以“圓錐的體積”為例談小學(xué)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的教學(xué)

陳　蕾

[教學(xué)過程]

1回顧圓柱體積公式推導(dǎo)過程，板書：轉(zhuǎn)化。

師：研究圓錐的體積計(jì)算，發(fā)現(xiàn)圓錐體積計(jì)算的規(guī)律，也要著眼轉(zhuǎn)化。要把圓錐轉(zhuǎn)化成什么形狀呢?怎樣轉(zhuǎn)化?

2分組實(shí)驗(yàn)。

師：下面分組做實(shí)驗(yàn)，在空圓錐里裝滿沙子，然后倒入空圓柱中，看看幾次正好裝滿。

小組代表在教具箱中取實(shí)驗(yàn)用的空圓錐圓柱各一個(gè)，分頭操作。

3組織學(xué)生交流。

師：從倒的次數(shù)看，兩者體積之間有怎樣的關(guān)系。

生1：我們將空圓錐里裝滿沙子，然后倒入空圓柱中，3次正好裝滿，說明圓錐的體積是圓柱的三分之一。

生2：3次倒?jié)M，圓錐的體積是圓柱的三分之一。

生3(遲疑地)：我們將空圓錐里裝滿沙子。然后倒人空圓柱中，4次正好裝滿。說明圓錐的體積是圓柱的四分之一。

生1：是三分之一，不是四分之一。書上就是這么說的。

生4：我們在空圓錐里裝滿沙子，然后倒入空圓柱中，不到3次就將圓柱裝滿了。

4，結(jié)論思辨。

師：奇怪了，結(jié)論竟然不同。怎么會(huì)是這樣!我來做示范。(教師從教具箱中隨手取出一個(gè)空圓錐一個(gè)空圓柱)你們看，將空圓錐里裝滿沙子，倒入空圓柱里。一次，再來一次。兩次正好裝滿。圓錐的體積是圓柱的二分之一。

學(xué)生議論紛紛。

生5：老師。你取的圓柱太大了。

教師在他的推薦下重新使用一個(gè)空圓柱繼續(xù)實(shí)驗(yàn)，3次正好倒?jié)M。

學(xué)生分組活動(dòng)，調(diào)換學(xué)具，再試。

師：面對兩次實(shí)驗(yàn)。你有沒有話要說?

生6：第一次實(shí)驗(yàn)時(shí)，我們光想著把圓錐的體積轉(zhuǎn)化成圓柱的體積，但是其中的條件沒有注意到。

生7：實(shí)驗(yàn)前，我就通過預(yù)習(xí)知道了圓錐圓柱體積之間存在著三分之一關(guān)系?？墒窃囼?yàn)中我們并沒有獲得這個(gè)結(jié)論，開始我們只是懷疑我們小組操作不規(guī)范，而沒有想到等底等高這一點(diǎn)?，F(xiàn)在我們對此印象很深刻。

生8：我想我們祖先在獲得圓錐圓柱體積之間的關(guān)系時(shí)，一定也是充滿失敗的。缺少了等底等高的前提條件，圓錐和圓柱就沒有轉(zhuǎn)化的必要。

生9：只有在等底等高的條件下，圓錐的體積是圓柱的三分之一。

教師完成板書。

生齊：圓錐的體積等于和它等底等高的圓柱體積的三分之一。

[思考]

一、數(shù)學(xué)需要實(shí)驗(yàn)

