數(shù)學中排列組合的解題思路

排列組合作為高中代數(shù)課本的一個獨立分支，因為極具抽象性而成為“教”與“學”的難點。有相當一部分題目教者很難用比較清晰簡潔的語言講給學生聽，有的即使教者覺得講清楚了，但是由于學生的認知水平，思維能力在一定程度上受到限制，還不太適應。從而導致學生對題目一知半解，甚至覺得“云里霧里”。針對這一現(xiàn)象，筆者在日常教學過程中經(jīng)過嘗試總結出一些個人的想法跟各位同行交流一下。

筆者認為之所以學生“怕”學排列組合，主要還是因為排列組合的抽象性，那么解決問題的關鍵就是將抽象問題具體化，我們不妨將原題進行一下轉換，讓學生走進題目當中，成為“演員”，成為解決問題的決策者。這樣做不僅激發(fā)了學生的學習興趣，活躍了課堂氣氛，還充分發(fā)揮了學生的主體意識和主觀能動性，能讓學生從具體問題的分析過程中得到啟發(fā)，逐步適應排列組合題的解題規(guī)律，從而做到以不變應萬變。當然，在具體的教學過程中一定要注意題目轉換的等價性、可操作性。

下面筆者就將教學過程中的兩個難點通過兩個特例作進一步的說明:

一、占位子問題

例1，將編號為1、2、3、4、5的5個小球放進編號為1、2、3、4、5的5個盒子中，要求只有兩個小球與其所在的盒子編號相同，問有多少種不同的方法?

1.仔細審題:在轉換題目之前先讓學生仔細審題，從特殊字眼小球和盒子都已“編號”著手，清楚這是一個“排列問題”，然后對題目進行等價轉換。

2.轉換題目:在審題的基礎上，為了激發(fā)學生興趣進入角色，我將題目轉換為:讓學號為1、2、3、4、5的學生坐到編號為1、2、3、4、5的五張凳子上(已準備好放在講臺前)，要求只有兩個學生與其所坐的凳子編號相同，問有多少種不同的坐法?

3.解決問題:這時我在選另一名學生來安排這5位學生坐位子(學生爭著上臺，積極性已經(jīng)得到了極大的提高)，班上其他同學也都積極思考(充分發(fā)揮了學生的主體地位和主觀能動性)，努力地“出謀劃策”，不到兩分鐘的時間，同學們有了統(tǒng)一的看法:先選定符合題目特殊條件“兩個學生與其所坐的凳子編號相同”的兩位同學，有C種方法，讓他們坐到與自己編號相同的凳子上，然后剩下的三位同學不坐編號相同的凳子有2種排法，最后根據(jù)乘法原理得到結果為2×C=20(種)。這樣原題也就得到了解決。

4.學生小結:接著我讓學生之間互相討論，根據(jù)自己的分析方法對這一類問題提出一個好的解決方案。(課堂氣氛又一次活躍起來)

5.老師總結:對于這一類占位子問題，關鍵是抓住題目中的特殊條件，先從特殊對象或者特殊位子入手，再考慮一般對象，從而最終解決問題。

二、分組問題

例2，從1、3、5、7、9和2、4、6、8兩組數(shù)中分別選出3個和2個數(shù)組成五位數(shù)，問這樣的五位數(shù)有幾個?

(本題我是先讓學生計算，有很多同學得出的結論是P×P)

1.仔細審題:先由學生審題，明確組成五位數(shù)是一個排列問題，但是由于這五個數(shù)來自兩個不同的組，因此是一個“分組排列問題”，然后對題目進行等價轉換。

2.轉換題目:在學生充分審題后，我讓學生自己對題目進行等價轉換，有一位同學A將題目轉換如下:從班級的第一組(12人)和第二組(10人)中分別選3位和2位同學分別去參加蘇州市舉辦的語文、數(shù)學、英語、物理、化學競賽，問有多少種不同的選法?

3.解決問題:接著我就讓同學A來提出選人的方案，同學A說:先從第一組的12個人中選出3人參加其中的3科競賽，有P×P種選法;再從第二組的10人中選出2人參加其中2科競賽有P×P種選法;最后由乘法原理得出結論為(P×P)×(P×P)(種)。(這時同學B表示反對)

同學B說:如果第一組的3個人先選了3門科目，那么第二組的2人就沒有選擇的余地。所以第二步應該是P×P。(同學們都表示同意，但是同學C說太麻煩。)

同學C說:可以先分別從兩組中把5個人選出來，然后將這5個人在5門學科中排列，他列出的計算式是C×C×P(種)。(再次通過互相討論，都表示贊賞)

這樣原題的解答結果就“浮現(xiàn)”出來C×C×P(種)。

4.老師總結:針對這樣的“分組排列”題，我們多采用“先選后排”的方法:先將需要排列的對象選定，再對它們進行排列。

以上是我一節(jié)課兩個例題的分析過程，旨在通過這種方法的嘗試(教學效果比較明顯)，進一步活躍課堂氣氛，更全面地調(diào)動學生的學習積極性，發(fā)揮教師的主導作用和學生的主體作用，讓學生在互相討論的過程中學會自己分析轉換問題，解決問題。