給數(shù)學(xué)教學(xué)來(lái)些“特殊”

徐順湘

一、活用“特殊例子”——構(gòu)建數(shù)學(xué)模型

[案例1]蘇教版五年級(jí)(下冊(cè))“找規(guī)律”教學(xué)片段

師：在□□□□中有多少個(gè)長(zhǎng)方形?你是怎樣數(shù)的?

生：我先數(shù)出單個(gè)的4個(gè)。再數(shù)出由相鄰兩格組成的長(zhǎng)方形有3個(gè)，然后數(shù)由相鄰三格組成的長(zhǎng)方形有2個(gè)，最后加上由四格組成的大長(zhǎng)方形，這樣一共有10個(gè)長(zhǎng)方形。

師：□□□□□□□□□□中有多少個(gè)□□□這樣的長(zhǎng)方形?

生1：我是依次圈出來(lái)的，一共有8個(gè)這樣的長(zhǎng)方形?

生2：我先把□□□覆蓋在大長(zhǎng)方形上，然后按從左往右的順序逐次平移，平移7次得到一共有8個(gè)這樣的長(zhǎng)方形。

師：平移了7次怎么會(huì)有8個(gè)這樣的長(zhǎng)方形呢?還有1個(gè)是哪里來(lái)的?

生：“1個(gè)”是一開(kāi)始就覆蓋的那一個(gè)。

師：同學(xué)們剛才用到了平移的方法，采用平移的方法有什么好處?

生：能按一定的順序，不遺漏、不重復(fù)地找出所有的長(zhǎng)方形。

師：□□□□□□□□□□中有幾個(gè)□□□□這樣的長(zhǎng)方形?用平移的方法找一找。

生：有7個(gè)這樣的長(zhǎng)方形。

師：□□□□□□□□中有多少個(gè)□□□□□□□

50個(gè)□這樣的長(zhǎng)方形?請(qǐng)同學(xué)們自己尋找解決問(wèn)題的方法。

生：50－6+1＝45(個(gè))。

師：你是怎么想的?說(shuō)說(shuō)你的發(fā)現(xiàn)。

生：大長(zhǎng)方形格數(shù)一小長(zhǎng)方形格數(shù)+1＝小長(zhǎng)方形的個(gè)數(shù)。

師：“大長(zhǎng)方形格數(shù)一小長(zhǎng)方形格數(shù)”得到是什么?

生：“大長(zhǎng)方形格數(shù)一小長(zhǎng)方形格數(shù)”得到的是覆蓋后剩下的格數(shù)，也就是平移的次數(shù)。

師：如果用a、b分別表示大長(zhǎng)方形的格數(shù)和小長(zhǎng)方形的格數(shù)，怎樣求出小長(zhǎng)方形的個(gè)數(shù)?

生：a－b+1。

上述案例中，教者從更有利于學(xué)生找出規(guī)律的角度考慮。改換了例題。因?yàn)榻滩奶峁┑睦}中：“使每次框出的兩個(gè)數(shù)的和各不相同”這一要求，給學(xué)生設(shè)置了一定的障礙，不利于學(xué)生關(guān)注到規(guī)律的本質(zhì)特點(diǎn)。為此，教者試圖排除非本質(zhì)特點(diǎn)的干擾，找到此類(lèi)規(guī)律的“原型”，即有序地?cái)?shù)出大長(zhǎng)方形中包含的小長(zhǎng)方形的個(gè)數(shù)。教學(xué)中，先以分類(lèi)數(shù)出所有的長(zhǎng)方形作鋪墊，再引導(dǎo)學(xué)生采用覆蓋平移的方法具體感知規(guī)律的特點(diǎn)，然后“逼”學(xué)生擺脫直觀操作，經(jīng)歸納推理自己探究發(fā)現(xiàn)規(guī)律。通過(guò)問(wèn)題一般化的過(guò)程，構(gòu)造相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，然后運(yùn)用化歸的數(shù)學(xué)思想，利用數(shù)學(xué)模型的典型性深刻理解并靈活應(yīng)用規(guī)律，提高學(xué)生的解題能力。

二、妙設(shè)“特殊操作”——突破教學(xué)難點(diǎn)

[案例2]“認(rèn)識(shí)體積”的教學(xué)

1理解“空間”。

師：請(qǐng)同學(xué)們拿出課桌里的書(shū)包，用手觸摸抽屜，你有什么感覺(jué)?

生：抽屜里有一定的空間。

師：請(qǐng)把書(shū)包放回課桌里，再用手觸摸，你又有什么感覺(jué)?

生：抽屜里有一部分空間被書(shū)包占據(jù)了，原來(lái)的空間變小了。

師：(出示一只空的量杯)請(qǐng)同學(xué)們觀察：量杯里有一定的空間。老師慢慢地往量杯里倒水，你有什么發(fā)現(xiàn)?

