例析“函數(shù)的基本性質(zhì)”學(xué)習(xí)中的難點(diǎn)與易錯(cuò)點(diǎn)

摘 要： 本文作者以蘇教版高中數(shù)學(xué)教材為基礎(chǔ)，通過(guò)對(duì)函數(shù)基本性質(zhì)這部分內(nèi)容的考點(diǎn)和易錯(cuò)點(diǎn)的分析，認(rèn)為對(duì)基本概念認(rèn)識(shí)不夠深入、運(yùn)用不夠熟練，以及運(yùn)算和邏輯推理能力的缺乏是導(dǎo)造成這部分內(nèi)容相關(guān)題目正確率不高的原因，并對(duì)今后的教學(xué)方向提出了建議。

關(guān)鍵詞： “函數(shù)的基本性質(zhì)” 例題 易錯(cuò)點(diǎn) 難點(diǎn)

蘇教版高中數(shù)學(xué)教材的第二章函數(shù)概念與基本初等函數(shù)中，“函數(shù)的基本性質(zhì)”這部分內(nèi)容是本章的重點(diǎn)，也是學(xué)習(xí)的難點(diǎn)。筆者通過(guò)經(jīng)典例題的解答，逐一對(duì)學(xué)生在對(duì)這部分內(nèi)容的掌握和運(yùn)用上經(jīng)常出現(xiàn)的一些錯(cuò)誤和難點(diǎn)加以剖析。

一、易錯(cuò)點(diǎn)分析

1.對(duì)函數(shù)單調(diào)性的概念不清，導(dǎo)致對(duì)函數(shù)單調(diào)性的判斷出現(xiàn)偏差。

［例1］判斷函數(shù)y=（）的單調(diào)性。

解：原函數(shù)可以轉(zhuǎn)化為y=2，該函數(shù)在R上是增函數(shù)，∴y=（）是增函數(shù)。

2.對(duì)函數(shù)奇偶性定義的內(nèi)涵理解不深，導(dǎo)致對(duì)函數(shù)在特定定義域上的奇偶性判斷出現(xiàn)錯(cuò)誤。

［例2］判斷函數(shù)f（x）=（1-x）的奇偶性。

解：f（x）=（1-x）有意義時(shí)必須滿(mǎn)足≥0

∴-1＜x＜1。

即函數(shù)的定義域是｛x|-1≤x＜1｝，即函數(shù)定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，因此該函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)。

3.對(duì)函數(shù)奇偶性判斷的方法局限于定義而不夠靈活，導(dǎo)致判斷結(jié)果的錯(cuò)誤。

［例3］判斷函數(shù)f（x）=ln（-x）的奇偶性。

解：解法一：∵f（-x）=ln［-（-x）］=ln（+x）

=ln=-ln（-x）=-f（x）

∴f（x）是奇函數(shù)。

4.對(duì)函數(shù)的單調(diào)性只能在函數(shù)的定義域內(nèi)來(lái)討論這一點(diǎn)認(rèn)識(shí)不深刻，導(dǎo)致增減區(qū)間判斷的錯(cuò)誤。

［例4］函數(shù)y=的單調(diào)增區(qū)間是 。

解：y=的定義域是［-3，1］，又g（x）=3-2x-x在區(qū)間［-3，-1］上是增函數(shù)，在區(qū)間［-1，1］上是減函數(shù)，所以y=的增區(qū)間是［-3，-1］。

二、難點(diǎn)分析

1.函數(shù)的作圖。

函數(shù)的作圖有兩種需要注意：一類(lèi)分段函數(shù)，另一類(lèi)是特殊函數(shù)。下面給出兩道題目及其解法作為例子：

［例5］作出下列函數(shù)的圖像：y=|x-2|（x+1）。

解：當(dāng)x≥2時(shí)，即x-2≥0時(shí)，

y=（x-2）（x+1）=x-x-2=（x-）-；

當(dāng)x＜2時(shí)，即x-2＜0時(shí)，

y=（2-x）（x+1）=-x+x+2=-（x-）+。

所以y=（x-）- （x≥2）-（x-）+ （x＜2）。

［例6］作出下列函數(shù)的圖像：y=e。

解：當(dāng)x≥1時(shí)，lnx≥0，y=e=x；

當(dāng)0＜x＜1時(shí)，lnx＜0，y=e=，

所以y=x （x≥1） （0＜x＜1） 。

2.函數(shù)單調(diào)性定義的應(yīng)用。

［例7］若f（x）=在區(qū)間（-3，+∞）上是減函數(shù)，求a的取值范圍。

解：設(shè)-3＜x＜x，f（x）-f（x）=-

=

=

=

=

由f（x）=在區(qū)間（-2，+∞）上是減函數(shù)

得f（x）-f（x）＞0

∴3a-1＜0?圯a＜。

3.函數(shù)奇偶性、單調(diào)性的證明。

［例8］函數(shù)f（x）在（-1，1）上有定義，f（）=-1，當(dāng)且僅當(dāng)0＜x＜1時(shí)f（x）＜0，且對(duì)任意x、y∈（-1，1）都有f（x）+f（y）=f（），試證明：（1）f（x）為奇函數(shù)；（2）f（x）在（-1，1）上單調(diào)遞減。

解：證明：（1）由f（x）+f（y）=f（），令x=y=0，得f（0）=0，令y=-x，得f（x）+f（-x）=f（）=f（0）=0?！鄁（x）=-f（-x）?！鄁（x）為奇函數(shù)。

（2）先證f（x）在（0，1）上單調(diào)遞減。

令0＜x＜x＜1，則f（x）-f（x）=f（x）+f（-x）=f（）

∵0＜x＜x＜1，∴x-x＞0，1-xx＞0，∴＞0，

又（x-x）-（1-xx）=（x-1）（x+1）＜0。

∴x-x＜1-xx，

∴0＜＜1。

由題意知f（）＜0，

即f（x）＜f（x）。

∴f（x）在（0，1）上為減函數(shù)，又f（x）為奇函數(shù)且f（0）=0。

∴f（x）在（-1，1）上為減函數(shù)。

三、總結(jié)

由上面的例題分析可知，函數(shù)的基本性質(zhì)部分內(nèi)容的易錯(cuò)點(diǎn)主要集中在對(duì)基本概念理解的深度上，而將已掌握的知識(shí)點(diǎn)綜合運(yùn)用，用于解答各種綜合問(wèn)題是這部分內(nèi)容的難點(diǎn)所在，需要學(xué)生對(duì)概念的深刻理解和較強(qiáng)的運(yùn)算、邏輯推理的功底，對(duì)函數(shù)的基本性質(zhì)的教學(xué)也應(yīng)當(dāng)重點(diǎn)集中在這些方面。