高斯光束經(jīng)多組元變焦擴(kuò)束系統(tǒng)變換

謝先聞

(浙江外國(guó)語(yǔ)學(xué)院理工學(xué)院,浙江杭州310012)

1 引 言

激光擴(kuò)束器系統(tǒng)通過(guò)壓縮激光束的空間發(fā)散角,使輸出的激光束滿足要求,已被廣泛應(yīng)用于諸如傅立葉頻譜變換光學(xué)、空間濾波、全息照相、激光測(cè)距、雷達(dá)跟蹤系統(tǒng)等領(lǐng)域.

常規(guī)的激光擴(kuò)束器使用的是具有確定倍率的望遠(yuǎn)鏡倒置系統(tǒng),但近年來(lái)變焦擴(kuò)束系統(tǒng)由于具有可變的擴(kuò)束倍率,在滿足發(fā)散角和光束寬度的前提下,使系統(tǒng)的擴(kuò)束比具有可調(diào)性,而得到更廣泛的應(yīng)用.因此分析高斯光束經(jīng)該類變焦擴(kuò)束系統(tǒng)的規(guī)律無(wú)疑具有實(shí)際的意義.

文獻(xiàn)[1-2]采用幾何光學(xué)的方法分析了三組元系統(tǒng)的變焦規(guī)律,但一個(gè)實(shí)際系統(tǒng)對(duì)高斯光束的變換用幾何光學(xué)的方法分析畢竟與實(shí)際是有區(qū)別的,其傳輸時(shí)的規(guī)律不同于幾何光束,通過(guò)透鏡時(shí)的變換規(guī)律也與幾何光束不同,因此需要按照高斯光束特有的傳播變換規(guī)律對(duì)變焦擴(kuò)束系統(tǒng)進(jìn)行分析;而從實(shí)際應(yīng)用的角度來(lái)看,有時(shí)需要尋找在擴(kuò)束系統(tǒng)用幾何光束代替高斯光束的條件,以方便設(shè)計(jì);同時(shí)一個(gè)變焦擴(kuò)束系統(tǒng)又可以有各種組合方式,如常見(jiàn)的由變焦組和固定組實(shí)現(xiàn)變焦功能時(shí),有正-負(fù)透鏡組合、負(fù)-正透鏡組合等,有固定組在前以及固定組在變焦組之后;另外,由于要求校正各種軸上和軸外的像差,有時(shí)需要使用多片透鏡組合.

為了適應(yīng)這些普遍的情況以及由非常規(guī)元件(如梯度折射率透鏡)構(gòu)成的系統(tǒng)分析的需要,本文采用矩陣光學(xué)方法,研究高斯光束經(jīng)一般的變焦擴(kuò)束系統(tǒng)的變換規(guī)律,在重焦與離焦的情況下導(dǎo)出了用系統(tǒng)的矩陣元表示的經(jīng)過(guò)該擴(kuò)束系統(tǒng)后的束腰寬度、出射光腰位置等計(jì)算公式.作為應(yīng)用例,利用導(dǎo)出的解析公式,詳細(xì)討論了一個(gè)三組元的變焦擴(kuò)束系統(tǒng)對(duì)高斯光束的變換,考慮了各參量變化對(duì)輸出高斯光束束腰寬度和位置的影響,給出了數(shù)值計(jì)算結(jié)果.

2 多組元變焦擴(kuò)束系統(tǒng)對(duì)高斯光束的變換

2.1 多組元變焦擴(kuò)束系統(tǒng)的基本結(jié)構(gòu)和擴(kuò)束原理

一個(gè)變焦擴(kuò)束系統(tǒng)一般可以看作是由變焦和補(bǔ)償兩部分構(gòu)成的,而變焦部分往往又是含有變焦組和固定組,如圖1所示.從幾何光學(xué)來(lái)看,變焦部分的共同作用是產(chǎn)生系統(tǒng)焦距的改變:當(dāng)其中的變焦組相對(duì)于固定組連續(xù)移動(dòng)時(shí),它們的組合焦距就連續(xù)改變,產(chǎn)生新的焦點(diǎn);而補(bǔ)償部分設(shè)計(jì)成可移動(dòng)的,當(dāng)變焦部分移動(dòng)時(shí),補(bǔ)償部分也做相應(yīng)的移動(dòng),使其前焦點(diǎn)穩(wěn)定在變焦部分的輸出上,組合成新的擴(kuò)束比的擴(kuò)束系統(tǒng).

