唯一性定理與靜電屏蔽的教學(xué)思考

【摘 要】利用唯一性定理系統(tǒng)證明了導(dǎo)體空腔內(nèi)外的電場(chǎng)的定性關(guān)系，證明了當(dāng)且僅當(dāng)空腔不接地但腔內(nèi)又與外界有電荷交換時(shí)腔內(nèi)電場(chǎng)的變化會(huì)影響腔外電場(chǎng)，其它情況腔內(nèi)和腔外的電場(chǎng)互不影響。

【關(guān)鍵詞】大學(xué)物理 唯一性定理 靜電屏蔽

【中圖分類(lèi)號(hào)】G642.421【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A【文章編號(hào)】1006－9682（2009）05－0071－01

大學(xué)物理中處理的是均勻無(wú)限遠(yuǎn)邊界或面對(duì)稱(chēng)、球?qū)ΨQ(chēng)、軸對(duì)稱(chēng)的理想情況，而實(shí)際的電磁場(chǎng)要復(fù)雜得多，處理的多是有限區(qū)域、邊界形狀也不規(guī)則的邊值問(wèn)題。處理這類(lèi)問(wèn)題時(shí)，利用唯一性定理有時(shí)是非常方便的。在大學(xué)物理的電磁學(xué)部分利用唯一性定理可以較全面的分析靜電屏蔽，對(duì)理解唯一性定理和后續(xù)的電動(dòng)力學(xué)或者電磁場(chǎng)理論課程的學(xué)習(xí)也是很有意義的。

一、唯一性定理

設(shè)區(qū)域V的邊界S為導(dǎo)體，V內(nèi)電荷分布 及介質(zhì)分布確定，V的邊界S滿足下列條件之一時(shí)，則V內(nèi)電場(chǎng)唯一確定：第一類(lèi)邊界條件是導(dǎo)體的電勢(shì) 已知；第二類(lèi)是各導(dǎo)體表面上的電量Q已知。［1］

二、導(dǎo)體空腔內(nèi)的電場(chǎng)

由于靜電感應(yīng)，靜電平衡時(shí)導(dǎo)體空腔內(nèi)表面上的電量由腔內(nèi)電荷決定，總代數(shù)和為零。當(dāng)腔內(nèi)電荷分布 給定時(shí)，腔內(nèi)表面電量Q確定，腔內(nèi)區(qū)域的邊界條件由腔內(nèi)電荷總量確定的第二類(lèi)邊界條件，與腔外電場(chǎng)無(wú)關(guān)。由唯一性定理，腔內(nèi)電場(chǎng)由腔內(nèi)電荷分布唯一確定，與腔外電場(chǎng)無(wú)關(guān)，與導(dǎo)體是否接地?zé)o關(guān)，導(dǎo)體空腔對(duì)腔外的電場(chǎng)是完全屏蔽的。［2］

三、導(dǎo)體空腔外的電場(chǎng)

若導(dǎo)體空腔接地，空腔的電勢(shì)始終為零，腔內(nèi)、腔外區(qū)域均屬于第一類(lèi)邊界條件。由唯一性定理，腔外電場(chǎng)由腔外電荷及介質(zhì)分布決定，不受腔內(nèi)影響。［2］

當(dāng)導(dǎo)體空腔與外界絕緣時(shí)，腔內(nèi)電荷電量守恒，總量不變。腔內(nèi)電荷如果只是空間分布改變，導(dǎo)體空腔內(nèi)的電場(chǎng)改變，對(duì)外表面總電量無(wú)影響，腔外區(qū)域?qū)儆诓蛔兊牡诙?lèi)邊界條件。由唯一性定理，此時(shí)腔外電場(chǎng)不受腔內(nèi)電場(chǎng)變化的影響，所以絕緣導(dǎo)體空腔對(duì)腔內(nèi)腔外的電場(chǎng)也是相互屏蔽的（見(jiàn)圖1）。

當(dāng)且僅當(dāng)導(dǎo)體空腔既不接地又不與外界絕緣（例如，有絕緣包皮的導(dǎo)線穿過(guò)空腔與外界相連），且導(dǎo)體空腔內(nèi)的電荷總電量變化，此時(shí)外表面的感應(yīng)電荷總電量會(huì)作相同的改變，腔外區(qū)域的第二類(lèi)邊界條件改變，腔外電場(chǎng)也改變（見(jiàn)圖2）。

四、結(jié) 語(yǔ)

對(duì)于導(dǎo)體空腔來(lái)說(shuō)，當(dāng)且僅當(dāng)導(dǎo)體空腔不接地、腔內(nèi)與外界不絕緣并引起導(dǎo)體空腔內(nèi)的電荷總電量變化時(shí)，腔外電場(chǎng)會(huì)受到腔內(nèi)電場(chǎng)變化的影響，其它情況下導(dǎo)體空腔對(duì)腔內(nèi)腔外靜電場(chǎng)是互相屏蔽的。

唯一性定理在電動(dòng)力學(xué)和電磁場(chǎng)理論課程中是個(gè)重點(diǎn)，也是難點(diǎn)。用唯一性定理分析導(dǎo)體的靜電屏蔽，可以作為了解性?xún)?nèi)容在大學(xué)物理電磁學(xué)的教學(xué)中介紹，有助于學(xué)生較全面的理解靜電屏蔽，并且為電動(dòng)力學(xué)或者電磁場(chǎng)理論課程的學(xué)習(xí)做準(zhǔn)備。

參考文獻(xiàn)

1 郭碩鴻. 電動(dòng)力學(xué)（第二版）［M］. 北京：高等教育出版社，1997：59～61

2 賈起民、鄭永令、陳暨耀. 電磁學(xué)（第二版）［M］. 北京：高等教育出版社，2001：78～79