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是一種經(jīng)歷，最好的方法是“做”數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)需要實(shí)驗(yàn)?！稊?shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn)稿)》對數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)給予了前所未有的重視：在“基本理念”中指出“學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容應(yīng)當(dāng)是現(xiàn)實(shí)的、有意義的、富有挑戰(zhàn)性的，這些內(nèi)容要有利于學(xué)生主動(dòng)地進(jìn)行觀察、實(shí)驗(yàn)、猜測、驗(yàn)證、推理與交流等數(shù)學(xué)活動(dòng)”：在“關(guān)于目標(biāo)”中強(qiáng)調(diào)“探索主動(dòng)參與特定的數(shù)學(xué)活動(dòng)，通過觀察、實(shí)驗(yàn)、推理等活動(dòng)發(fā)現(xiàn)對象的某些特征或與其他對象的區(qū)別和聯(lián)系”；在“教材編寫建議”中指出“教材的編寫要有利于學(xué)生進(jìn)行觀察、實(shí)驗(yàn)、操作、推理、交流等活動(dòng)，問題的呈現(xiàn)要有利于展開觀察、實(shí)驗(yàn)、操作、推理、交流等活動(dòng)?！苯?jīng)歷、觀察、感知、操作、模仿、收集、參與、嘗試、發(fā)現(xiàn)、探究構(gòu)成了課程標(biāo)準(zhǔn)中實(shí)驗(yàn)教學(xué)的主要行為動(dòng)詞。如今在我們的諸多課堂中，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)依然是一副老舊呆板的模樣，比如把數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)簡單地理解為動(dòng)手操作，把實(shí)驗(yàn)單一地當(dāng)做新知的中介，實(shí)驗(yàn)不充分不到位，為了實(shí)驗(yàn)而實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)流于形式。其實(shí)，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)本身也應(yīng)該是教學(xué)目標(biāo)之一。

數(shù)學(xué)家歐拉認(rèn)為，“數(shù)學(xué)這門科學(xué)需要觀察，也需要實(shí)驗(yàn)?！辈簧贁?shù)學(xué)專家都有這樣的共識，“數(shù)學(xué)家用以發(fā)現(xiàn)新思想的方法之一是進(jìn)行實(shí)驗(yàn)”，可見數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)對數(shù)學(xué)的發(fā)展起著非常重要的作用，它是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一個(gè)重要形成途徑。

在“圓錐的體積”其他的課例里，我們也常?？吹嚼蠋熃柚?jì)算機(jī)來模擬實(shí)驗(yàn)。這樣的處理。是把數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)作為一種教學(xué)方法，雖然有演示實(shí)驗(yàn)的成分存在，但學(xué)生親自參與就缺位了。這種紙上談兵的實(shí)驗(yàn)顯然是不恰當(dāng)?shù)摹Ｄ軌蜃寣W(xué)生看得到的，就不要止于想得到：進(jìn)一步，能夠讓學(xué)生摸得到的，就不要止于看得到。當(dāng)然，對于一些抽象的數(shù)學(xué)概念、復(fù)雜的數(shù)學(xué)形象或者組織難度大的實(shí)驗(yàn)，如果借助計(jì)算機(jī)模擬實(shí)驗(yàn)則可以事半功倍。

二、數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)要重視數(shù)學(xué)的“再發(fā)現(xiàn)”，從而豐富學(xué)生的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)

數(shù)學(xué)是人類的一種活動(dòng)，是一種充滿情感、富有思考的經(jīng)歷、體驗(yàn)和探索的活動(dòng)。目前“獲得數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”已經(jīng)被納入數(shù)學(xué)教育目標(biāo)“四基”(即數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)技能、數(shù)學(xué)思想方法、數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn))之一，數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)是數(shù)學(xué)的感性認(rèn)識，是在數(shù)學(xué)活動(dòng)中積累的。

本案例教學(xué)在實(shí)驗(yàn)環(huán)節(jié)的構(gòu)建上大膽創(chuàng)新，將實(shí)驗(yàn)的環(huán)節(jié)復(fù)合，既注重針對性和實(shí)效性，又很巧妙地處理了教材知識點(diǎn)和學(xué)生思維起點(diǎn)的關(guān)系，在看似混亂無序的實(shí)驗(yàn)中，增加了學(xué)生對實(shí)驗(yàn)條件的辨別及信息的批判。在學(xué)生自由實(shí)驗(yàn)中把圓錐體積計(jì)算這一概念向認(rèn)識的最原始狀態(tài)前移，拉長了實(shí)驗(yàn)數(shù)學(xué)化的過程。這里的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)不僅能使學(xué)生主動(dòng)建構(gòu)、發(fā)展個(gè)性，而且能很好地激勵(lì)學(xué)生的求知欲與好奇心，學(xué)生的體驗(yàn)一定是深刻而持久的。