圖1 變焦擴(kuò)束系統(tǒng)結(jié)構(gòu)示意圖

從高斯光束的變換來(lái)看,束腰寬度為ω01的入射高斯光束,經(jīng)過(guò)變焦部分變換的出射光腰(整個(gè)系統(tǒng)的中間光腰)束腰寬度為ω02,再經(jīng)補(bǔ)償部分后出射,得最后出射高斯光束的束腰寬度ω03,此ω03與入射高斯光束束腰寬度ω01之比,即擴(kuò)束比為

對(duì)于擴(kuò)束系統(tǒng),需要ω03＞ω01,且不同的用途需要不同的擴(kuò)束比.按照束腰寬度、遠(yuǎn)場(chǎng)發(fā)散角之間的關(guān)擴(kuò)束的結(jié)果減少了出射光束的遠(yuǎn)場(chǎng)發(fā)散角.式中θ01、θ03分別是入射和出射高斯光束的遠(yuǎn)場(chǎng)發(fā)散角.

2.2 多組元變焦擴(kuò)束系統(tǒng)的高斯光束變換

分析基模高斯光束變換的出發(fā)點(diǎn)是ABCD定律[3],將它應(yīng)用于給定的系統(tǒng),則有[4]

和

式中ω0、ω0′分別為該系統(tǒng)入射和出射光腰的束腰寬入射光束的瑞利長(zhǎng)度(或者稱共焦參數(shù));A、B、C、D為所考慮的系統(tǒng)的入射和出射光腰之間系統(tǒng)的光線變換矩陣元.由(2)(3)兩式分別應(yīng)用于變焦部分和補(bǔ)償部分,可以得出高斯光束變換的規(guī)律.

2.2.1 變焦部分的分析

圖1中變焦部分的第一個(gè)界面和最后一個(gè)界面分別為RP1、RP2,以此RP1、RP2為參考面的光線變換矩陣為入射光腰到中間光腰之間的光線變換矩陣可以由矩陣光學(xué)方法得出:

L1是入射光腰到參考面RP1之間的距離,L2是參考面RP2到中間光腰之間的距離.與一般高斯光束變換的文獻(xiàn)中采用相同的符號(hào)規(guī)約,即物方量以RP1為參考面,逆入射光方向量取為正,像方量以RP2為參考面,順入射光方向量取為正.

將(4)中的相關(guān)矩陣元代入(2)(3),可得:

以及

2.2.2 補(bǔ)償部分的分析

如前所述,在變焦部分改變倍率的過(guò)程中,中間光腰的位置不斷地改變,補(bǔ)償部分要同步地移動(dòng),使其前焦點(diǎn)處在中間光腰處,把此情況稱為重焦,此時(shí)補(bǔ)償部分為傅立葉變換系統(tǒng),這是為了獲得大的擴(kuò)束效果所需要.但補(bǔ)償部分在移動(dòng)過(guò)程中,由于調(diào)節(jié)的誤差,變焦部分輸出的位置并不能始終穩(wěn)定在補(bǔ)償部分的前焦點(diǎn)上,即有軸向的失調(diào),可稱此情況為離焦.以下就重焦和離焦的情況分開(kāi)進(jìn)行討論.

2.2.2 .1 重焦情況下的分析

設(shè)補(bǔ)償部分的入射光腰ω02到其第1參考面RP3的距離為L(zhǎng)3,經(jīng)過(guò)補(bǔ)償部分出射的光腰ω03在其第2參考面RP4后L4處,這前后兩參考面之間的光線變換矩陣到ω03之間系統(tǒng)的光線變換矩陣可以寫(xiě)為

由補(bǔ)償部分的的作用來(lái)看,要成為傅立葉變換系統(tǒng),則要A1=0,D1=0,由此得:

這正是補(bǔ)償部分以RP3為參考面的物方焦距(物方焦截距)和以RP4為參考面的像方焦距(像方焦截距).由此可得RP2與RP3之間的距離為:

