淺談類比方法在數(shù)學教學中的應用

【摘 要】比較是認識事物很重要的方法，其中，類比更是認識新事物，發(fā)現(xiàn)新問題，尋求解題方法的有效途徑。類比在數(shù)學中的應用是極其重要的和多方面的，類比方法應用得好，可以培養(yǎng)提高學生的思維能力及創(chuàng)造能力，可以為學生日后的再學習和實際生活中創(chuàng)造性的開展工作奠定良好的基礎。

【關鍵詞】數(shù)學 類比 應用

【中圖分類號】G632【文獻標識碼】A【文章編號】1006-9682(2009)11-0141-02

比較是認識事物很重要的方法，其中，類比更是認識新事物，發(fā)現(xiàn)新問題，尋求解題方法的有效途徑。類比的形式:兩個系統(tǒng)具有相似性，即可類比。(相似性:要能用概念確切表達。)下面分圖形性質和習題求解兩方面談談類比在數(shù)學中的應用。

一、在圖形研究中類比方法的應用

例1，平面三角形和空間四面體的類比

1.先找平面三角形和空間四面體的相似性

a.三角形是平面上最簡單的多邊形;四面體是空間中最簡單的多面體。

b.三角形是平面上數(shù)目最少的簡單分界元素圍成的圖形;四面體是空間中數(shù)目最少的簡單分界元素圍成的圖形。

c.三角形是三條線首尾相連的圖形;四面體是四個面圍成的圖形。

2.推 測

a.三角形有內心(三條角平分線的交點)，由此類比得:四面體的六個二面角的平分面交于一點，是內切球的球心。

b.三角形的三條中線交于一點，叫重心，且分中線為2∶1由此類比得:四面體的四個面的重心和頂點的連線(四面體的中線)交于一點叫重心，且分中線為3∶1。

c.由S△= ，類比得:V=

∵S是二維的;∴S后有 。

而V是三維的;∴V后有 。

d.由直角三角形中的勾股定理，類比得:

直角頂點的四面體中。(A、B、C為三直角面)

(九章算術中的商高定理)

e.由三角形中的余弦定理:c2=b2+a2-2abcosC。

在四面體中， SD =

SBSCcos∠(B，C)-2SCSAcos∠(C，A)。

3.驗證證明結論成立。

(證明過程略)

二、習題求解中類比方法的應用

例2，空間中位置一般的四張平面分空間成幾部分?(每兩張不平行，無三張共線，且交線不平行，以后無說明時，平面均為一般平面，直線均為一般直線。)

解法一，這樣的四張平面剛好可以圍成一個四面體。運用類比的方法:

∴平面上三條一般直線分平面為7部分:(如圖1)

1、為封閉的;

2、3、4與所圍三角形共邊;

5、6、7與所圍三角形共頂點。

∴共有7部分。

∴類比四面體分空間的情況是:

1部分是封閉的;

4部分是與所圍四面體共面的;

6部分是與所圍四面體共棱的;

4部分是與所圍四面體共頂點的;

∴共分空間為15部分。

解法二:平面內位置一般的三條直線分平面為7部分，

即:7=1+3+3=

即是三條直線圍成的一部分，

即是三條直線中任意兩條的交點數(shù)，亦即與所圍三角形共頂點的平面部分;

即三條直線中取任意一條，亦即與所圍三角形共邊的平面部分。

由此類比，空間中位置一般的四個平面分空間所成的部分為:

四面圍成的封閉圖形;

四面中任意三面形成的交點數(shù)，亦即與所圍圖四面體共頂點的空間部分數(shù);

四面中任意二面形成的交線數(shù)，亦即與所圍圖形共棱的空間部分數(shù);

四面中任取一面，亦即與所圍圖形共面的空間部分數(shù)。

則， 1+4+6+4=15。

∴空間位置一般的平面分空間成15部分。

推廣:直線上n個不同的點分直線幾部分?

A、直線的n個點分直線因為是一維問題，所以

設:t(n)=An+B

當n=0時，B=1;

當n=1時，A=1;

∴t(n)=n+1;

即，直線上n個不同的點分直線為n+1部分?

B、平面內位置一般的n條直線分平面成幾部分?

平面內直線分平面是二維問題，所以，類比A。

可設，s(n)=An2+Bn2+C

當n=0時，c=1;

當n=1、n=2時有:

A+B+1=2

4A+2B+1=4

∴A= ，B= ;

∴s(n)=

C、空間位置一般的n個平面分空間成幾部分?

空間中位置一般的n個平面分空間是三維問題，所以，類比A、B兩類。

可設F(n)=An3+Bn2+Cn+D

當n=0時，D=1;

當n=1，n=2，n=3時有:

A+B+C=2

8A+4B+2C+1=4

27A+9B+3C+1=8

解得:A= ，B=0，C= 。

∴ f(n)= 。

用數(shù)學歸納法證明即可得:

類比A得的B結論亦成立;

類比A、B得的C結論成立。

例3，計算3#8226;5#8226;17……(22n-1+1)

分析:本題可寫為計算

(221-1+1)+(222-1+1)+(223-1+1)……(22n-1+1)

怎樣計算出這n個數(shù)的積呢?聯(lián)想結構上它非常類似的問題:

計算:48(72+1)+(74+1)……(72n+1)其解法是:

原式=(72-1)(72+1)(74+1)……(72n+1)

=(74-1)(74+1)……(72n+1)

=(78-1)……(72n+1)

=(72n+1-1)

算法主要根據48=72-1，然后，再用平方差公式進行計算。利用它和原題結構的類似，可得原題的計算方法為:

解:∵1=22-1

原式=(221-1-1)+(221-1+1)+(222-1+1)+(223-1+1)……(22n-1+1)

=(222-1-1)+(222-1+1)+(223-1+1)……+(22n-1+1)

=(223-1-1)+(223-1+1)……(22n-1+1)

=22n-1

由上面的例題不難看出，類比在數(shù)學中的應用是極其重要的和多方面的，類比方法應用的好，可以培養(yǎng)提高學生的思維能力及創(chuàng)造能力，可以為學生日后的再學習和實際生活中創(chuàng)造性的開展工作奠定良好的基礎。