生：量杯里的空間被水占據(jù)了。

2理解“空間的大小”。

實(shí)驗(yàn)操作：

(1)將鐵塊浸沒(méi)在盛水容器中，觀察水面的變化，再?gòu)乃腥〕鲨F塊，觀察水面的變化。

(2)將比鐵塊大得多而重量明顯輕于鐵塊的泡沫塑料塊浸沒(méi)在水中，觀察、比較放進(jìn)鐵塊與放進(jìn)泡沫塑料時(shí)出現(xiàn)的現(xiàn)象有什么異同?放進(jìn)泡沫塑料塊比放進(jìn)鐵塊水面上升得多，這是為什么?

體積的概念對(duì)于小學(xué)生來(lái)說(shuō)是相當(dāng)抽象的，大多數(shù)教師都是采用出示長(zhǎng)方形盒子等實(shí)物教具來(lái)幫助學(xué)生理解。案例2中，教師頗有創(chuàng)意地設(shè)計(jì)了特殊的操作活動(dòng)。該操作活動(dòng)的特殊之處在于：一是具有一定的層次性，先讓學(xué)生理解“空間”，再讓學(xué)生理解“空間的大小”，符合學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)；二是理解“空間的大小”時(shí)，大多數(shù)教師僅憑借第一次實(shí)驗(yàn)操作，就問(wèn)學(xué)生水面升高或下降的原因是什么?對(duì)于空間觀念還很淡薄的小學(xué)生來(lái)講，往往會(huì)聯(lián)想到是因?yàn)樗性黾恿髓F塊的重量的緣故。為了讓學(xué)生的思維避開(kāi)這一誤區(qū)，教者在完成第一個(gè)實(shí)驗(yàn)操作后，沒(méi)有急于抽象概括，而是緊接著又巧妙地進(jìn)行對(duì)比實(shí)驗(yàn)，而且有意識(shí)地選取了“特殊”的實(shí)驗(yàn)材料——比鐵塊大得多而重量明顯輕于鐵塊的泡沫塑料塊。經(jīng)過(guò)兩個(gè)層次的實(shí)驗(yàn)操作，教師因勢(shì)利導(dǎo)，啟發(fā)學(xué)生抽象概括出“體積”的意義。這樣學(xué)生在饒有興趣的觸摸和觀察中，由表及里地層層體驗(yàn)概念的內(nèi)涵，使學(xué)生建立起“體積”概念，達(dá)到終生難忘的教學(xué)效果，有效地突破了教學(xué)難點(diǎn)。

三、巧覓“特殊路徑”——優(yōu)化認(rèn)知過(guò)程

[案例3]探究“圓周長(zhǎng)與什么有關(guān)”的教學(xué)

師：學(xué)校進(jìn)行校園環(huán)境改造，計(jì)劃建一個(gè)花壇，工人們先確定花壇中心位置(出示中心點(diǎn))，在量得兩端的距離為3米后，建這樣一個(gè)正方形花壇(如圖1)，它的周長(zhǎng)是多少?

生：3×4＝12(米)。

師：如果將這兩點(diǎn)的距離改為5米，花壇的周長(zhǎng)會(huì)有什么變化?為什么?

生：因?yàn)檎叫蔚倪呴L(zhǎng)變長(zhǎng)了，所以花壇的周長(zhǎng)也就變長(zhǎng)了。

師：如果在這兩端之間建的是一個(gè)圓形的花壇(如圖2)，這個(gè)花壇的周長(zhǎng)指的又是哪一部分?

生：封閉曲線的長(zhǎng)就是圓形花壇的周長(zhǎng)。

師：假如將兩端的距離改為5米，建成的圓形花壇與剛才的相比，哪一個(gè)的周長(zhǎng)更長(zhǎng)?

(多媒體演示：將兩個(gè)圓形的曲線分別展開(kāi)并比較。)

師：想一想，圓的周長(zhǎng)與什么有關(guān)?

生：圓的周長(zhǎng)與它的直徑有關(guān)。

圓的周長(zhǎng)與直徑有關(guān)，學(xué)生一般較難發(fā)現(xiàn)和理解。通常情況下，教師會(huì)采用兩種教學(xué)路徑：一是通過(guò)測(cè)量直接標(biāo)注好不同直徑而大小不同的圓的周長(zhǎng)，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)圓的周長(zhǎng)與它的直徑有關(guān)；二是由正方形的周長(zhǎng)與它的邊長(zhǎng)有關(guān)，直接揭示圓的周長(zhǎng)肯定與它的半徑或直徑有關(guān)。這些認(rèn)知路徑都顯得比較生硬，圓的周長(zhǎng)與它的直徑有關(guān)都并非是學(xué)生感悟后發(fā)現(xiàn)的，而是教師暗示或直接告知的。而上述案例中，教師找到了一條認(rèn)知的“特殊路徑”：抓住正方形與圓的周長(zhǎng)實(shí)質(zhì)都與經(jīng)過(guò)它們中心的定長(zhǎng)線段有關(guān)這一共有的本質(zhì)特點(diǎn)，在理解正方形的周長(zhǎng)與它的邊長(zhǎng)有關(guān)的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)圓的周長(zhǎng)與它的直徑有關(guān)，這樣就符合從已知到未知的認(rèn)知規(guī)律，整個(gè)認(rèn)知過(guò)程自然而又流暢。