數(shù)學(xué)教學(xué)要讓學(xué)生學(xué)會“探索”

張　超

倡導(dǎo)積極主動、勇于探索的學(xué)習(xí)方式是新課程標(biāo)準(zhǔn)的基本理念之一，《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實驗)》指出：“數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不僅僅是記憶一些重要的數(shù)學(xué)結(jié)論，更要發(fā)展數(shù)學(xué)思維能力和積極的情感態(tài)度，這就需要學(xué)習(xí)者有積極主動、勇于探索的精神，需要有自主探索的過程.”

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要善于引導(dǎo)學(xué)生主動探索，積極開展思維活動，在大量的探索中提高獨立思維的能力.本文試圖從觀察、試算、歸納、聯(lián)想、類比等探索過程的基本思維活動，談?wù)勔龑?dǎo)學(xué)生進行“探索”的做法和體會.

1.觀察

觀察是思想的起點，數(shù)學(xué)觀察則是人們對數(shù)學(xué)問題在客觀情景下考察其數(shù)量關(guān)系及其圖形性質(zhì)的方法.解決數(shù)學(xué)問題首先要從觀察開始，通過觀察已得到的信息，聯(lián)系已有知識，經(jīng)過思維分析，求出未知信息.因此在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生掌握數(shù)學(xué)觀察的方法，培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)觀察品質(zhì)，進而形成敏銳的觀察能力.

1.1 觀察隱含條件，培養(yǎng)觀察的嚴(yán)密性

“隱含條件”是指題中若明若暗、含而不露的已知條件，往往不易被發(fā)現(xiàn)，如：函數(shù)的定義域；一元二次方程的二次項系數(shù)a=0情形；應(yīng)用均值不等式求最值的“一正、二定、三相等 ”的相等條件；等差數(shù)列公差為0、等比數(shù)列公比為1的情形等.教學(xué)中應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生觀察時全面、細致、充分挖掘，使解題圓滿而無“雜、漏”.

1.2 觀察內(nèi)在規(guī)律，培養(yǎng)觀察的敏銳性

有時條件中蘊含了非常巧妙的內(nèi)在規(guī)律，這些規(guī)律往往反映了問題的本質(zhì)，令人拍案叫絕，而這些規(guī)律的發(fā)現(xiàn)，需要我們用敏銳的目光去觀察，去挖掘.

例1 設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x≥0時，f(x)=x²，若對任意x∈［t,t+2］，不等式f(x+t)≥2f(x)恒成立，則實數(shù)t的取值范圍是 .

解析：因f(x)是分段函數(shù)，一般用分類討論的方法求解，但過程繁冗.深入觀察發(fā)現(xiàn)：2f(x)=f(2x)，化為f(x+t)≥f(2x),利用f(x)在R上單調(diào)遞增即可獲解.

1.3 觀察數(shù)式，聯(lián)想圖形，樹立學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想意識，培養(yǎng)觀察的全面性

數(shù)和形是數(shù)學(xué)知識體系中兩大基礎(chǔ)概念，把刻劃數(shù)量關(guān)系的數(shù)和具體直觀的圖形有機結(jié)合，將抽象思維與形象思維有機結(jié)合，根據(jù)研討問題需要，把數(shù)量關(guān)系的比較轉(zhuǎn)化為圖形性質(zhì)或其位置關(guān)系的討論，或把圖形間的待定關(guān)系轉(zhuǎn)化為相關(guān)元素的數(shù)量計算，由數(shù)想形，以形助數(shù)，引導(dǎo)學(xué)生樹立數(shù)形結(jié)合的意識，進而培養(yǎng)觀察的全面性.

1.4 觀察參變量關(guān)系，培養(yǎng)觀察的獨特性

許多數(shù)學(xué)問題，都含有常量、參量和變量(統(tǒng)稱為元素)，這些元素中，必有某個元素在問題中處于突出的、主導(dǎo)的地位，這樣的元素叫主元.但在處理含有參數(shù)與主變量的有關(guān)問題時，我們往往突破思維定勢，選取參變量為主元，而視原來的“主元”為參量，反客為主，化難為易，化繁為簡.

例2 設(shè)方程x²+ax+b-2=0(a,b∈R)在(-∞，-2］∪［2，+∞)上有實根，求a2+b2的取值范圍.

