結(jié)交新朋友　融入數(shù)的大家庭

作者簡介：王繼延，理學(xué)碩士. 曾執(zhí)教高中十余年，并任中學(xué)校長. 現(xiàn)為華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系教授，國家數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)核心組成員，全國初中數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教科書（華東師大版）常務(wù)副主編，教育部基礎(chǔ)司項(xiàng)目“全國初中畢業(yè)、升學(xué)考試評價”數(shù)學(xué)學(xué)科負(fù)責(zé)人. 作為主編或主要人員參與編寫或翻譯多本數(shù)學(xué)教育專業(yè)著作與教材，如《全國初中數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教科書》《基礎(chǔ)教育新課程師資培訓(xùn)指導(dǎo)（初中數(shù)學(xué)）》《數(shù)學(xué)教與學(xué)研究手冊》《數(shù)學(xué)教學(xué)理論選講》《數(shù)學(xué)物理方程》《文科數(shù)學(xué)-數(shù)學(xué)思想和方法》與《高中數(shù)學(xué)選修讀本》等書，在《人民教育》《數(shù)學(xué)學(xué)報》《高等數(shù)學(xué)研究》《生態(tài)學(xué)報》《數(shù)學(xué)教學(xué)》等雜志上發(fā)表多篇文章.

讀者朋友，你學(xué)習(xí)有理數(shù)后有什么收獲和困惑？下面請王教授給你指點(diǎn)指點(diǎn)吧.

親愛的同學(xué)，你現(xiàn)在已經(jīng)進(jìn)入了奇妙的數(shù)學(xué)世界！推開第一道門，映入眼簾的是“有理數(shù)”三個大字，在那里你首先會遇到一位生活中經(jīng)常遇到和用到的新朋友——負(fù)數(shù).

你可能曾站在足球場邊，為你們班級歡呼叫好：“3∶1，贏了！”那時，你或許已注意到，從數(shù)量的含義看，進(jìn)3個球與失1個球中，“進(jìn)”與“失”的意義恰好相反.

你可能曾與你的爸爸媽媽一起，觀看電視播出的新聞與天氣預(yù)報.那時，你或許已注意到，有時某地某一天的氣溫變化范圍是零上10度到零下2度.從溫度計(jì)上看，“零上”與“零下”的方向恰好相反.

這樣的例子太多了！試試看，找出與下面一些量具有相反意義的量：

行走時的“向東”與“_____”，水位的“_________”與“下降”，經(jīng)濟(jì)上的“收入”與“_______”.

數(shù)學(xué)是最講究簡潔明了的，要表示這些具有相反意義的量，看來只用小學(xué)所學(xué)過的數(shù)是不夠了，那就要將數(shù)的大家庭擴(kuò)大，請來一位新成員——“負(fù)數(shù)”.這樣從數(shù)量上看，零上10度記為“＋10”的話，零下2度就可記為“－2”；進(jìn)3個球記為＋3，失1個球可記為－1；向東行走100米記為＋100，向西50米可記為－50.

我們將這位新朋友負(fù)數(shù)與你小學(xué)里學(xué)過的正整數(shù)、零和正分?jǐn)?shù)，合在一起，稱之為“有理數(shù)”.數(shù)的大家庭又增添了一位新成員，變得更為豐富了.你也有了一位新朋友，他一定會成為你的得力助手.

“有理數(shù)”有什么特征呢？

我們將溫度計(jì)橫過來，顯然零上10度的位置在零度點(diǎn)的右方10個單位處，而零下2度就應(yīng)該在零度點(diǎn)的左方2個單位處.由此我們可以畫一條規(guī)定了原點(diǎn)、正方向和單位長度的直線，也就是所謂的“數(shù)軸”，在數(shù)軸上表示那些有理數(shù)，如下圖.

引入了數(shù)軸，你一定可以解決如下有關(guān)有理數(shù)與數(shù)軸上點(diǎn)的關(guān)系的一些問題了：

表示－3的點(diǎn)，應(yīng)在原點(diǎn)的____邊______個單位處；表示7的點(diǎn)，應(yīng)在原點(diǎn)的______邊_____個單位處，并在數(shù)軸上加以表示；到原點(diǎn)的距離等于4的點(diǎn)有______個，它們表示的數(shù)是__________，并在數(shù)軸上加以表示.