而在A1=0,D1=0情況下,由(2)可有:

即ω03反比于ω02,要增大ω03,需要盡可能地減少ω02,因此為要得到盡可能大的擴(kuò)束效果,要求變焦部分起聚焦作用,(6)式代入上式,則得整個(gè)系統(tǒng)的出射光腰束腰寬度與入射光腰束腰寬度之比,即擴(kuò)束比:

同樣,若把入射高斯光束光腰到出射光腰的變換,看做是物-像變換,可令整個(gè)系統(tǒng)的矩陣元B=0,可得系統(tǒng)的橫向放大率

2.2.2 .2 離焦情況下的分析

在軸向失調(diào)時(shí),ω02與RP3的距離不再是有一個(gè)失調(diào)量,記為Δ,則ω與RP023的距離時(shí)從中間光腰ω02到最后的出射光腰之間的光線矩陣:

將(13)式中的有關(guān)矩陣元代入(2)(3)式,可得擴(kuò)束比

以上所導(dǎo)出的所有公式正是反映了高斯光束經(jīng)過(guò)可變焦擴(kuò)束系統(tǒng)的變換規(guī)律.從導(dǎo)出的公式,可以看出幾何光束與高斯光束的明顯區(qū)別,例如由(5)(12)式可見(jiàn),由于zr1的存在,變焦部分的聚焦比M1必小于變焦部分的幾何放大率A0,擴(kuò)束比M必大于整個(gè)系統(tǒng)的放大率β.幾何光學(xué)的規(guī)律僅在一定的條件下適用,例如由(5)式可見(jiàn),在(c0L1+d0)?zr1時(shí),M1≈A0,由(12)式可見(jiàn),當(dāng)zr1?(c0L1+d0)的時(shí)候,擴(kuò)束比M≈β.

由以上導(dǎo)出的公式也可見(jiàn),中間束腰寬度ω02和位置L2,系統(tǒng)重焦和離焦時(shí)的輸出ω03和,以及L4′等與入射光腰的位置L1、入射束腰寬度ω01以及與系統(tǒng)參量(矩陣元)均有關(guān),此系統(tǒng)參量由系統(tǒng)的具體組態(tài)決定.作為應(yīng)用例,我們結(jié)合一個(gè)具體的三組元變焦擴(kuò)束系統(tǒng)來(lái)討論這些輸出量的變換規(guī)律.

3 應(yīng)用例

3.1 三組元變焦擴(kuò)束系統(tǒng)

以文獻(xiàn)[1]所介紹的三組元變焦擴(kuò)束系統(tǒng)為例,如圖2所示.

圖2 三組元變焦擴(kuò)束系統(tǒng)

圖中變焦透鏡(焦距f1)與固定鏡(焦距f2)(這些焦距均表示像方焦距,以下同)構(gòu)成了變焦系統(tǒng),當(dāng)變焦鏡相對(duì)于固定鏡移動(dòng)時(shí),該兩透鏡系統(tǒng)的組合焦距即發(fā)生改變.該變焦系統(tǒng)的光線變換矩陣

對(duì)于補(bǔ)償鏡,其光線矩陣可以表示為

是:對(duì)于變焦擴(kuò)束系統(tǒng)由于兩鏡之間的距離L是變化的,因此入射光腰不能保持在變焦部分的前焦點(diǎn)處,即不可能保

把(16)(17)中的矩陣元代入前面得出的所有公式,且選固定鏡為參考位置,則L1=L0-L,可以得到在現(xiàn)在的組態(tài)情況下這些公式的具體形式.限于篇幅,在以下討論中僅列出少數(shù)必要的幾個(gè).

3.2 數(shù)值計(jì)算和討論

在圖2的組態(tài)情況下,設(shè)f1＞0,f2＜0,f1＞|f2|,有三段可以產(chǎn)生連續(xù)的變焦效果的區(qū)域:(1)0＜L＜f1+f2,(2)f1+f2＜L＜f1和(3)L＞f1.以下就利用區(qū)域(1)為例,以文獻(xiàn)[1]給出的參數(shù)來(lái)討論.取f1=15mm,f2=-5mm,f3=200mm,則區(qū)域(1)的變焦范圍為0＜L＜10mm.取λ=0.6328×10-3mm.

