淺談排列、組合的復習教學策略

排列和組合是高中數(shù)學教與學的一個難點，雖然高考中所占比重不大，但試題具有一定的靈活性、機動性和綜合性，教學中又涉及到分類與整合、轉(zhuǎn)化與化歸、正難則反等多種思維方法，又是概率的基礎(chǔ)。因此，做好這部分的復習至關(guān)重要。下面筆者從以下幾個方面談談這個問題：

一、排列、組合題目的分類

排列組合的題目大致分二類。

1．無附加條件的排列組合題

例1，書架的第一層放有4本不同的數(shù)學書，第二層放有3本不同的語文書，第三層放有2本不同的體育書。

（1）從書架上任取1本書，有多少種不同的方法？（4＋3＋2＝9）

（2）從書架的第一、二、三層各取1本書，有多少種不同的方法？（4×3×2＝24）

例2，從5位同學中產(chǎn)生一名組長，一名副組長，有多少種不同的方法？（ ）

例3，高二年級8個班進行籃球單循環(huán)賽，共有多少場不同的比賽？（ ）

例4，某信號兵用紅、黃、藍三面旗從上到下掛在豎直的旗桿上表示信號，每次可以任掛1面、2面或3面，并且不同的順序表示不同的信號，一共可以表示多少種不同的信號？（ ＋ ＋ ＝15）

2．有附加條件的排列組合題

例5，7個人站成一排，如果甲必須站在正中間，有多少種不同的方法？（ ）

例6，從數(shù)字0，1，3，5，7中取出不同的3個作系數(shù)，可以組成多少個不同的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0？（a不能取0，共有 #8226; ＝48個）

二、排列、組合題的解法

排列組合題的解法大致有兩種。

1．直接法

直接法一般可以從兩個方面考慮：①元素分析法——即以元素為主，優(yōu)先考慮特殊元素的要求，再考慮其它元素。②位置分析法——即以位置為主，優(yōu)先考慮特殊位置的要求，再考慮其它位置。

