反其道而行之

有這樣一個故事，說的是兩個早餐店賣雞蛋的事。A店和B店，他們位于同一條街上且面對面，早點都有雞蛋出售。A店每天早上可賣出200多個雞蛋，B店每天早上賣出的雞蛋不足30個。為什么會有這么大的差別呢？拋開天時、地利、人和三方面的因素不說，單看兩家店的服務(wù)員和賣雞蛋就可找到原因。A店的服務(wù)員走到客戶面前是這樣問的：“您好，歡迎光臨，請問需要點些什么？另外本店雞蛋味道獨特，您看是來一個還是兩個呢？”B店服務(wù)員是這樣問的：“您好，歡迎光臨，請問需要點什么？另外本店雞蛋味道獨特，您要不要雞蛋？”“要一個還是兩個”與“要不要”，這兩種不同的問法就決定了每天早上雞蛋的銷量。

提問看似簡單，做起來難。如何提出有針對性、有深度、有質(zhì)量的問題是一件非常有學(xué)問的事情，提問的方式不一樣，先后不一樣，其結(jié)果也不一樣。同樣，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，同一數(shù)學(xué)材料，教師教學(xué)設(shè)計不同，教學(xué)效果會有迥然不同的差異。培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維，需要教師在平時的教學(xué)中多多引導(dǎo)，創(chuàng)設(shè)不同的問題空間。

例如，一口鐘掛在鏡子（平面鏡）對面的墻上，如圖是白天某一時刻從鏡子中看到的時間，則它的真正時間是：。如果教師直接教學(xué)生用軸對稱的方法解題，學(xué)生很難解出題目，對培養(yǎng)學(xué)生的思維意義不大，我們是不是可以這樣設(shè)計，讓學(xué)生把畫著鐘的那張紙翻過來，看看是幾點，這樣實際上就是把這張紙當(dāng)做了對稱軸，題目的答案也就一目了然了。

一個數(shù)學(xué)問題，當(dāng)順向思維思考比較困難時，常常改為反向思考。初中教學(xué)中用這種策略的例子是很多的。常用這一策略，可以培養(yǎng)學(xué)生反向考慮問題的自覺性，訓(xùn)練學(xué)生的逆向思維，使學(xué)生不受思維習(xí)慣的約束，提高學(xué)生思維的靈活程度。本文略舉這方面的幾個例子。

一、正與反

例如，以下三個方程中：

x2－4x＋2m－3＝0……… ①

x2－6x＋3m＋12＝0 ……… ②

x2＋3x－m＋ ＝0……… ③

三個方程中至少有一個方程有實數(shù)解，求實數(shù)m的取值范圍。

解析：從正面考慮方程至少有一個實數(shù)解，要分七種情況，①、②、③每個都有實數(shù)解，①②、②③、①③有實數(shù)解，①②③有實數(shù)解，這樣比較麻煩，有時還考慮不周全，不妨從反面入手，逆向求解。假設(shè)每個方程同時沒有實數(shù)解。則：

△1＝16－4（2m－3）＝28－8m＜0，則m＞ ；

△2＝36－4（3m＋12）＝－12－12m＜0，則m＞－1；

△3＝9－4（－m＋ ）＝4m－16＜0，則m＜4。

∴ ＜m＜4，∴當(dāng) ＜m＜4時，△1，△2，△3均小于零，

無解。

m≤ 或m≥4，至少有一個方程有實數(shù)解。

二、常量與變量賓主互易

例如，解方程x4－x2＋8x－16＝0。

解析：原方程變形為：42－2x#8226;4＋x2－x4＝0。

將4看作未知數(shù)，利用求根公式：

4＝

∴ 4＝x＋x2，4＝x－x2（無實根）。

∴ 原方程的解是x2＋x－4＝0的根，解得x＝ 。

三、“不變”應(yīng)“變”

例如：凸n邊形所有內(nèi)角中，恰好有3個鈍解，求n的最大值。

解析：這里的已知條件是關(guān)于幾邊形的內(nèi)角的有關(guān)情況，從已知出發(fā)，應(yīng)用多邊形邊數(shù)與內(nèi)角的關(guān)系：n邊形內(nèi)角和＝（n－2）×180ordm;，問題很難求解，因為多邊形的內(nèi)角和隨著多邊形的邊數(shù)的變化而變化，但外角和總是不變的，于是我們將內(nèi)角問題轉(zhuǎn)化為外角問題來處理，即以外角和為“不變”來應(yīng)內(nèi)角和為“變”。因為n邊形恰好有3個鈍角，所以外角中恰好有3個銳角，其余是直角或鈍角，又因外角和為360ordm;，所以外角最多還有3個，這樣多邊形最多有6個外角，所以n的最大值是6。

