關(guān)于這些點(diǎn)的研究早在20世紀(jì)30～40年代就已經(jīng)開(kāi)始.本文討論離散半動(dòng)力系統(tǒng)回歸性的另一層次終于周期點(diǎn)，1988年周作領(lǐng)在文獻(xiàn)[1]中提到了終于周期點(diǎn)的概念，并給出一些性質(zhì)；2007年陳媛媛等在文獻(xiàn)[2]中雙重逆極限空間的終于周期點(diǎn)一定是周期點(diǎn).本文在緊致度量空間中給出幾乎周期點(diǎn)的一些性質(zhì)，討論了終于周期點(diǎn)與周期點(diǎn)、回歸點(diǎn)之間的關(guān)系.

1 預(yù)備知識(shí)

本文恒設(shè)(X,ρ)為度量空間，f:X→X為連續(xù)映射.

定義1[3]點(diǎn)x∈X稱(chēng)為f的周期點(diǎn)，如果存在整數(shù)n>0，使得fn(x)=x，f的全體周期點(diǎn)組成的集合記為P(f).

定義2 點(diǎn)x∈X稱(chēng)為f的終于周期點(diǎn)，如果存在整數(shù)n>0，使得fn(x)∈P(f)，f的全體終于周期點(diǎn)組成的集合記為EP(f).

定義3[3]點(diǎn)x∈X稱(chēng)為f的回歸點(diǎn)，如果?ε>0，存在整數(shù)n>0，fn(x)∈O(x,ε)，f的全體回歸點(diǎn)組成的集合記為R(f).

定義4[3]A?X稱(chēng)為f的不變子集，如果f(A)?A.A?X稱(chēng)為f的強(qiáng)不變子集，如果f(A)=A.

定義5 點(diǎn)x∈X稱(chēng)為f的非游蕩點(diǎn)，如果?ε>0，存在整數(shù)n>0，使得f-n(O(x,ε))∩O(x,ε)≠φ，f的全體非游蕩點(diǎn)組成的集合記為Ω(f).

引理1[3]對(duì)任意f∈C0(X,X)，有P(f)?R(f).

引理2[4]對(duì)任意f∈C0(X,X)，有f(P(f))?P(f).

2 主要結(jié)果

命題1EP(f)為f的不變子集，即f(EP(f))?EP(f).

證明設(shè)?x∈f(EP(f))，則?y∈EP(f)，使f(y)=x.由y∈EP(f)知：?n>0，使得fn(y)∈P(f)，由f連續(xù)與引理2，則有f°fn(y)∈f(P(f))?P(f)，即fn(f(y))∈P(f)，即有fn(x)∈P(f)，于是對(duì)上述的n>0，有fn(x)∈P(f)，從而x∈EP(f)，故f(EP(f))?EP(f).

命題2 對(duì)任意f∈C0(X,X)和n∈N+，有EP(fn)?EP(f).

證明設(shè)?x∈EP(fn)，則?N>0，使得fn·N(x)∈P(f)，令M=nN，則有fM(x)∈P(f)，由幾乎周期點(diǎn)的定義知：x∈EP(f)，故有EP(fn)?EP(f)

命題3 對(duì)任意f∈C0(X,X)，有(1) 若P(f)=φ，則EP(f)=φ，(2)P(f)?EP(f).

證明(1)由終于周期點(diǎn)的定義，顯然成立.

(2)設(shè)?x∈P(f)，設(shè)其周期為n，則有fn(x)=x，顯然有fn(x)∈P(f)，于是存在n>0，使得fn(x)∈P(f)，從而x∈EP(f)，故P(f)?EP(f).

定理4 ?f∈C0(X,X)，R(f)∩EP(f)=P(f).

證明一方面，由引理1知：P(f)?R(f)，由命題1知：P(f)?EP(f)，故有P(f)?R(f)∩EP(f).另一方面，設(shè)?x∈R(f)∩EP(f)，則x∈R(f)且x∈EP(f)，由x∈R(f)知：?ε>0，?n1∈Z+使得fn1(x)∈O(x,ε)，由x∈EP(f)知：?n2∈Z+，使得fn2(x)∈P(f)，不妨設(shè)?x′∈P(f)，使得fn2(x)=x′.

下證x∈P(f)，假設(shè)n1≠n2，則有：

ρ(fn1(x),x)≤ρ(fn1(x),fn2(x))+ρ(fn2(x),x)≤

ρ(fn1(x),x)+ρ(fn2(x),x)+ρ(fn2(x),x)=

ρ(fn1(x),x)+2ρ(fn2(x),x)<ε+2ρ(fn2(x),x)<ε

于是有ρ(fn2(x),x)<0，這與ρ的非負(fù)性矛盾，故n1=n2.不妨設(shè)n1=n2=M，則：

ρ(fn1(x),x)=ρ(fM(x),x)=ρ(x′,x)<ε，

由ε的任意性知，x=x′，于是?M>0，使得：

fM(x)=x，即x∈P(f)，故有R(f)∩EP(f)?P(f).

[1]周作領(lǐng).一維動(dòng)力系統(tǒng)[J].數(shù)學(xué)季刊，1988，3(1)：42-47.

[2]陳媛媛,范欽杰.雙重逆極限空間上移位映射的動(dòng)力性質(zhì)[J].吉林師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2007(4):46-48.

[3]熊金城.線(xiàn)段映射的動(dòng)力體系：非游蕩集，拓?fù)潇匾约皽唩y[J].數(shù)學(xué)進(jìn)展，1988，17(1)：1-9.

[4]張偉年.動(dòng)力系統(tǒng)基礎(chǔ)[M].北京：高等教育出版社，2001：6-21.