新課程高中數(shù)學(xué)中的ＭＭ策略

數(shù)學(xué)模型策略 （mathmaticat modelling method），簡稱為MM策略，不僅是處理數(shù)學(xué)理論問題的一種典型方法，還是處理科技領(lǐng)域中各種實際問題的一般數(shù)學(xué)方法，在產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)調(diào)整、廣告、促銷、物理電子、生物等領(lǐng)域中都可見到。

模型策略就是把一個現(xiàn)實原型引向我們熟悉的模型，原有的熟悉模型經(jīng)過推廣，從而來解決一類具有一定公共特點的問題。解決了一個新問題就擴大了我們的解題能力。這種思維模式與新課程中的算法思想有著深刻的內(nèi)在聯(lián)系。此策略過程一般可分為抽象、推理、類比、發(fā)散、創(chuàng)新五個階段。在中學(xué)數(shù)學(xué)中如何運用MM策略呢？

其基本步驟如下：

1.由實際問題抽象到數(shù)學(xué)模型。

2.從數(shù)學(xué)模型中進(jìn)行邏輯推理、論證、演算等求得數(shù)學(xué)模型的結(jié)論。

3.對此數(shù)學(xué)模型進(jìn)行一定的抽象、推廣，使其適用于一類問題。

4.把數(shù)學(xué)模型得到的結(jié)論對應(yīng)地翻譯到現(xiàn)實原型，得到現(xiàn)實問題的解答。

在數(shù)學(xué)解題中，最常見的有函數(shù)模型、幾何模型、方程模型、復(fù)數(shù)模型、數(shù)列模型等。對于不同的問題，采用相應(yīng)的模型，往往會有較好的效果。下面列舉幾個比較有效的模型，一窺模型化策略在數(shù)學(xué)解題中的功效。

一、以形助數(shù)類模型化策略

此類問題結(jié)合“以數(shù)輔形”即為平時教學(xué)中提及較多的“數(shù)形結(jié)合”問題。

例1：（2006浙江高考，12）對a，b∈R，記max{a，b}=a，a≥bb，a＜b，函數(shù)f（x）=max{|x+1|，|x-2|}（x∈R）的最小值是（ ）。

解析：令y=|x+1|，y=|x-2|，在同一坐標(biāo)系中分別作出其圖像，如下圖所示，根據(jù)題意知函數(shù)f（x）的圖像為圖中的射線PA、PB構(gòu)成，由y=-x+2y=x+1解得y=，即為函數(shù)的最小值。

此策略還包括常見的“兩點間距離模型”、“直線的斜率模型”、求最值的“線性規(guī)劃模型”及“方程的解轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖像交點類模型化策略”等，體現(xiàn)了“形中有數(shù)，數(shù)中有形”。

二、向量變式類模型化策略

向量溝通了代數(shù)與幾何的內(nèi)在聯(lián)系，也給我們提供了研究數(shù)學(xué)問題的新思路。

例2：求函數(shù)y=3+4的最大值。

解析：本題可以通過導(dǎo)數(shù)的辦法來求得函數(shù)的最值，但計算較為麻煩。

如果熟悉向量的模型，就可以比較快速地解決本問題。令=（a，b），=（c，d），由于·≤||||，∴ac+bd≤，由此得到解法：y=3+4≤=10，當(dāng)且僅當(dāng)=即x=時等號成立。

對某些含有乘方或平方和等代數(shù)問題，均可構(gòu)建向量內(nèi)積和向量模的模型來解決，這樣可以優(yōu)化思維品質(zhì)，培養(yǎng)創(chuàng)新思維能力，尋找到好的解題思路。在高中數(shù)學(xué)人教社（B版）中，向量類模型的觸角更是伸向了立體幾何，所能解決的問題包含了其中的距離、角度的各類問題。同時也為1B中的不等式等的處理提供了新途徑。

