李寒月 曲麗娜
如何學習不等式?怎樣更好地掌握不等式及其相關內(nèi)容呢?從不等式所蘊涵的數(shù)學思想出發(fā),可以深化我們對不等式的理解和掌握.
一、不等式與等式——辨證統(tǒng)一思想
現(xiàn)實世界中的數(shù)量關系有不等和相等兩類.與相等關系相比,不等關系在現(xiàn)實世界中更為普遍.不等式就是描述現(xiàn)實世界不等關系的一種重要的數(shù)學表示形式.不等與相等存在著既對立又統(tǒng)一的關系.
一方面,對于兩個數(shù)a、b,其大小關系只有兩種情況:a =b或者a≠b.二者是對立的,不能同時存在.
另一方面,對于不相等的兩個數(shù)a、b,a>b等價于存在正數(shù)c滿足a = b+c;反之,如果存在正數(shù)c滿足a = b+c,那么一定有a>b.
根據(jù)這一結論,我們很容易證明不等式的基本性質(zhì).
對于性質(zhì)1“在不等式的兩邊同時加上或減去同一個代數(shù)式,不等號的方向不變”:設a>b,則a=b+c(c>0),根據(jù)等式的基本性質(zhì),a+d=b+c+d(c>0),即a+d=(b+d)+c(c>0),所以,a+d>b+d.
請大家利用a>b?a=b+c(c>0)的結論,嘗試證明在不等式的兩邊同時減去一個代數(shù)式的情況.
對于性質(zhì)2“在不等式的兩邊同時乘以或除以同一個正數(shù),不等號的方向不變”,我們?nèi)匀豢梢岳胊>b?a=b+c(c>0)的結論給出證明:設a>b,則a=b+c(c>0),根據(jù)等式的基本性質(zhì),ad=(b+c)d(c>0,d>0),即ad=bd+cd(c>0,d>0),所以,ad>bd.
同理,可以證明在不等式的兩邊同時除以一個正數(shù)的情況,請大家試著證明.
看了上面兩個性質(zhì)的證明,對于性質(zhì)3“在不等式的兩邊同時乘以或除以同一個負數(shù),不等號的方向改變”,大家可以輕松證明了吧.動手試一試吧!
二、解一元一次不等式(組)——數(shù)形結合思想
不等式的基本性質(zhì)是解不等式(組)的重要依據(jù),不等式的每一步變形都是根據(jù)不等式的基本性質(zhì)進行的.在解不等式的過程中,要特別注意基本性質(zhì)3,即在不等式的兩邊同時乘以或除以同一個負數(shù)時,不等號的方向要改變.
用數(shù)軸來表示不等式的解集,這是在“數(shù)與代數(shù)”領域里,繼一次函數(shù)以后,又一次地體現(xiàn)了數(shù)形結合的思想.通過數(shù)軸表示,一方面能夠使不等式的解集更加直觀形象,一目了然;另一方面,也正是由于數(shù)軸的直觀形象性,才使得我們能夠迅速地確定不等式組的解集.
例1 解不等式組
+3≥x+1,
1-3(x-1)<8-x.并將其解集在數(shù)軸上表示出來.
解:解不等式+3≥x+1,得x≤1.
解不等式1-3(x-1) <8-x,得x>-2.
∴ 原不等式組的解集是-2<x≤1.
在數(shù)軸上表示為:
三、不等式的應用——數(shù)學模型思想
不等式是表示現(xiàn)實世界中不等關系的重要數(shù)學模型.與建立方程模型的過程類似,建立不等式模型,同樣需要我們將現(xiàn)實問題“數(shù)學化”,即找出現(xiàn)實問題中所隱含的數(shù)量關系,并用數(shù)學符號語言表示出來,從而建立所需的數(shù)學模型,然后對所建立的數(shù)學模型進行解釋和求解,將所得的結果“翻譯”到現(xiàn)實問題中,最后檢驗其是否具有現(xiàn)實意義.
不等式、方程和函數(shù)都是表示事物運動變化規(guī)律及其關系的模型.其中,函數(shù)刻畫的是事物之間的對應變化過程,方程刻畫的是事物變化過程中某一個瞬間的數(shù)量關系,而不等式則是刻畫事物變化過程中同類量之間的大小關系.運用函數(shù)圖象可以求解方程和不等式,反過來,運用方程和不等式也可以研究函數(shù)問題.
例2某商場進了200件貨物,該貨物進價為每件x元.若年初出售,則每件貨物只能按進價的110%出售,但是可以將本利再投資一次,到時又可獲利10%.若年末出售,每件貨物能按進價的130%出售,但是要支付240元的倉庫保管費.設年初出售商場獲利為y1元,年末出售商場獲利為y2元.
(1)請你分別寫出y1、y2的表達式(用 x表示).
(2)分別討論當進價x取不同值時,哪種出售方案獲利更多.
解:根據(jù)題意可得:
(1) 年初出售可獲得利潤y1=200×0.1x+200×1.1x×0.1=42x.
年末出售可獲得利潤y2=200×0.3x-240=60x-240.
(2) 若年初出售獲利更多,則y1>y2,即42x>60x-240,解之得x<.
所以,當0<x<時,年初出售獲利更多.
若年末出售獲利更多,則y1<y2,即42x<60x-240,解之得x>.
所以,當x>時,年末出售獲利更多.
若年初、年末出售獲利相同,則y1=y(tǒng)2,即42x=60x-240.
解之,得x=.
所以,當x=時,年初年末出售獲利一樣多.
評析:本題涉及的是不等式與方程、一次函數(shù)的綜合運用.在解題過程中,要注意體會不等式與方程、一次函數(shù)之間的區(qū)別和聯(lián)系.
四、類比思想
不等式的許多性質(zhì)是類比等式給出的.如等式的基本性質(zhì)“在等式的兩邊同時加上或減去同一個數(shù),等式仍然成立”,這與不等式的性質(zhì)1十分相似.
當然,不等式有些性質(zhì)與等式性質(zhì)具有本質(zhì)上的區(qū)別.如在等式兩邊同時乘以或除以同一個數(shù)(不為0),等式仍然成立,對應于不等式的性質(zhì)2、性質(zhì)3,我們就會發(fā)現(xiàn)二者的不同:前者的相等關系仍然不變,而后者的不等關系雖然也沒有改變,但是當不等式兩邊同乘以或同除以一個負數(shù)時,不等號方向卻變成了與原來相反的方向.這是質(zhì)的變化,學習時我們要特別注意.
另外,解不等式的過程也可與解方程的過程相類比,但也要注意不等號方向的變化.
注:本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文
中學生數(shù)理化·八年級數(shù)學北師大版2008年1期