由(5)(11)式可見(jiàn),ω01一定的時(shí)候,變焦部分的聚焦比M1隨著L1的增大而減小,而M隨著L1的增大而變大;當(dāng)L1一定(在某個(gè)確定的L處,也就是L0一定)的時(shí)候,M1隨著ω01的增大而單調(diào)地減小,擴(kuò)束比M隨著ω01的增大而單調(diào)地減小;而當(dāng)L1、ω01以及系統(tǒng)參量同時(shí)變化的時(shí)候,它們對(duì)輸出的影響,要比較它們的取值的大小,例如當(dāng)c0zr1?c0L1+d0的時(shí)候,則M≈即在此情況光束變換特性唯一地由系統(tǒng)的放大率決定.

在圖2的組態(tài)下,系統(tǒng)在重焦情況下的擴(kuò)束比和輸出光腰位置分別為

和

即在重焦的情況下,輸出光腰的位置即在補(bǔ)償鏡的后焦點(diǎn)處.而整個(gè)系統(tǒng)的幾何光學(xué)橫向放大率

圖3是根據(jù)(18)式在ω01=0.2mm的時(shí)候作出的擴(kuò)束比和幾何光學(xué)橫向放大率β隨L變化的圖形.由圖可見(jiàn),在相同的入射光腰ω01情況下,入射距離L0越大,擴(kuò)束比也越大.例如由式(11)或(18)可見(jiàn),當(dāng)L1(L0)→時(shí),即入射光腰與變焦組RP1參考面距離無(wú)限大的時(shí)候,ω02→0,此時(shí)ω03以及擴(kuò)束比M→.但從實(shí)際應(yīng)用來(lái)說(shuō),必須考慮到實(shí)際的需要和受通光孔徑的限制,因此入射光腰不能離系統(tǒng)太遠(yuǎn)[5],應(yīng)該根據(jù)實(shí)際的需要選擇入射光腰的位置.

圖3 重焦時(shí)擴(kuò)束比M隨變焦部分兩鏡之間的距離L的變化

表1是在入射距離L0=50mm,L=6.25mm,即系統(tǒng)的放大率β=10情況下幾種不同入射ω01時(shí)對(duì)應(yīng)的擴(kuò)束比.可見(jiàn)相同的入射距離,入射光腰ω01越大,擴(kuò)束比越小,越接近于系統(tǒng)的橫向放大率β,這些正是前面所討論的zr1?c0L1+d0的情況在此組態(tài)下的體現(xiàn).

表1 不同入射束腰寬度時(shí)的擴(kuò)束比

圖3中,兩條曲線在L=10mm處相交,說(shuō)明擴(kuò)束比與L0無(wú)關(guān),這可由(18)式得出:在L=10mm時(shí)與ω01有關(guān),與L0無(wú)關(guān).

圖4為中間光腰在當(dāng)前組態(tài)下的位置L2隨L變化的曲線,圖中L2是相對(duì)RP2的距離,其取負(fù)值是因?yàn)樵趫D2組態(tài)中是負(fù)焦距.圖中曲線1、曲線2對(duì)應(yīng)于L0=50mm,但入射束腰寬度分別為ω01=0.1mm、ω01=0.2mm的情況,而曲線3是當(dāng)平行光入射時(shí)補(bǔ)償部分的輸出位置,也即補(bǔ)償部分的像方焦距由圖可以清楚地看出入射束腰寬度大時(shí),中間光腰的位置變化規(guī)律越接近于同樣在L0增大,也接近于的變化規(guī)律.

圖4 中間光腰的位置隨L的變化規(guī)律

按照(9)式,L2加上補(bǔ)償鏡的焦距f3即為在重焦時(shí)補(bǔ)償鏡移動(dòng)的規(guī)律,實(shí)際的變焦擴(kuò)束系統(tǒng)是采用凸輪結(jié)構(gòu)來(lái)主導(dǎo)補(bǔ)償組的運(yùn)動(dòng),圖4的規(guī)律以及相關(guān)公式可以用于凸輪的設(shè)計(jì).

