“有理數(shù)”概念和方法歸納

陳開金

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)需要?dú)w納和總結(jié)，這樣才能鞏固和深化知識.下面請陳老師幫我們歸納“有理數(shù)”這部分知識.

“有理數(shù)”這一章主要內(nèi)容是有理數(shù)的有關(guān)概念及其運(yùn)算.全章從實(shí)例出發(fā)引入負(fù)數(shù)和有理數(shù)的有關(guān)概念，在此基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)本章的重點(diǎn)——有理數(shù)的運(yùn)算，是進(jìn)一步學(xué)習(xí)式、方程等數(shù)與代數(shù)知識的基礎(chǔ).

一、透徹理解本章的主要概念、法則

1．負(fù)數(shù)

在正數(shù)前面加上“-”號表示的數(shù)叫負(fù)數(shù)；或定義成比0小的數(shù)叫負(fù)數(shù).

注意：不能籠統(tǒng)地說帶有負(fù)號的數(shù)叫負(fù)數(shù).例如，當(dāng)a為0時，-a表示0；當(dāng)a本身是負(fù)數(shù)時，-a表示正數(shù).

2.數(shù)軸

規(guī)定了原點(diǎn)、正方向、單位長度的直線叫數(shù)軸.利用數(shù)軸可直觀地理解相反數(shù)、絕對值，以及有理數(shù)的加法法則與乘法法則.這是數(shù)學(xué)上常用的數(shù)形結(jié)合思想.

注意：任意一個有理數(shù)可以用數(shù)軸上的一個點(diǎn)表示，但數(shù)軸上的點(diǎn)卻未必都表示有理數(shù).

3.絕對值

在數(shù)軸上，一個數(shù)所對應(yīng)的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離叫做該數(shù)的絕對值.正數(shù)的絕對值是它本身，負(fù)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)，0的絕對值是0.

注意：①有理數(shù)由性質(zhì)符號和絕對值兩部分構(gòu)成.性質(zhì)符號和絕對值確定后，這個有理數(shù)也就完全確定.因此，我們在后面進(jìn)行有理數(shù)的加、減、乘、除和乘方運(yùn)算時，都是分為兩步：先確定符號，再確定絕對值.

②由于距離最小為0，所以絕對值不可能為負(fù)數(shù).

③正數(shù)的絕對值是它本身.但反過來，絕對值等于它本身的數(shù)卻未必是正數(shù)，還可能是0；同樣，如果一個數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)，這個數(shù)可能是負(fù)數(shù)，也可能是0.

4．相反數(shù)

只有符號不同的兩個數(shù)叫互為相反數(shù).一般地，a的相反數(shù)記為-a.特別地，0的相反數(shù)是0.引入相反數(shù)，使得加減這一對逆運(yùn)算的統(tǒng)一成為可能.

注意：①“只有符號不同”意味著絕對值相同；②若a與b互為相反數(shù)，則a+b=0；反過來也對.

5.倒數(shù)

乘積為1的兩個數(shù)互為倒數(shù)，0沒有倒數(shù).

注意：互為倒數(shù)的兩個數(shù)符號相同；寫一個整數(shù)n的倒數(shù)時，直接寫成1/n；寫一個分?jǐn)?shù)的倒數(shù)時，直接把它的分子分母調(diào)換位置；小數(shù)需要先化成分?jǐn)?shù)再寫它的倒數(shù).

6．有理數(shù)運(yùn)算

理解算理：在探究有理數(shù)法則時，要善于利用實(shí)際意義理解運(yùn)算的結(jié)果，還要善于利用數(shù)軸來理解相關(guān)運(yùn)算的結(jié)果.

理解法則：分兩類，一是直接運(yùn)算法則，二是轉(zhuǎn)化為逆運(yùn)算的法則.

有理數(shù)加法、乘法、除法運(yùn)算都可以直接計(jì)算，分兩步進(jìn)行，在確定符號的基礎(chǔ)上，進(jìn)行絕對值運(yùn)算.相關(guān)法則也分兩部分，一是符號法則，二是絕對值運(yùn)算法則.

