論二次函數(shù)在高中階段的應(yīng)用

【摘 要】在初中教材中，對二次函數(shù)作了較詳細的研究，由于初中學(xué)生基礎(chǔ)薄弱，又受其接受能力的限制，這部分內(nèi)容的學(xué)習(xí)多是機械的，很難從本質(zhì)上加以理解。進入高中以后，尤其是高三復(fù)習(xí)階段，要對他們的基本概念和基本性質(zhì)(圖象以及單調(diào)性、奇偶性、有界性)靈活應(yīng)用，對二次函數(shù)還需再深入學(xué)習(xí)。

【關(guān)鍵詞】二次函數(shù) 應(yīng)用

【中圖分類號】G632【文獻標(biāo)識碼】A【文章編號】1006-9682(2009)11-0136-01

一、進一步深入理解函數(shù)概念

初中階段已經(jīng)講述了函數(shù)的定義，進入高中后在學(xué)習(xí)集合的基礎(chǔ)上又學(xué)習(xí)了映射，接著重新學(xué)習(xí)函數(shù)概念，主要是用映射觀點來闡明函數(shù)，這時就可以用學(xué)生已經(jīng)有一定了解的函數(shù)，特別是以二次函數(shù)為例來加以更深層認識函數(shù)的概念。二次函數(shù)是從一個集合A(定義域)到集合B(值域)上的映射#402;:A→B，使得集合B中的元素y=ax2+bx+c(a≠0)與集合A的元素x對應(yīng)，記為#402;(x)=ax2+bx+c(a≠0)這里ax2+bx+c表示對應(yīng)法則，又表示定義域中的元素x在值域中的象，從而使學(xué)生對函數(shù)的概念有一個較明確的認識，在學(xué)生掌握函數(shù)值的記號后，可以讓學(xué)生進一步處理如下問題:

類型I:已知#402;(x)=2x2+x+2，求#402;(x+1)。

這里不能把#402;(x+1)理解為x=x+1時的函數(shù)值，只能理解為自變量為x+1的函數(shù)值。

類型Ⅱ:設(shè)#402;(x+1)=x2-4x+1，求#402;(x)。

這個問題理解為，已知對應(yīng)法則#402;下，定義域中的元素x+1的象是x2-4x+1，求定義域中元素x的象，其本質(zhì)是求對應(yīng)法則。

一般有兩種方法:

1.把所給表達式表示成x+1的多項式。

#402;(x+1)=x2-4x+1=(x+1)2-6(x+1)+6，再用x代x+1得#402;(x)=x2-6x+6。

2.變量代換:它的適應(yīng)性強，對一般函數(shù)都可適用。

令t=x+1，則x=t-1?！?t)=(t-1)2-4(t-1)+1=t2-6t+6從而#402;(x)=x2-6x+6。

二、二次函數(shù)的單調(diào)性、最值與圖象

在高中階階段學(xué)習(xí)單調(diào)性時，必須讓學(xué)生對二次函數(shù)y=ax2+bx+c在區(qū)間(-∞，-b2a]及[-b2a，+∞)上的單調(diào)性的結(jié)論用定義進行嚴(yán)格的論證，使它建立在嚴(yán)密理論的基礎(chǔ)上，與此同時，進一步充分利用函數(shù)圖象的直觀性，給學(xué)生配以適當(dāng)?shù)木毩?xí)，使學(xué)生逐步自覺地利用圖象學(xué)習(xí)二次函數(shù)有關(guān)的一些函數(shù)單調(diào)性。

類型Ⅲ:畫出下列函數(shù)的圖象，并通過圖象研究其單調(diào)性。

①y=x2+2|x-1|-1②y=|x2-1|③y=x2+2|x|-1

這里要使學(xué)生注意這些函數(shù)與二次函數(shù)的差異和聯(lián)系。掌握把含有絕對值記號的函數(shù)用分段函數(shù)去表示，然后畫出其圖象。

類型Ⅳ:設(shè)#402;(x)=x2-2x-1在區(qū)間[t，t+1]上的最小值是g(t)。求:g(t)并畫出y=g(t)的圖象。

解:#402;(x)=x2-2x-1=(x-1)2-2，在x=1時取最小值-2。

當(dāng)1∈[t，t+1]即0≤t≤1，g(t)=-2;當(dāng)t>1時，g(t)=#402;(t)=t2-2t-1;當(dāng)t<0時，g(t)=#402;(t+1)=t2-2，t2-2，(t<0)，g(t)=-2，(0≤t≤1)，t2-2t-1，(t>1)。

首先要使學(xué)生弄清楚題意，一般地，一個二次函數(shù)在實數(shù)集合R上或是只有最小值或是只有最大值，但當(dāng)定義域發(fā)生變化時，取最大或最小值的情況也隨之變化，為了鞏固和熟悉這方面知識，可以再給學(xué)生補充一些練習(xí)。

三、二次函數(shù)的知識，可以準(zhǔn)確反映學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。

類型V:設(shè)二次函數(shù)#402;(x)=ax2+bx+c(a>0)方程#402;(x)-x=0的兩個根x1，x2滿足0

1.當(dāng)x∈(0，x1)時，證明x<#402;(x)

2.設(shè)函數(shù)#402;(x)的圖象關(guān)于直線x=x0對稱，證明x0

(1)先證明x<#402;(x)，令#402;(x)=#402;(x)-x，因為x1，x2是方程#402;(x)-x=0的根，#402;(x)=ax2+bx+c，所以能#402;(x)=a(x-x1)(x-x2)。

因為00，又a>0，因此#402;(x)>0，即#402;(x)-x>0。至此，證得x<#402;(x)。

根據(jù)韋達定理，有x1，x2=ca。∵0#402;(0)，所以當(dāng)x∈(0，x1)時#402;(x)<#402;(x1)=x1，即x<#402;(x)

(2)函數(shù)#402;(x)的圖象的對稱軸為直線x=-b2a，且是唯一的一條對稱軸，因此，依題意，得x0=-b2a，因為x1，x2是二次方程ax2+(b-1)x+c=0的根，根據(jù)韋達定理得，x1+x2=-b-1a?！選2-a<0，∴x0=-b2a=12(x1+x2-1a)

二次函數(shù)的內(nèi)容涉及很廣，本文只討論至此，希望各位同仁在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中也多關(guān)注這方面知識，使我們對它的研究更深入。

參考文獻

1 何光源.淺談求二次函數(shù)的解析表達式[J].甘肅聯(lián)合大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版)，2009(S1)

2 楊翠蓮.二次函數(shù)解析式的求解方法[J].安慶師范學(xué)院學(xué)報(自然科學(xué)版)，2004(03)