在筆者十幾年的數(shù)學(xué)教學(xué)中，多次遇到學(xué)生在計(jì)算圓錐的體積時(shí)丟掉那個(gè)似乎來之不易的“三分之一”，是什么讓他們學(xué)過就忘呢?原因就在于：我們的數(shù)學(xué)課程首先沒有讓學(xué)生知道他們面對的內(nèi)容是什么，沒有留給學(xué)生可以思考和可以動(dòng)手的空間。小學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)需要實(shí)驗(yàn)，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)不僅僅需要驗(yàn)證，更需要發(fā)現(xiàn)，因?yàn)椤皟和豢赡芡ㄟ^演繹法學(xué)會(huì)新的數(shù)學(xué)知識”，“數(shù)學(xué)在本質(zhì)上是一項(xiàng)人類活動(dòng)，通過數(shù)學(xué)課程讓學(xué)生重復(fù)人類數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的過程是可能的?！遍_放實(shí)驗(yàn)空間，放手讓學(xué)生去做，從而促使學(xué)生感悟積累數(shù)學(xué)活動(dòng)的經(jīng)驗(yàn)，增進(jìn)對數(shù)學(xué)的理解，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)再發(fā)現(xiàn)和再創(chuàng)造，還原這份真實(shí)的過程，尊重學(xué)生的體驗(yàn)，數(shù)學(xué)的美麗才會(huì)如花燦爛。

三、數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)要凸顯數(shù)學(xué)思想

在實(shí)驗(yàn)過程中，教師要善于引導(dǎo)學(xué)生積極主動(dòng)地經(jīng)歷知識的形成過程，結(jié)合具體的操作行為，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，探究解決問題的策略，讓學(xué)生在觀察、實(shí)驗(yàn)、分析、歸納、抽象、概括的過程中，發(fā)現(xiàn)潛藏其中的思想方法，積極提出猜想并主動(dòng)嘗試發(fā)現(xiàn)。對于“圓錐的體積”，筆者意識到還可以著眼轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想等數(shù)學(xué)思想來整體設(shè)計(jì)組織教與學(xué)，實(shí)驗(yàn)還可以做得更深刻些。為此，筆者首先調(diào)整教學(xué)內(nèi)容的安排，去掉了圓錐體積計(jì)算公式應(yīng)用這一練習(xí)部分，把整個(gè)實(shí)驗(yàn)作為一節(jié)課來設(shè)計(jì)。簡述如下：

教師從實(shí)驗(yàn)器具箱中拿出一個(gè)圓錐(塑料容器)，裝滿水(或沙子)后，問：這里水的形狀是怎樣的?水的體積是多少?學(xué)生交流，可以把水倒入量杯里直接讀出，也可以把水倒入一個(gè)透明的長方體或圓柱容器中然后測量計(jì)算。教師追問：這些數(shù)據(jù)和原來圓錐形狀的水并沒有直接關(guān)系，為什么可以通過測量它們的有關(guān)數(shù)據(jù)來獲得水的體積?

教師再拿出一個(gè)圓錐(橡皮泥材料)問：這塊橡皮泥的形狀是什么?它的體積是多少?學(xué)生探究，可以把橡皮泥重新整形，變形為長方體。

教師追問：剛才我們通過轉(zhuǎn)化解決這兩個(gè)圓錐的體積問題，方案中有什么共同的特點(diǎn)?一方面讓學(xué)生看到轉(zhuǎn)化，另一方面也要發(fā)覺這樣不方便，進(jìn)而形成圓錐的體積該如何計(jì)算的心理取向。

隨后進(jìn)行分組自主實(shí)驗(yàn)。

實(shí)驗(yàn)交流，獲得結(jié)論，檢驗(yàn)和解釋結(jié)果。

實(shí)驗(yàn)總結(jié)，明確其中的那些基本數(shù)學(xué)思想方法，如猜想、模型化、推理、轉(zhuǎn)化思想等。

上述教學(xué)活動(dòng)，在實(shí)驗(yàn)前中后都注重了猜想和交流，能使學(xué)生從特殊到一般地認(rèn)識圓錐的體積計(jì)算，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識、方法考察和處理事物現(xiàn)象的科學(xué)態(tài)度，提高學(xué)生解決問題能力和邏輯思維能力，在解決問題、探索知識、建構(gòu)知識的過程中，使學(xué)生認(rèn)識到數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的價(jià)值，享受到數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的樂趣和學(xué)習(xí)的充實(shí)感。