例7，6人站成一排照相，甲不站在右端，也不站在左端的排法有多少種？

［解析］：將問題轉(zhuǎn)化為一個6位數(shù)的填空□□□□□□

方法1：從元素考慮，甲是特殊元素，先從中間四個位置任選一個安排甲有 種，后排余下的5人有 種，由乘法原理共有 #8226; ＝480種。

方法2：從位置考慮，1號和6號是特殊位置，先從除甲外的5人中任取兩人安排這兩個位置有 種，后排余下的4個位置有 種，由乘法原理共有 #8226; ＝480種。

2．間接法

如果問題的正面分類較多或正面問題計算較復雜，而反面問題的分類較少或計算簡便，往往采用間接法（剔除不符合條件的）。

例8，從7名男生和5名女生中選取5人，分別求符合下列條件的選法有多少種？

（1）至少有一名女生當選

（2）A，B不全當選

［解析］：①若從正面考慮有五種情況，故考慮反面，用間接法：（ － ）。②A，B不全當選的反面是必然當選，用間接法處理：（ － ）。

三、注重基礎(chǔ)知識和基本方法的復習

1．仔細審題、區(qū)分排組

排列、組合都是研究事物在某種給定的模式下的所有可能的配制的數(shù)目問題，它們之間的區(qū)別在于是否考慮選出元素的先后順序。

例9，滬寧鐵路線上有六個大站，即上海、蘇州、無錫、常州、鎮(zhèn)江、南京，鐵路部門為滬寧線上的這六個大站應準備多少種不同的火車票？共有多少種不同的票價？

［解析］：一種火車票對應于兩個元素的一個排列，排在前面的為起點站，后面的為終點站，故共有 ＝30種，而票價一般不考慮起點與終點，故有 ＝15種。

2．細心考慮、分清加乘

例10，從4名男生、3名女生中選出3名代表。

（1）至少有一名女生的不同選法有多少種？

（2）代表中男、女生都有的選法有多少種？

［解析］：解題過程中要注意“步”和“類”的分析，正確使用兩個原理。①＋＋ ＝31；②＋＝30。

例11，某班委會由4名男生和3名女生組成，現(xiàn)從中選出2人擔任正副班長，其中至少有1名女生當選的概率是多少？

［解析］：至少有一名女生當選的情況有： ＋ ＝

30，總的選法有 ＝42，所以概率為 。

3．深入分析、合理設(shè)計

對于有附加條件的排列組合題，要周密分析，設(shè)計出合理的方案，把復雜問題分解成若干簡單的基本問題后，用兩個原理去解決，做到不重復不遺漏。

例12，4男3女坐成一排，各有多少種不同的方法？

方法：①某二人只能在兩端；②某人不在中間和兩端；③甲、乙兩人必須相鄰；④甲、乙兩人不相鄰；⑤甲、乙兩人必須相隔1人；⑥甲在乙的左邊；⑦4男不等高，按高矮順序排列。

［解析］：①甲、乙在兩端有 種，另外5人在中間5個位置有 種，故共有 #8226; 種。②甲不在中間和兩端三個位置，可排在另外4個位置上，共有 #8226; 種。③甲、乙相鄰，可視為一個元素，有 #8226; 種。④用插空法，先排另外5人，后將甲、乙插在中間，有 #8226; 種。⑤甲、乙兩人必須相隔1人，即甲、乙兩人分別在另外5人中任意一個人的兩側(cè)，有 #8226; #8226; 種。⑥甲在乙左邊，甲在乙右邊的機會均等，在全排列中各占一半，所以有 種。⑦先選定4男的位置，有

種，3女可任意排，4男的順序可由小到大，也可由大到小兩種順序，故有 #8226; #8226; 種。

4．一題多解、學會驗正

例13，6個人站成一排照相，其中甲不站在排頭也不站在排尾，共有多少種不同的排法？

［解析］：方法1：從元素入手，先排甲，后排余下的5人共有 #8226; ＝480（種）。

方法2：從位置入手，先從除甲外的5人中任選2人排在兩端，再將包括甲內(nèi)的4人排在中間4個位置上，有 #8226; ＝480（種）。

方法3：先讓5人作全排列，后讓甲插入5人中間的4個空位上，有 #8226; ＝480（種）。

方法4：6個人的全排列有 ，甲站排頭或排尾的情況相同都為 ，共有 －2 ＝480（種）。

5．復雜問題、建立模型

例14，三人傳球，由甲開始發(fā)球，并作為第1次傳球，經(jīng)過5次傳球后，球仍回到甲手中，則不同的傳球方式共有多少種？

［解析］：構(gòu)造模型：甲→□→□→□→□→甲，將問題轉(zhuǎn)化為填空。由于第一空和第四空不能是甲，分三類討論即可得到不同的傳球方式有10種。（①甲填在第二空有4種，② 甲填在第三空有4種，③四個空上直接填其他兩人，有2種情況，則總共有10種。）

例15，不定方程x1＋x2＋…+x10＝100的正整數(shù)解有多少組？

［解析］：構(gòu)造組合模型：考慮并排放著的100個1，111…11，在每相鄰兩個1之間都有1個空隙，共有99個空隙。任選9個空隙放入隔板，共有 種放法。在每一種放法中，這100個1被隔成10段，每段中“1”的個數(shù)從左至右順次記為x1，x2，……，x10，顯然，這就是不定方程的一組正整數(shù)解，故不定方程的正整數(shù)解有 組。

例16，從一樓到二樓的樓梯共17級，上樓時可以1步走一級，也可以1步走二級。若要求11步走完這樓梯，則有多少種不同走法？

［解析］：顯然，要11步走完這樓梯，必須有6步每步走二級，5步每步走一級。若直接分類考慮，難度很大，為此我們將問題進行轉(zhuǎn)化。為了便于敘述，將每步走二級用1個2表示，每步走一級用1個1表示，那么問題轉(zhuǎn)化為由6個2和5個1能組成多少個不同的十一位數(shù)？（將5個1分成不同的組，如11111；1111，1；111，11；11，11，1；……，插入到6個2形成的7個空檔上，共有462種。）

由以上可見，排列、組合的問題復雜而有趣，教學中滲透了多種思維方法和技巧，復習中應加強對兩個原理的理解和運用，兩個原理要貫穿始終，從基礎(chǔ)入手，讓學生在解題中去總結(jié)方法和掌握技巧，提高邏輯推理能力，激發(fā)學習興趣，達到事半功倍的效果。`