群定義的引入教學(xué)探究

摘 要： 諸多教材在引入群時(shí)，沒(méi)有論述到群定義中“封閉性”、“結(jié)合律”這兩條的合理性，本文作者根據(jù)教學(xué)實(shí)踐，對(duì)引入予以了豐富，并由此論述了相關(guān)代數(shù)問(wèn)題的一些發(fā)展。

關(guān)鍵詞： 群的定義 封閉性 結(jié)合律 數(shù)學(xué)發(fā)展

引言

對(duì)稱與群現(xiàn)在已出現(xiàn)在高中新課程標(biāo)準(zhǔn)選修系列3的第4塊專題，而群本身是大學(xué)數(shù)學(xué)《近世代數(shù)》的基礎(chǔ)概念，并且一般是作為近世代數(shù)第一節(jié)的開(kāi)課內(nèi)容。師范學(xué)院數(shù)學(xué)系教師，面對(duì)即將踏上中學(xué)數(shù)學(xué)教師崗位的師范學(xué)生，首先有必要透徹地講好這一概念，從而使學(xué)生增強(qiáng)數(shù)學(xué)素養(yǎng)，把這些理解滲透到今后的中學(xué)教學(xué)中去。

筆者在教學(xué)中參考了很多教材和文獻(xiàn)，這些文章和專著在有關(guān)對(duì)稱與群的關(guān)系也有很多論述，見(jiàn)文獻(xiàn)［４］。筆者發(fā)現(xiàn)，由對(duì)稱當(dāng)然可以看到每個(gè)元素都有對(duì)立元素——逆元，對(duì)稱中心—單位元，即G、G確實(shí)合理，但為什么還要加封閉性和結(jié)合律，即G、G這兩條要求？學(xué)生很困惑。諸多文獻(xiàn)、教材（如果有引入的）或者是闡述對(duì)稱存在的廣泛性，或者是總結(jié)對(duì)稱的類別，如圖形對(duì)稱、運(yùn)動(dòng)對(duì)稱、數(shù)域?qū)ΨQ、多項(xiàng)式對(duì)稱等，而為什么這些現(xiàn)象和類別通過(guò)抽象就可得出群的定義，并不是很明確。筆者做了一些探究，由以下幾方面來(lái)闡述群這種結(jié)構(gòu)的合理性：首先回顧群的定義，然后分別討論G、G條件，最后討論由此角度看到的數(shù)學(xué)發(fā)展。

一、群的定義

群是Galois為解決方程的根的問(wèn)題而引入的，我們首先看群的定義：劉紹學(xué)版［２］P12-13：設(shè)·是集合G的一個(gè)二元運(yùn)算（我們常稱為乘法）。稱（G，·）為一個(gè)群，如果這個(gè)運(yùn)算滿足下列諸公理：

（G）對(duì)任意a，b∈G，有ab∈G；

（G）對(duì)任意a，b，c∈G，有（a·b）·c=a·（b·c）；

（G）存在e∈G，使得對(duì)任意a∈G，有e·a=a·e=e；

（G）對(duì)任意a∈G存在一元素b∈G，使a·b=b·a=e。

其他文獻(xiàn)，楊子胥版［３］：用代數(shù)運(yùn)算代替了（G），其他三條是一致的。即便如此這兩個(gè)版本的教材還有區(qū)別，但可以論證，它們的本質(zhì)是一樣的。筆者也并不準(zhǔn)備拘泥于這些定義的方法的不同，因?yàn)檫@些定義本質(zhì)上都是上述四條。由于G、G已經(jīng)有很多文獻(xiàn)論述其合理性，筆者的目的是強(qiáng)調(diào)G、G的數(shù)學(xué)背景，完善上述關(guān)于“合理性”的論述。在引入這一概念時(shí)，學(xué)生可以更多地感受這一概念的合理性和每一條件的必要性。

二、G的必要性和合理性

G也就是元素對(duì)“·”的封閉性。

直觀來(lái)看，數(shù)學(xué)中與“數(shù)”相關(guān)的運(yùn)算經(jīng)歷了很多非封閉階段。這也是每個(gè)即便只有簡(jiǎn)單數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)經(jīng)歷的人都要經(jīng)歷的階段。比如，小學(xué)生學(xué)習(xí)加法時(shí)，不論怎么相加都不存在問(wèn)題，但做減法就不行了，在小學(xué)時(shí)用小的數(shù)減更大的數(shù)，好像就找不到結(jié)果。再比如，乘法可以隨便進(jìn)行，但在沒(méi)有引進(jìn)分?jǐn)?shù)時(shí)，除法卻不是可以隨心所欲的，被除數(shù)必須是除數(shù)的整數(shù)倍。進(jìn)一步學(xué)習(xí)，引進(jìn)了分?jǐn)?shù)，這個(gè)問(wèn)題才得以解決（當(dāng)然還得附加，除數(shù)不為0，這一條件）。到了中學(xué)，有了負(fù)數(shù)，減法可以隨便進(jìn)行了，但負(fù)數(shù)開(kāi)方又好像是不可能的，這時(shí)候虛數(shù)出現(xiàn)了，進(jìn)一步擴(kuò)大了數(shù)域范圍。我們現(xiàn)在知道這個(gè)范圍還可以繼續(xù)擴(kuò)大，從環(huán)的角度來(lái)說(shuō)，四元素環(huán)就更“大”了。而也許有一天，因?yàn)槟撤N運(yùn)算“不封閉”還可能導(dǎo)致這個(gè)范圍繼續(xù)擴(kuò)大，而這里涉及的還只是已經(jīng)比較規(guī)范的數(shù)的集合，而非數(shù)集合，否則經(jīng)過(guò)運(yùn)算后不封閉的可能性更大。

