向量與三角形的“四心”

向量是高中新課程改革的產(chǎn)物，因它具有代數(shù)與幾何的雙重性，所以它與其它知識的結(jié)合成為高考命題的熱點，由于向量的介入，從而使得原本在高中教材中并不起眼的三角形的“四心” (內(nèi)心、外心、重心、垂心)問題，變得倍受歡迎，變得多姿多彩，內(nèi)涵豐富，于是，向量與三角形的“四心”有關(guān)的命題也倍受命題者的青睞。要解決這類問題，一要深刻理解三角形的“四心”的定義，二要熟練掌握向量的平行與垂直的基本性質(zhì)，即向量共線定理及向量垂直的充要條件。

03年江蘇高考試題第5題就是一條向量與三角形的“內(nèi)心”結(jié)合的很好的例子，先看考題:

O是平面上一定點，A、B、C是平面上不共線的三個點，動

點P滿足 ，λ∈[0，+∞)，則點P

的軌跡一定通過△ABC的()。

A、外心B、內(nèi)心C、重心D、垂心

分析:要解決此題并不困難，一要弄清三角形的“四心”定義，二要熟練掌握向量共線定理。

解析:將 變形為

，如圖1， 、 分別表示 、 方向上的單位向

量，由平行四邊形法則知， ，而 表示 方

向上的單位向量， 表示 方向上的單位向量，∴ ，

，∴ ，由

向量共線定理知 // ，又 、 共點于A，∴A、P、P1

三點共線，又由于 ，∴四邊形AC1P1B1為菱形，

∴AP1平分∠BAC，∴AP1為∠BAC的平分線，而內(nèi)心是三角形三條內(nèi)角平分線的交點，∴點P的軌跡一定通過△ABC的內(nèi)心，故選(B)。

由于本考題是向量與三角形的“內(nèi)心”結(jié)合的問題，所以我們考慮，向量與三角形的其它的“心”是否有緊密聯(lián)系?帶

著這樣的問題，不妨將考題中的 變?yōu)?/p>

，于是得變題1:O是平面上一定點，A、B、C是平面上不共線的三個點，動點P滿足 ，

λ∈[0，+∞]，則點P的軌跡一定通過△ABC的 心。

分析:受考題啟發(fā)，本題仍利用向量共線定理。

解析:由 ，得 ，如圖2，設(shè)D為線段BC的中點，則由平行四邊形法則得

，∴ // ，又 、 共點于A，∴A、P、

D三點共線，∴AD為△ABC邊BC上的中線，而重心是三角形三條中線的交點，所以，點P的軌跡一定通過△ABC的重心。

考題及變題1都是充分利用向量共線定理來解決問題，所以只要仔細審題，多思多想，抓住問題的本質(zhì)即可解決問題。

本題還可以繼續(xù)變題，將考題中的

變?yōu)?得變題2 : O是平面上

一定點，A、B、C是平面上不共線的三個點，動點P滿足

，λ∈[0，+∞]，則點P的

軌跡定通過△ABC的心。

分析:問題初看上去較為困難，似乎無從下手，但仍可按

考題的解題方式將 變形為

，但現(xiàn)在要解決的問題是能否繼

續(xù)用向量共線定理來解決問題，回答是否定的，所以不妨考慮用向量垂直的充要條件來解決問題。

解析:由 得

，在等式 的兩邊的向

量同時求與向量 的數(shù)量積，于是

，所以 ⊥ ，如

圖3，∴點P在BC的高線所在的直線上，而垂心是三角形三條高線的交點，∴動點P的軌跡一定通過△ABC的垂心。