解析：本題若直接由條件出發(fā)，利用實根分布條件求出a,b滿足的條件，即在aOb坐標(biāo)平面內(nèi)表示的區(qū)域，再視a2+b2為區(qū)域內(nèi)點與原點距離的平方，以此數(shù)形結(jié)合方法，亦可獲解，但過程很繁瑣.考慮到變量a,b是我們要面對的主變量，故我們反客為主，視方程x²+ax+b-2=0(a,b∈R)為aOb坐標(biāo)平面上的一條直線l:xa+b+x²-2=0,P(a,b)為直線上的點，則a2+b2即為|PO|2，設(shè)d為點O到直線l的距離，由幾何條件知：|PO|2≥d2=|x²-2|x²+12=(x²+1-3)2x²+1=(x²+1)+9x²+1-6,∵x∈(-∞,-2］∪［2,+∞)，令t=x²+1,∴t∈［5,+∞),且函數(shù)t+9t在［5,+∞)上遞增，∴|PO|2≥(x²+1)+9x²+1-6=t+9t-6≥45,等號成立的條件是|PO|=d,

x²+1=5,即x=±2.故當(dāng)x=2,a=-45,b=-25或x=-2,a=45,b=-25時，(a2+b2)玬in=45.

在一個含有多個變量的問題中，“主”和“客”是相對而言的，“客隨主便”理所當(dāng)然，但“喧賓奪主”也未嘗不可.

1.5 觀察結(jié)構(gòu)特征，培養(yǎng)觀察的深刻性

例3 已知x,y,z∈R且x+y+z=π，x²+y2+z2=π22.求證：0≤x,y,z≤23π.

解析：本題含3個變量，超出了學(xué)生的“承受極限”，但觀察后發(fā)現(xiàn)，條件可化為：x+y=π-z和x²+y2=π22-z2，分別表示直線和圓，而點(x,y)是他們的公共點，利用直線與圓的位置關(guān)系立得所證結(jié)論.

將“三元”化為“二元”是結(jié)構(gòu)特征的改變，而觀察“二元”式的結(jié)構(gòu)特征，用數(shù)形結(jié)合思想求解則體現(xiàn)了觀察的深刻性.

2.試算

有時人們?yōu)榻鉀Q一個問題不是一下子就找到了辦法，而是要經(jīng)過一些嘗試的步驟，對每一種嘗試都要伴隨著一些試算.

2.1 通過試算尋找條件與結(jié)論之間的數(shù)量關(guān)系

某些問題中，條件與結(jié)論之間的數(shù)量關(guān)系“深藏不露”，僅靠觀察還不能“識破廬山真面目”，只有通過計算才能“一語道破天機”.

例4(2002年高考題)已知函數(shù)f(x)=x²1+x²，則f(1)+f(2)+f(12)+f(3)+f(13)+f(4)+f(14)= .

解析：通過試算，發(fā)現(xiàn)隱含在條件和結(jié)論之間的數(shù)量關(guān)系：f(x)+f(1x)=1,從而使問題簡捷獲解.

2.2 通過試算尋求解決問題的方法

例5 已知a≥1，n≥3，證明或否定：an-2+an-1≥12n-1［(1+a)n-an+1］.

解析：這其實是一個未知命題，結(jié)果難以判斷.可先用特殊試算：當(dāng)n=3時，不等式變成a2+a≥14［(1+a)3-a3+1］，整理得a2+a-2≥0，即(a-1)(a+2)≥0,由a≥1知，上式顯然成立；再令n=4，不等式變成：a3+a2≥18［(1+a)4-a4+1］，整理得2a3+a2-2a-1≥0，即(a2-1)(2a+1)≥0,同樣由a≥1知，上式也成立；再令n=5,不等式變成a4+a3≥116［(1+a)5-a5+1］，整理得11a4+6a3-10a2-5a-2≥0，因式分解不易，把負的移到右邊去呢?11a4+6a3≥10a2+5a+2終于有了發(fā)現(xiàn)，左右兩邊的系數(shù)和是相等的，是17.如果把左邊縮小為17a3，而右邊正好可以擴大為17a3，豈不妙哉!

回頭看看n=3和n=4，同樣如此!