四、整體與部分

對于某些問題從整體入手更顯簡捷。

例如，設(shè)有四個數(shù)，其中每三個數(shù)的和為20、18、15、22，求這四個數(shù)。

解析：由題意可知是一個四元一次方程組，解得a、b、c、d比較它們的大小而得出結(jié)論，但是根據(jù)本題的條件，可知a、b、c、d互不相等，所以解題中不妨設(shè)a＜b＜c＜d。這樣可簡化解題過程。

解，由題意不妨設(shè)a＜b＜c＜d，可得：

a＋b＋c＝15……… ①

a＋b＋d＝18……… ②

a＋c＋d＝20……… ③

b＋c＋d＝22……… ④

①＋②＋③＋④，得：3（a＋b＋c＋d）＝75。

∴ a＋b＋c＋d＝25……… ⑤

⑤－①，得d＝10。

∴ 最大的數(shù)是10。

但這樣做過于繁雜，還要考慮任意3個數(shù)的大小關(guān)系，學(xué)生不易做出，不妨這樣考慮：

解析：設(shè)這四個數(shù)的和為x，得：

（x－20）＋（x－18）＋（x－15）＋（x－22）＝x

解得x＝25。

∴ 所得的四個數(shù)分別是5、7、10、3。

五、以退求進

例如：設(shè)x，y，z是三個互不相等的實數(shù)，且x＋ ＝y(tǒng)＋

＝z＋ ，求得x2y2z2的值。

解析：要求x2y2z2的值，先求x、y、z的值，或直接求x2y2z2的值，都有困難，不妨退一步，考慮到x2y2z2＝xy#8226;yz#8226;zx，所以可以先求出xy、yz、zx，再進一步求x2y2z2。

由x＋ ＝y(tǒng)＋ ，得出x－y＝ ，所以yz＝ 。

同理，xy＝ ，zx＝ 。

所以，x2y2z2＝xy#8226;yz#8226;zx＝ #8226; #8226; ＝1。

六、互逆順序

有些問題按其發(fā)生順序去解，令人茫然，若從結(jié)果逆推，極易解。

例如：有甲乙丙三堆火柴，首先從甲堆中拿出等于乙丙兩堆之和的火柴，并按乙丙兩堆火柴數(shù)分別放入乙丙兩堆中，乙堆中取出等于甲丙兩堆火柴之和的火柴，并按甲丙兩堆的火柴數(shù)分別放入甲丙兩堆中，最后從丙堆中取出等于甲乙兩堆之和的火柴，并按甲乙兩堆火柴數(shù)分別放入甲乙兩堆中。這時三堆火柴均為8根，問各堆原有幾根火柴？

解析：此問題中，由最后各堆均有8根火柴知道，共有24根火柴，前后3次調(diào)整，我們按照與活動順序相反的方向去考慮。

甲乙丙

第三次調(diào)整后火柴堆放情況888

第三次調(diào)整前火柴堆放情況

（從甲，乙中各取一半還入丙中）4416

第二次調(diào)整前火柴堆放情況

（從甲，丙中各取一半還入乙中）2148

第一次調(diào)整前火柴堆放情況

（從乙，丙中各取一半還入甲中）1374

火柴原來各堆分別是甲13根，乙7根，丙4根。

數(shù)學(xué)被譽為“思維體操”，在數(shù)學(xué)教學(xué)與學(xué)習(xí)中，解題是一項非常重要的活動——學(xué)數(shù)學(xué)離不開解題。一道題目出現(xiàn)在眼前，立即反應(yīng)出用什么方法，絕非是一件容易的事，似“冰凍三尺，非一日之寒。”作為教師，在平常的教學(xué)中，應(yīng)深入挖掘思維素材，充分滲透類比、歸納、轉(zhuǎn)化等思想，使學(xué)生不受思維習(xí)慣的約束，從而培養(yǎng)學(xué)生良好的思維品質(zhì)，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。