分解因式的作用、意義與方法

作者簡介：孔凡哲，課程與教學(xué)論（數(shù)學(xué)）博士．主要從事數(shù)學(xué)教育、課程與教學(xué)、教師教育等領(lǐng)域的研究．現(xiàn)任國家基礎(chǔ)教育實驗中心副主任，東北師范大學(xué)教育科學(xué)學(xué)院教育類公共課主任、課程與教學(xué)系教授、碩士生導(dǎo)師．受聘于教育部，參與全國高考數(shù)學(xué)命題工作、義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)研制工作、高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)研制工作，擔(dān)任義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書數(shù)學(xué)分冊主編．先后在《教育研究》、《課程·教材·教法》、《中國教育報》、《數(shù)學(xué)教育學(xué)報》、《數(shù)學(xué)通報》等公開發(fā)表學(xué)術(shù)論文近180余篇，正式出版《課程標(biāo)準(zhǔn)與教學(xué)大綱對比研究·初中數(shù)學(xué)》等專著30余部，承擔(dān)國家級、省級科研項目10余項．

分解因式有什么用？分解因式是什么意思？其基本方法有哪些？學(xué)好分解因式需要達(dá)到什么目標(biāo)？這些問題都是我們在學(xué)習(xí)這部分內(nèi)容時無法回避的.

一、為什么要學(xué)習(xí)分解因式？

就整個教材而言，《分解因式》這一章起到承上啟下的作用：一方面，它是整式乘法的逆向變形，學(xué)習(xí)它，可以深化我們對整式運算的理解.另一方面，分解因式的變形，不僅體現(xiàn)了一種“化歸”的思想，而且是分式化簡、解方程等的必要前提和必備基礎(chǔ).

在判斷即將學(xué)到的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0是否有根時，就等價于看二次三項式ax2＋bx＋c能否分解為a（x－b1）（x－b2）的形式.

同樣地，我們將來會知道，兩個分式作加減運算時需要通分，而通分本質(zhì)上就是分母的分解因式問題.

二、怎樣才能更好地理解和掌握分解因式的意義？

我們可以從兩個方面加以理解：

一方面，要對比分解因數(shù)理解分解因式.我們以前學(xué)習(xí)過分解因數(shù)，知道分解因數(shù)是把數(shù)分解成幾個數(shù)的積的形式．與分解因數(shù)相類似，分解因式是把一個多項式化成幾個整式的積的形式．

對比二者可以發(fā)現(xiàn)，分解因數(shù)和分解因式在本質(zhì)上是一樣的，都是要把一個數(shù)、式化成幾個數(shù)、式相乘的形式，都體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化（化歸）的思想.

二者的不同點在于，分解因數(shù)被分解的是數(shù)，其結(jié)果是幾個數(shù)的連乘積；而分解因式被分解的是多項式，其結(jié)果是幾個整式的連乘積.

其實，代數(shù)式是數(shù)字的進一步抽象，數(shù)字本身就屬于代數(shù)式.所以，從這個層面我們也能夠體會到分解因數(shù)和分解因式其實是相同的.

另一方面，廣泛聯(lián)系整式乘法來理解和掌握分解因式.

整式乘法是幾個整式相乘得出一個整式的過程，如（a－b）（x＋y）＝ax＋ay－bx－by．整式乘法的結(jié)果必然是一個單項式或多個單項式和的形式.

而分解因式卻恰恰相反，它是將一個多項式分解成幾個整式相乘的形式，如ax＋ay－bx－by＝a（x＋y）－b（x＋y）＝（x＋y）（a－b）．分解因式的結(jié)果必然是一個積的形式.

可見，分解因式與整式乘法是兩個互逆的過程，是整式變形的兩個方面．這個互逆的過程，將有助于我們發(fā)展逆向思維，培養(yǎng)逆向思考問題的意識和習(xí)慣.

三、怎樣才能學(xué)好分解因式的方法？

1.掌握提取公因式法和公式法——兩個基本方法

分解因式的方法有很多，其中最基本的方法是提取公因式法和公式法.

如果一個多項式的各項含有公因式，那么就可以把這個公因式提出來，從而將多項式化成兩個因式相乘的形式，這與乘法結(jié)合律十分相似.