有理數(shù)加法與減法互化要利用相反數(shù)，有理數(shù)乘法與除法互化要利用倒數(shù).

二、靈活運(yùn)用解題方法

（一）如何比較兩個有理數(shù)的大小

符號不同的數(shù)直接確定大小：正數(shù)大于0，0大于負(fù)數(shù)，正數(shù)大于負(fù)數(shù).符號相同的數(shù)用絕對值比較：兩個正數(shù)，絕對值大的數(shù)大；兩個負(fù)數(shù)，絕對值大的反而小.用數(shù)軸來比較：在數(shù)軸上，右邊的點(diǎn)表示的數(shù)比左邊的點(diǎn)表示的數(shù)大.用求差法來比較：若差為正數(shù)，則被減數(shù)比減數(shù)大；若差為0，則被減數(shù)等于減數(shù)；若差為負(fù)數(shù)，則被減數(shù)小于減數(shù).

（二）如何運(yùn)用運(yùn)算律簡化有理數(shù)運(yùn)算

1．有理數(shù)加減混合運(yùn)算的順序

把加減法統(tǒng)一成加法→把加法算式寫成省略括號和加號的代數(shù)和的形式→運(yùn)用交換律和結(jié)合律簡化運(yùn)算.

在最后一步中注意把正數(shù)、負(fù)數(shù)分別相加；把同分母的分?jǐn)?shù)相加；把互為相反數(shù)的兩個數(shù)相加；把相加得整數(shù)的數(shù)相加；把各數(shù)減去一個相同的基數(shù)再相加……可以有效簡化運(yùn)算.

2．有理數(shù)乘法運(yùn)算的順序

先確定積的符號，再把絕對值相乘：幾個不等于0的有理數(shù)相乘時，積的符號由負(fù)因數(shù)的個數(shù)決定.當(dāng)負(fù)因數(shù)有奇數(shù)個時，積為負(fù)；當(dāng)負(fù)因數(shù)有偶數(shù)個時，積為正.

在實(shí)際運(yùn)算時，利用交換律和結(jié)合律，把互為倒數(shù)的兩個數(shù)相乘；把可以約分的分?jǐn)?shù)先約分，再相乘；把乘積為整數(shù)的幾個因數(shù)相乘.以上方法都可以簡化乘法運(yùn)算.

3．有理數(shù)除法運(yùn)算法則的選用

當(dāng)被除數(shù)與除數(shù)能整除時，先確定符號，再把絕對值相除；當(dāng)被除數(shù)與除數(shù)不能整除時，先把除法轉(zhuǎn)化為乘法，然后利用有理數(shù)的乘法法則來計(jì)算.

4．有理數(shù)的乘方運(yùn)算的順序

把乘方運(yùn)算轉(zhuǎn)化為乘法運(yùn)算是常見思路，但未必是最簡單的思路.如果利用“正數(shù)的任何次冪是正數(shù)，負(fù)數(shù)的奇次冪是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的偶次冪是正數(shù)”先確定冪的符號，再求冪的絕對值，會使運(yùn)算簡單且不易出錯.

三、善于發(fā)現(xiàn)和歸納規(guī)律，解決新問題

問題已知a_n=（-1）ⁿ+1，當(dāng)n=1時，a₁=0；當(dāng)n=2時，a₂=2；當(dāng)n=3時，a₃=0；……則a₁+a₂+a₃+…+a₂8的值為 ．

依次計(jì)算不難發(fā)現(xiàn)，當(dāng)n依次取1，2，3，4，5，6，…時，對應(yīng)的a_n=（-1）n+1的值依次為0，2，0，2，0，2，…，可以發(fā)現(xiàn)0與2交替出現(xiàn)，故a₁+a₂+a₃+…+a₂8的值不用一一計(jì)算，就可以直接得出結(jié)果為28.解決這類問題，需要先算出前面部分的數(shù)，然后仔細(xì)尋找數(shù)與數(shù)之間規(guī)律，尋找規(guī)律是解決這類題的關(guān)鍵.