離焦時(shí)的擴(kuò)束比和出射光腰位置由式(14)和(15)可見(jiàn),也與L0及ω01有關(guān).分析式(15),在現(xiàn)在給定的數(shù)據(jù)情況下,則式(15)可以近似離焦時(shí)的出射光腰位置已經(jīng)遠(yuǎn)離補(bǔ)償鏡的后焦點(diǎn)了;分析(14)式,可知:在確定的L、L0及ω01,也就是ω02確定的情況下,離焦時(shí)的擴(kuò)束比隨著Δ的增大而迅速地減小,且與Δ的正負(fù)無(wú)關(guān).為節(jié)省篇幅起見(jiàn),以上兩圖略.

圖5是在給定ω01、L0時(shí),離焦與重焦時(shí)的擴(kuò)束比隨L的變化關(guān)系的比較.由圖可見(jiàn),在相同L處擴(kuò)束比隨著離焦量Δ的增大而迅速地減小,擴(kuò)束比的迅速下降,意味著遠(yuǎn)場(chǎng)發(fā)散角的增大;而離焦情況下的擴(kuò)束比隨著L的增大而接近于重焦時(shí)的擴(kuò)束比.

圖6是在相同ω01、L和給定離焦量時(shí),離焦與重焦情況下擴(kuò)束比隨L0的變化規(guī)律的對(duì)比,與重焦情況不同的是:隨L0的增大,擴(kuò)束比反而是減小的.

圖5 ω01=0.5mm時(shí)離焦與重焦的擴(kuò)束比的比較

圖6 離焦與重焦擴(kuò)束比隨L0的 變化規(guī)律的對(duì)比

4 結(jié) 語(yǔ)

本文所導(dǎo)出的公式反映了高斯光束經(jīng)多組元變焦擴(kuò)束系統(tǒng)變換規(guī)律.由于光線矩陣方法的普適性,這些公式也具有普適性.

研究結(jié)果表明:變焦擴(kuò)束系統(tǒng)輸出束腰寬度、光腰位置、補(bǔ)償鏡移動(dòng)規(guī)律等與入射光腰位置、入射束腰寬度以及系統(tǒng)參量均有關(guān),它們之間的關(guān)系由本文所導(dǎo)出的一系列公式給出.在進(jìn)行變焦擴(kuò)束系統(tǒng)設(shè)計(jì)時(shí)要根據(jù)實(shí)際需要綜合地考慮這些因素.如入射光腰距離系統(tǒng)較遠(yuǎn)的話,雖然可以提高擴(kuò)束比,但對(duì)于光學(xué)元件的口徑以及系統(tǒng)的工作距離等提出了要求;入射束腰寬度的變化極大地影響系統(tǒng)的擴(kuò)束比,而如入射束腰寬度較大的話,雖然更接近于幾何光學(xué)的情況,有助于簡(jiǎn)化對(duì)規(guī)律的分析,但中間光腰的寬度太小,導(dǎo)致能量過(guò)分集中,有可能出現(xiàn)空氣的擊穿現(xiàn)象,以致光學(xué)元件受到損傷.

此外,在設(shè)計(jì)的時(shí)候要根據(jù)所需要的系統(tǒng)擴(kuò)束比來(lái)綜合地考慮變焦的范圍,還需要考慮像差、以及所用元件的優(yōu)化問(wèn)題.

[1] 孔祥蕾,郝沛明.變焦擴(kuò)束系統(tǒng)的光學(xué)設(shè)計(jì)[J].應(yīng)用光學(xué),2001,22(5):7-11.

[2] 蔡長(zhǎng)達(dá).變焦距激光擴(kuò)束系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)[J].激光與紅外,1996,21(1):30-31.

[3] Kogelnik H. Imaging of optical mode-resonators with internal lenses[J].Bell Syst Tech J,1965,44(3):455-494.

[4] 王紹民,趙道木.矩陣光學(xué)原理[M].杭州:杭州大學(xué)出版社,1994:41-50.

[5] 程潔.激光擴(kuò)束望遠(yuǎn)鏡的失調(diào)與擴(kuò)束比[J].激光技術(shù),1995(2):57-60.