通過(guò)上述討論，我們可以歸納為以下幾點(diǎn)：

1.所研究的集合，有些元素經(jīng)過(guò)運(yùn)算后，如果有元素“跑”出去了，這個(gè)集合也就失去了研究?jī)r(jià)值。所以，對(duì)群的運(yùn)算提出“封閉性”這一條件是必要的，也是合理的。

2.對(duì)群的“運(yùn)算”要素引起足夠重視，而不僅僅是集合這一要素，這也是我們初學(xué)近世代數(shù)容易誤解之處，認(rèn)為群就是一集合，忽略群的二元性（集合和運(yùn)算）。在這個(gè)基礎(chǔ)上，我們就可以自然地理解同一個(gè)集合Z，（Z，+）是群，而（Z，·）不是群（這里的+和·代表的是通常的加法和乘法）。

3.通過(guò)這些具體例子，可以降低群這一概念的抽象性，使學(xué)生更容易接受這一概念。

三、G的必要性和合理性

1.G也就是結(jié)合律條件。

我們對(duì)結(jié)合律一般都不以為然，之所以如此，是因?yàn)槲覀冏顬槭熘摹皵?shù)”（整數(shù)、有理數(shù)、實(shí)數(shù)或者復(fù)數(shù)）的加法和乘法都符合結(jié)合律，所以對(duì)于結(jié)合律我們會(huì)想當(dāng)然地認(rèn)為這一條似乎沒(méi)有用。而稍加思索，我們就會(huì)發(fā)現(xiàn)，減法和除法就不符合結(jié)合律。其實(shí)，生活中不符合結(jié)合律的事件比比皆是，比如我們非常熟悉的一個(gè)數(shù)學(xué)故事：一個(gè)人帶一只公雞、一把白菜、一頭狼過(guò)橋，而每次只能帶兩樣?xùn)|西過(guò)橋。那么，這個(gè)人先讓哪兩樣?xùn)|西組合，再帶另一樣?xùn)|西過(guò)橋，結(jié)果就不會(huì)一樣。高中數(shù)學(xué)和物理都有涉及的向量的內(nèi)積（·）·≠ ·（·），外積（×）×≠×（×）也不符合結(jié)合律，由此推廣得到的代數(shù)的另一個(gè)分支，李代數(shù)的乘法和一般的代數(shù)系統(tǒng)不一樣，不存在結(jié)合律。近世代數(shù)具有高度的抽象性，所謂抽象，就是要概括一般情況，既然一般集合有不符合結(jié)合律的，而我們研究的“群”是一種相當(dāng)規(guī)范的結(jié)構(gòu)，就得另外加強(qiáng)條件。這些例子可以讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到結(jié)合律這一條件的必要性。

2.結(jié)合律的合理性

我們反復(fù)強(qiáng)調(diào)，“群”是相當(dāng)精巧和規(guī)范的結(jié)構(gòu)，之所以規(guī)范，因?yàn)槿旱慕⑹菫榱搜芯恳恍┚哂幸?guī)范結(jié)構(gòu)的代數(shù)問(wèn)題，所以我們對(duì)“·”提出了要求，即可以不考慮乘法順序。

四、由此角度看到的數(shù)學(xué)發(fā)展

初等數(shù)學(xué)來(lái)源于生活實(shí)踐，而近世代數(shù)是初等數(shù)學(xué)問(wèn)題的進(jìn)一步抽象，并且很大程度上就是為解決一些初等數(shù)學(xué)不能解決的問(wèn)題而產(chǎn)生，比如“群”這個(gè)概念，它的引入當(dāng)初就是為解決高次方程的根的問(wèn)題。為解決此問(wèn)題，才構(gòu)造了“群”這種非常對(duì)稱、規(guī)范的結(jié)構(gòu)。數(shù)學(xué)即使能抽象和概括很多“一般”，也不能概括所有并不規(guī)范和對(duì)稱的東西，需在發(fā)展中適當(dāng)改良一些條件和結(jié)論，所以數(shù)域?yàn)檫_(dá)到對(duì)稱的目的，正數(shù)有了相對(duì)0對(duì)稱的負(fù)數(shù)。從數(shù)的發(fā)展以至新的理論建立，我們可以看到，數(shù)學(xué)在理論建立之初，也是非常粗燥的，并不是我們今天所看到的全是經(jīng)典的定義或定理，而是在一系列不嚴(yán)密中發(fā)展和完善的。這些發(fā)展和完善不僅可以解決原來(lái)難以解決的一些理論，并且發(fā)展成新的理論，與學(xué)生交流這些認(rèn)識(shí)和思想也有助于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

參考文獻(xiàn)：

［1］張禾瑞.近世代數(shù)基礎(chǔ)（修訂版）［M］.北京：高等教育出版社，1983.

［2］劉紹學(xué).近世代數(shù)基礎(chǔ)［M］.北京：高等教育出版社，1999.

［3］楊子胥.近世代數(shù)［M］.北京：高等教育出版社，2003.

［4］胡萬(wàn)寶，吳瓊.群論教學(xué)中的對(duì)稱滲透［J］.安慶師范學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2001，（03）.

基金項(xiàng)目：遵義師范學(xué)院校級(jí)教研項(xiàng)目資助（2008002）