證明：原不等式赼n-2+an-1≥12n-1(2+C1na+C2na2+…+Cn-1猲an-1)(1-Cn-1猲2n-1)?an-1+(1-Cn-2猲2n-1)an-2≥12n-1(Cn-3猲an-3+Cn-4猲an-4+…+C1na+2),∵a≥1,n≥3,∴1-Cn-1猲2n-1>0,1-Cn-2猲2n-1>0,左邊≥(1-Cn-1猲2n-1)?an-2+(1-Cn-2猲2n-1)an-2=S,右邊≤12n-1?(Cn-3猲an-2+Cn-4猲an-2+…+C1nan-2+2an-2)=T,S-T=an-2［(1-Cn-1猲2n-1)+(1-Cn-2猲2n-1)-12n-1(Cn-3猲+Cn-4猲+…+C1n+2)］=an-2［2-12n-1(1+Cn-1猲+…+C1n+1)］=0.

故左邊≥右邊，于是不等式得證.

通過試算特殊值，尋求問題的一般解法，體現(xiàn)了從特殊到一般的過程；通過試算，可以激發(fā)學(xué)生興趣，開闊眼界，更重要的是能培養(yǎng)學(xué)生不墨守成規(guī)，敢于嘗試，大膽發(fā)現(xiàn)的進取精神.

2.3 通過試算找出反例否定一些錯誤論斷

費馬猜想是數(shù)學(xué)史上著名的案例：1640年，費馬驗證當(dāng)n=1,2,3,4時22n+1均為素數(shù)，于是得出了22n+1為素數(shù)的猜想，但一個世紀(jì)后，歐拉指出225+1=4294967297=6700417×641，從而推翻了費馬的猜想.

3.歸納

歸納是觀察某一類事物在某一性質(zhì)上有明顯相似之處，若能構(gòu)成一種判斷，則說我們對這類事物經(jīng)過歸納發(fā)現(xiàn)某種性質(zhì).歸納法有完全歸納法和不完全歸納法之分.后者雖說是不嚴(yán)格的，但常常是發(fā)現(xiàn)真理的橋梁.

如中學(xué)課本中有8個同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式：①玸inα?玞scα=1,②玞osα?玸ecα=1;③玹anα?玞otα=1;④玹anα=玸inα玞osα;⑤玞otα=玞osα玸inα;⑥玞os2α+玸in2α=1;⑦1+玹an2α=玸ec2α;⑧1+玞ot2α=玞sc2α，在此后可編造成千上萬的同角三角函數(shù)的恒等式.比如課本中就有幾個證恒等式的問題：玞ot2α(玹an2α-玸in2α)=玸in2α;(1-玸in2α)(玸ec2α-1)=玸in2α(玞sc2α-玞ot2α);玹an2θ-玸in2θ=玹an2θ玸in2θ;玞osα1-玸inα=1+玸inα玞osα.

我們作一個對換：在上述任一恒等式中將玹an換成玞ot,玞ot換成玹an,玸in換成玞os,玞os換成玸in,玸ec換成玞sc,玞sc換成玸ec，經(jīng)過這樣變換后所得式子仍是恒等式：玹an2α(玞ot2α-玞os2α)=玞os2α;(1-玞os2α)(玞sc2α-1)=玞os2α(玸ec2α-玹an2α);玞ot2θ-玞os2θ=玞ot2θ玞os2θ;玸inα1-玞osα=1+玞osα玸inα.

至此是否可以歸納出一個命題呢?注意到在誘導(dǎo)公式中這樣的變換并不能得恒等式，例如玸in(-α)=-玸inα但玞os(-α)≠-玞osα，但我們可謹(jǐn)慎地歸納出下面 的定理：

“凡是由8個三角函數(shù)基本關(guān)系式所導(dǎo)出的恒等式中，同時將玸in與玞os互換，玸ec與玞sc互換，玹an與玞ot互換，所得式子仍是一個恒等式.”其證明也很簡單，將上述互換施行到基本恒等式中恰有：①茛冢②茛伲③茛郟④茛藎⑤茛埽⑥茛蓿⑦茛啵⑧茛.故定理對基本恒等式是成立的，對由此導(dǎo)出的任一恒等式也應(yīng)成立.

4.聯(lián)想

波利亞說過，在陌生中尋找熟悉，這個尋找的過程其實就是聯(lián)想的過程.所謂聯(lián)想，是由當(dāng)前感知或思考的事物想起有關(guān)的另一事物，或由此再想起其他事物的心理活動.聯(lián)想是一種自覺的或有目的想象，它在我們數(shù)學(xué)活動中無處不在，運用聯(lián)想我們可以進行數(shù)形轉(zhuǎn)換，將代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為幾何問題，或者將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題；運用聯(lián)想，對數(shù)式結(jié)構(gòu)進行想象，聯(lián)系有關(guān)的概念，公式、定理等，可以化未知為已知.