相信你已經(jīng)注意到，有理數(shù)在數(shù)軸上所表示的點(diǎn)，是一個帶有方向與距離的點(diǎn).對應(yīng)到有理數(shù)本身，那就是符號（正負(fù)號）與絕對值.符號（正負(fù)號）對應(yīng)了方向，正的在原點(diǎn)的右方，負(fù)的在原點(diǎn)的左方.絕對值（大?。?yīng)了該點(diǎn)與原點(diǎn)的距離.現(xiàn)在你對這位新朋友一定更為了解了吧，有理數(shù)與你小學(xué)學(xué)習(xí)的數(shù)有所不同，他穿上了一件符號（正負(fù)號）的外衣，因而還存在一個相反數(shù)的概念.

掌握了有理數(shù)的特征，你就可以將有理數(shù)“從小到大”排隊(duì).從數(shù)軸上表示的有理數(shù)看，一個總的原則是：左邊的點(diǎn)對應(yīng)的有理數(shù)總小于右邊的.

相信你，一定可以找到運(yùn)用符號與絕對值比較有理數(shù)大小的具體方法.現(xiàn)在有7位小朋友手里分別舉著標(biāo)有如下有理數(shù)的牌子，你能將它們按從小到大的順序排成一隊(duì)嗎？

3.14，0，-17/3，2.7，－5.6，－0.05，0.24.

有理數(shù)與小學(xué)學(xué)習(xí)的數(shù)一樣，也有它們的四則運(yùn)算以及一定的運(yùn)算法則與規(guī)律.有些是類似的，有些是有一些區(qū)別的.對于加法，你可以從自己的行走，或者球隊(duì)的進(jìn)球與失球，歸納出運(yùn)算法則；對于減法，按通常的理解，減法是加法的逆運(yùn)算，從而可得到減法的運(yùn)算法則.

至于乘法運(yùn)算法則的導(dǎo)出，有各種推理歸納的方法.相信你一定會記住最關(guān)鍵的一條：一個有理數(shù)乘以＋1還是它自身，乘以－1就變成它的相反數(shù)；對于除法，與減法一樣，它是乘法的逆運(yùn)算，容易導(dǎo)出它的運(yùn)算法則.

我國古代的洛書中，有一幅三階幻方圖，如圖1.上面填著從1到9九個自然數(shù)，每行、每列及每條對角線上的三個數(shù)之和都等于15.太奇妙了，你看，我們的祖先是多么的聰明和偉大！

現(xiàn)在讓我們沿著祖先的腳步，改變一下，嘗試解決下面的問題：

將絕對值小于5的整數(shù)填入如圖2的三階方陣，使得每行、每列以及每條對角線上各數(shù)之和都等于零.

有理數(shù)的四則混合運(yùn)算，可能會給你帶來一些麻煩.但這對已經(jīng)理解掌握有理數(shù)的特征與運(yùn)算法則的你，應(yīng)該說都可以克服解決.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，就像一個人走路一樣，不可能不遇到障礙，跨過了一道坎，就是一個勝利，你的本領(lǐng)與能力，就是在跨過一道道坎的過程中，得到了提升，最終實(shí)現(xiàn)飛躍！

最后還要告訴你的是，現(xiàn)代信息技術(shù)的高度發(fā)展，給我們提供了一些有用的工具.除了你們學(xué)校所具備的電腦外，一個便于攜帶的計(jì)算器已經(jīng)成為學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的得力助手.有了計(jì)算器，你可以避開那些十分煩瑣的運(yùn)算，集中精力，更高效地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué).

你看，數(shù)學(xué)世界是那么有趣，豐富多彩.讓我們一起，結(jié)識更多的朋友，尋找更具魅力的奧秘吧.

請你思考下面這個問題：

有一位作家，他有一個稀奇古怪的毛病.他寫作品寫得越是接近結(jié)尾，就寫得越慢.他著手寫一部作品的時候，每天的寫作量同余下要寫的頁數(shù)成比例（每當(dāng)余下要寫的頁數(shù)不是整數(shù)時，總是用進(jìn)一法化為大于它且最接近它的那個整數(shù)）.例如，對于某一本書來說，他寫第一頁用了10天時間，但寫最后一頁卻要用50天時間.這本書有多少頁？他要用多少天才能寫完？