三、二項式定理構(gòu)造不等式類模型化策略

二項式定理本身包含的對稱性與有序性為不等式、倒序、放縮等提供了可能。

例3：（2007年四川卷、理22）設(shè)函數(shù)f（x）=1+（n∈N，且n＞1，x∈N）。

（Ⅲ）是否存在a∈N，使得an＜1+＜（a+1）n恒成立？若存在，試證明你的結(jié)論并求出a的值；若不存在，請說明理由。

證明：對m∈N，且m＞1，有1+=C+C+C+…+C+…+C

=1+1++…++…+

=2+1-+…+1-1-…1-+…+1-…1-

＜2+++…++…+

＜2+++…++…+

=2+1-+-+…+-+…+-=3-＜3

又因C＞0（k=2，3，4，…，m），故2＜1+＜3，從而有2n＜1+＜3n成立，即存在a=2，使得2n＜1+＜3n（n∈N且n＞1）恒成立。

二項式定理（a+b）=Cab+Cab+…+Cab+…+Cab，是證明高次不等式的有效途徑，通過二項式定理模型的構(gòu)建可以使復(fù)雜、繁瑣的不等式證明變得簡潔、巧妙。

四、立體幾何類的模型化策略

當(dāng)問題沒有給出具體的圖形，只是給出了相關(guān)點、線、面的關(guān)系（如平行、垂直等），要判斷某些元素的位置關(guān)系時，通?？煽紤]構(gòu)造正方體模型、長方體模型、球或正多面體等。把這些線、面變成幾何體中的相關(guān)元素，進(jìn)而加以解決。

例4：過球O的球面上一點P作球的兩兩垂直的三條弦PA、PB、PC，且PA=，PB=，PC=，求球O的半徑。

分析：構(gòu)造長方體。以P為頂點的三條棱PA、PB、PC兩兩垂直，球O就是這個長方體的外接球，對角線PD就是球O的直徑，設(shè)半徑等于R，則有2R==，R=。

在立體幾何中，類似地還可以構(gòu)造“墻角”模型策略、“三節(jié)棍”模型策略等。構(gòu)造模型法解立體幾何問題，不但能提升學(xué)生的思維起點，培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力，還能讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)美，體驗數(shù)學(xué)美，提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

五、解析幾何類模型策略

在解析幾何中，包含幾類特殊的知識點，如“第一定義”、“第二定義”、各類距離及參數(shù)方程等。從而，某些問題也通過構(gòu)造符合上述性質(zhì)的特殊形式來解決。

例5：在三角形ABC中，已知a=10，c=8+b，求證：tancot=。

證明：以線段BC的中點為坐標(biāo)原點，線段BC所在直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，點A（x，y）在雙曲線-=1的右支上。由雙曲線的焦半徑公式得到|AB|=x+4，|AC|=x-4，所以tancot=·=·

=·===

當(dāng)三角函數(shù)、方程、不等式問題中的條件或結(jié)論與圓錐曲線的第一定義、第二定義或二次曲線方程的參數(shù)形式有關(guān)的時候，我們可構(gòu)造圓錐曲線模型解題，使解題方法得到優(yōu)化。

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是一個由“具體問題”抽象到“模型化問題”，從而指導(dǎo)解決另外的“具體問題”的過程。在高中數(shù)學(xué)的解題中，除了上述涉及的模型外，還包括“恒成立問題轉(zhuǎn)化為最值”的模型化策略、“求函數(shù)最值的導(dǎo)數(shù)處理類”模型化策略、“判別式”模型化策略、“極端思維模型化”策略、“特殊值類模型化”策略等。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，模型化轉(zhuǎn)化得成功與否，對能否順利解題起著至關(guān)重要的作用。只有對數(shù)學(xué)多種知識模型化策略有深層次的領(lǐng)悟，才能促進(jìn)學(xué)生對數(shù)學(xué)思想方法有更深刻的理解，才能促進(jìn)學(xué)生靈活應(yīng)用數(shù)學(xué)知識，解決相應(yīng)問題，促進(jìn)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)能力的發(fā)展。