解三角函數(shù)題的基本策略

屈蘭乾

三角函數(shù)題通常為求值、化簡、證明及求函數(shù)性質(zhì)（值域、最值、周期、單調(diào)區(qū)間）等.以上幾類題只要注意解題基本策略，靈活應(yīng)用三角變形（變角、變名、變式）即可順利求解.

一、三角函數(shù)式的求值、化簡的解題思路

1．從“角”入手化角：化不同角為同角，化復(fù)角為單角；變角溝通條件與等論所涉及的角，常用“配湊”.如α=（α+β）-β= + 等.

2．從“名”入手，化不同名函數(shù)為同名函數(shù)，常用“切弦互化”的方法.

3．從“式”入手，抓結(jié)構(gòu)特征，采用升、降冪公式，配方添拆配湊等構(gòu)造方法.

例1求sin２２０°+cos２５０°+sin20°cos50°.

解法1：（從“冪”入手，利用降冪公式）

原式= + +sin20°cos（20°+30°）

=1+ （cos100°-cos40°）+sin20° cos20°- sin20°

=1+ ［cos（70°+30°）-cos（70°-30°）］+ sin40°- sin２20°

=1-sin70°sin30°+ sin４０°- ?

=1- sin70°- +sin20°+ cos40°

= - sin70°+ sin（40°+30°）= .

解法2：（從“形”入手，采用完全平方法）

原式=（sin20°+ cos50°）２+ cos２５０°=[sin（50°-30°）+ cos50°] ２+ cos２５０°=（sin50°cos30°） + cos２５０°= sin２５０°+ ｃｏｓ２50°＝ ．

解法3：（從“角”入手，化異角為同角）

原式 = sin２（50°-30°）+cos２５０°+sin（50°-30°）cos50°

= sin50°- cos50°２+cos２５０°+（sin50°cos50°-cos50°sin30°cos50°）

= sin50°- sin50°cos50°+ cos２５０°+cos２５０°+ sin50°cos50°- cos２５０°= sin２５０°+ +1- cos２５０°=sin２５０°+ cos２５０°= .

二、三角恒等式的證明

主要有絕對(duì)恒等式與條件恒等式.證明絕對(duì)恒等式要根據(jù)等式兩邊的特性，采用化繁為簡，左右歸一、變更命題等方法，通過三角恒等變換，使等式的兩邊化異為同；條件恒等式的證明，則要認(rèn)真觀察比較已知條件與求證等式之間的聯(lián)系，選擇適當(dāng)途徑，常用方法有代入法、消去法、綜合法、分析法、兩頭湊等.

例2已知3sinβ=sin（2α+β），求證：tan（α+β）=2tanα.

證明：（從“角”入手，把條件角轉(zhuǎn)化為結(jié)論角）.

β=（α+β）-α，2α+β=（α+β）+α．

∵３sinβ=sin（2α+β）， ∴ 3sin[（α+β）-α]=sin[（α+β）+α]．

∴3sin（α+β）cosα-3cos（α+β）sinα=sin（α+β）cosα+cos（α+β）sinα．

∴sin（α+β）cosα=2cos（α+β）sinα， ∴ tan（α+β）=2tanα.

三、研究三角函數(shù)的值域、周期、單調(diào)區(qū)間等性質(zhì)的基本方法

通過降次、和并變成一個(gè)函數(shù)一個(gè)角的形式，再利用三角函數(shù)的性質(zhì)或借助于復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解.

例3已知函數(shù)y=sin２x+2sinxcosx+3cos２x，x∈R.（1）函數(shù)的最小正周期是什么？（2）函數(shù)在什么區(qū)間上是增函數(shù)？（3）函數(shù)圖象可由函數(shù)y= sin2x，x∈R的圖象經(jīng)過怎樣的變換得出？

解：化為同角同一個(gè)函數(shù)．

y=sin２x+cos２x+2sinxcosx+2cos２x=sin2x+1+cos2x+1=sin2x+cos2x+2= sin（2x+ ）+2.

（1）T= =π.

（2）增區(qū)間為：因y=sinx在[- +2kπ， +2kπ]為增，所以

- +2kπ≤2x+ ≤ +2kπ；- +2kπ≤2x≤ +2kπ；

- +kπ≤x≤ +2kπ，即[- +kπ， +kπ]．

（3）把y= sin2x的圖象沿ｘ軸向左平移 個(gè)單位后，再向上沿y平移2個(gè)單位，得到y(tǒng)= sin（2x+ ）+2的圖象.

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文?！?/p>