運用提取公因式法分解因式的關(guān)鍵在于找到各項的公因式．對于字母，要將各項中都含有的字母（指數(shù)取最低的）提出來作為公因式，如果含有整數(shù)系數(shù)，需要提取其最大公約數(shù).

例1 兩個連續(xù)奇數(shù)的平方差能被4整除嗎？

解：設(shè)這兩個連續(xù)的奇數(shù)分別是2a－1，2a＋1，a為整數(shù)．由題意得

（2a＋1）2－（2a－1）2＝（2a＋1＋2a－1）（2a＋1－2a＋1）＝4a×2＝8a．

因為a是整數(shù)，所以8a能被4整除．所以，兩個連續(xù)奇數(shù)的平方差能被4整除.

2.嘗試了解分解因式的其他方法

分解因式，除了提取公因式法和公式法以外，還有一些其他的常用方法，如分組分解法、補項拆項法、待定系數(shù)法等.

分組分解法，是先根據(jù)多項式的特點將其適當(dāng)分組，然后各組分別變形，如在每組中提公因式，再在各組間提公因式，從而實現(xiàn)分解因式.如分解ax＋by＋ay＋bx，可以分成兩組ax＋ay、bx＋by，而每個組都有公因式x＋y，從而再提取公因式x＋y，就達(dá)到分解因式的目的，即分解為（a＋b）（x＋y）．

補項法和拆項法，是根據(jù)所給多項式的特點，進行拆項或補項，以構(gòu)造出公因式，或構(gòu)造出公式的形式，從而運用提取公因式法或公式法分解因式.

待定系數(shù)法，是先設(shè)原多項式可以分解為兩個多項式相乘的形式，其中含有待定系數(shù)，再將兩個多項式相乘，寫成升冪或降冪的形式，利用兩個多項式對應(yīng)相等必然滿足對應(yīng)項的系數(shù)相等，列方程組，進而求出待定系數(shù)的值，達(dá)到分解因式的目的.

當(dāng)然，在分解因式中，常常綜合運用多個方法.

例2 分解因式：x4＋4．

解：x4＋4

＝x4＋4x2－4x2＋4（補項）

＝（x4＋4x2＋4）－4x2（分組）

＝（x2＋2）2－4x2 （運用完全平方公式）

＝（x2＋2＋2x）（x2＋2－2x）（運用平方差公式）

＝（x2＋2x＋2）（x2－2x＋2）（按x的降冪排序）．

3.深刻體會類比思想

本章自始至終都滲透著類比這種重要的思想方法.如類比分解因數(shù)的意義引入分解因式的意義，體會、理解、認(rèn)識分解因式的意義；類比整式的乘法探索分解因式的方法，感受整式乘法與分解因式兩種逆向恒等變形的價值.

經(jīng)過本章的學(xué)習(xí)，期望你能達(dá)到如下目標(biāo)：

經(jīng)歷探索分解因式的過程，體會整式乘法與分解因式之間的互逆關(guān)系.

了解分解因式的意義，會用提公因式法、平方差公式和完全平方公式分解因式.

通過乘法公式（a＋b）（a－b）＝a2－b2與（a±b）2＝ a2±2ab ＋ b2的逆向變形，進一步發(fā)展觀察、歸納、類比、概括等能力，發(fā)展有條理思考及語言表達(dá)的能力.

<\192.168.0.129本地磁盤 (d)王玲霞數(shù)據(jù)八年級數(shù)學(xué)北師大08年1-2期版式+圖jjgg.TIF>[練一練]

1．a(chǎn)－ab2分解因式的結(jié)果是（）.

A． a（1＋b）（1－b） B． a（1＋b）2C． a（1－b）2D． （1－b）（1＋b）

2．分解因式：x2－4＋y2＋2xy＝.

3．分解因式4＋4a＋a2，正確的是（）.

A．4（1＋a）＋a2B．（2－a）2 C．（2＋a）（2＋a）D．（2＋a）2

4．試尋找一個多項式，使它能被多項式x2＋3x＋2與x2＋4x＋3同時整除.

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文