4.1 接近聯(lián)想——把握問題探究的“分水嶺”

數(shù)學(xué)問題的探究有時需要一個環(huán)節(jié)一個環(huán)節(jié)地進行，進行到某一個環(huán)節(jié)時，會出現(xiàn)不同的探究方向，即所謂的問題探究的“分水嶺”，把握好這個“分水嶺”，能使問題的探究少走彎路，減少不必要的干擾.把握好這個“分水嶺”，接近聯(lián)想是我們選用的方法之一.接近聯(lián)想主要是由概念、原理、法則、策略的接近而產(chǎn)生的聯(lián)想，一般教材在學(xué)習(xí)定理、法則和公式之后的鞏固和練習(xí)題中，大都借助了這種聯(lián)想.靈活地運用接近聯(lián)想，可提高解題技巧和創(chuàng)新能力.

例6(2003江蘇) 已知長方形四個頂點A(0，0)，B(2，0)，C(2，1)和D(0，1).一頂點從AB的中點P0沿與AB夾角為θ的方向射到BC上的點P1后，依次反射到CD、DA和AB上的點P2、P3和P4(入射角等于反射角).設(shè)P4的坐標(biāo)為(x4,0).若1

A.(13，1) B.(13，23)

C.(25，12) D.(25，23)

解析：本題的難點在于如何找出由θ的變化而引起的入射點位置的變化，這兩者之間的關(guān)系若通過列出x4與θ的關(guān)系式，經(jīng)過運算去解決，不但時間花費多，而且又不易得到正確的解答.

畫出圖形，取BC中點E，CD中點F，AD中點G，通過接近聯(lián)想，聯(lián)想物理學(xué)中的光學(xué)原理，若從P0發(fā)出的光線射到E，由入射角等于反射角，容易得到光線的路線為：P0→E→F→G→P0；若從P0發(fā)出的光線射到BE之間，按題意可畫出線路圖，得x4在以(1，2)之間，若從P0發(fā)出的光線射到EC之間，用同樣的思考方式，得x4在(0，1)之間.經(jīng)計算得玹anθ<12，結(jié)合選項選C.

4.2 關(guān)系聯(lián)想——弄清所探究問題的“本質(zhì)”

在探索數(shù)學(xué)問題的過程中，我們往往通過抓住問題的有關(guān)部分的特征，以及它們之間的某種聯(lián)系，根據(jù)知識之間的從屬關(guān)系、一般關(guān)系、因果關(guān)系進行的一種聯(lián)想，這種聯(lián)想稱之為關(guān)系聯(lián)想.通過關(guān)系聯(lián)想，弄清問題的本質(zhì)，使問題明朗化.例如，從一個抽象問題通過關(guān)系聯(lián)想轉(zhuǎn)化為一個具體問題；從一個有數(shù)量關(guān)系問題通過關(guān)系聯(lián)想轉(zhuǎn)化為一個幾何圖形問題，由一個特殊性問題通過關(guān)系聯(lián)想轉(zhuǎn)化為一個一般問題等等.

4.3 逆向聯(lián)想——尋求問題探究的“蹊徑”

我們在解決有關(guān)問題時，時常會出現(xiàn)正面解決有困難，聯(lián)想到從它反面去思考，從而使問題 妥善解決.這就是我們常說的反證法、同一法等間接策略，它們所表現(xiàn)出來的思維方式就叫 做逆向聯(lián)想.利用逆向聯(lián)想探究問題，其表現(xiàn)方式不僅僅局限于此，例如，不等式證明中的分析法、立體幾何中“割與補”、“展與折”等所表現(xiàn)出來的思維方式都是逆向聯(lián)想.

4.4 橫向聯(lián)想——尋找問題探究的“法寶”

橫向聯(lián)想，是指數(shù)學(xué)各分支之間，數(shù)學(xué)與物理、化學(xué)、生物、地理等學(xué)科之間的聯(lián)想.由于各種知識之間有著一定的關(guān)聯(lián)和相互滲透，這為橫向聯(lián)想提供了可行的條件，利用橫向聯(lián)想，使所探究的問題“舉一反三”、“由此及彼”、“觸類旁通”.

5.類比

將不同類事物進行比較，找出不同類事物之間的某種類似之處，從而由一類事物所具有的某種規(guī)律導(dǎo)致發(fā)現(xiàn)另一類事物也具有類似的規(guī)律，這種思維活動叫類比.

5.1 概念上的類比

有些數(shù)學(xué)概念可以通過類比舊概念來得到，這樣獲取新知識自然，能有效培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)能力.這樣的問題在高考中屢見不鮮，如：2004年北京高考卷關(guān)于“等和數(shù)列”的定義及2008年 全國高考湖南卷關(guān)于“組合數(shù)”的“新”定義：設(shè)［x］表示不超過x的最大整數(shù)，對于給定的n∈N*，定義：Cxn=n(n-1)…(n-［x］+1)x(x-1)…(x-［x］+1),x∈［1,+∞)，則當(dāng)x∈［32,3)時，函數(shù)Cxn的值域是 .

這些“新”定義令人耳目一新，但在方法上卻是“老曲新唱”，只要與相應(yīng)的“舊”定義進行類比，稍作調(diào)整便可得解.

5.2 解題方法上的類比

數(shù)學(xué)中很多問題在解決方法上非常相似，只要進行恰當(dāng)?shù)念惐?，探究其本質(zhì)，便可化歸為同 一類問題.如Fibonacci數(shù)列的遞推數(shù)列為：a1=1,a2=1，an+2=an+1+an，以下均可類比轉(zhuǎn)化為Fibonacci數(shù)列問題：

(1)走臺階問題：某處有n級臺階，某人從下往上走，若每次只能跨一級或兩級，問他從地面走到第n級有多少種方法?

(2)覆蓋問題：用n張1×2的長方形骨牌完全覆蓋2×n的棋盤，有多少種方法?

(3)粘郵票問題：用一元和二元的兩種郵票粘貼成一排，求粘滿n元的不同方法數(shù)?

(4)排數(shù)字問題：用數(shù)字1和2排成n位數(shù)，且要求數(shù)字1，1不相鄰，則有多少種不同的排法?

不同的問題可以用同一類方法解決，屬于多題歸一問題，再拓展遷移，就可以類似研究一題多解、一題多變的問題.如果能將所學(xué)的具有典型性的問題或題目多方變化與發(fā)散，必能大大提高學(xué)習(xí)效率，優(yōu)化知識結(jié)構(gòu).

5.3 結(jié)構(gòu)上的類比

利用待解決問題中的式子與學(xué)過的數(shù)學(xué)公式結(jié)構(gòu)上的相似聯(lián)想到解題思路.

例7 設(shè)a,b,c為非零實數(shù)，且a+b+c=abc.求證：(1-a2)(1-b2)ab+(1-b2)(1-c2)bc+(1-c2)(1-a2)ca=4.

解析：本題用代數(shù)法證明繁冗.觀察條件式聯(lián)想到用三角中的結(jié)論：玹anα+玹anβ+玹anγ=玹anα玹anβ玹anγ代換a+b+c=abc，其中a=玹anα,b=玹anβ,c=玹anγ,α+β+γ=π再觀察求證式左邊三項，它們與玹an2α=2a1-a2,玹an2β=2b1-b2,玹an2γ=2c1-c2密切相關(guān)，因此求證式左邊可化為玹an2α,玹an2β,玹an2γ的表達式，若

又能聯(lián)想到用公式：玹an2α+玹an2β+玹an2γ=玹an2α玹an2β玹an2γ化簡表達式，則本題簡潔得證.

5.4 結(jié)論上的類比

數(shù)學(xué)上很多結(jié)論，通過探索與研究，可以延伸與推廣，有利于將一類問題整體把握.對一些命題類比遷移，通?？梢詫l件或結(jié)論進行相似變換，留同增異，如由低級推向高級，由靜態(tài)推向動態(tài).這種對知識和方法的延伸與推廣，有利于思維的變異和發(fā)散，通過類比、猜想、探索和發(fā)現(xiàn)將知識和方法進行遷移，易于思維品質(zhì)的提高和知識結(jié)構(gòu)的優(yōu)化.

我們在教學(xué)實踐中體會到，不失時機地引導(dǎo)學(xué)生自主探索，通過親身實踐發(fā)現(xiàn)問題、尋找客觀規(guī)律，然后采取適應(yīng)事物規(guī)律的方法因勢利導(dǎo)去解決問題，有助于學(xué)生養(yǎng)成獨立思維的習(xí)慣，培養(yǎng)創(chuàng)造性地解決問題的能力，體驗“山重水復(fù)疑無路”的迷茫，享受“柳暗花明又一村”的喜悅.