不等式中的數(shù)學(xué)思想

李寒月　曲麗娜

如何學(xué)習(xí)不等式？怎樣更好地掌握不等式及其相關(guān)內(nèi)容呢？從不等式所蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想出發(fā)，可以深化我們對(duì)不等式的理解和掌握.

一、不等式與等式——辨證統(tǒng)一思想

現(xiàn)實(shí)世界中的數(shù)量關(guān)系有不等和相等兩類．與相等關(guān)系相比，不等關(guān)系在現(xiàn)實(shí)世界中更為普遍．不等式就是描述現(xiàn)實(shí)世界不等關(guān)系的一種重要的數(shù)學(xué)表示形式.不等與相等存在著既對(duì)立又統(tǒng)一的關(guān)系.

一方面，對(duì)于兩個(gè)數(shù)a、b，其大小關(guān)系只有兩種情況：a ＝b或者a≠b．二者是對(duì)立的，不能同時(shí)存在.

另一方面，對(duì)于不相等的兩個(gè)數(shù)a、b，a＞b等價(jià)于存在正數(shù)c滿足a ＝ b＋c；反之，如果存在正數(shù)c滿足a ＝ b＋c，那么一定有a＞b.

根據(jù)這一結(jié)論，我們很容易證明不等式的基本性質(zhì).

對(duì)于性質(zhì)1“在不等式的兩邊同時(shí)加上或減去同一個(gè)代數(shù)式，不等號(hào)的方向不變”：設(shè)a＞b，則a＝b＋c（c＞0），根據(jù)等式的基本性質(zhì)，a＋d＝b＋c＋d（c＞0），即a＋d＝（b＋d）＋c（c＞0），所以，a＋d＞b＋d.

請(qǐng)大家利用a＞b?a＝b＋c（c＞0）的結(jié)論，嘗試證明在不等式的兩邊同時(shí)減去一個(gè)代數(shù)式的情況.

對(duì)于性質(zhì)2“在不等式的兩邊同時(shí)乘以或除以同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)的方向不變”，我們?nèi)匀豢梢岳胊＞b?a＝b＋c（c＞0）的結(jié)論給出證明：設(shè)a＞b，則a＝b＋c（c＞0），根據(jù)等式的基本性質(zhì)，ad＝（b＋c）d（c＞0，d＞0），即ad＝bd＋cd（c＞0，d＞0），所以，ad＞bd.

同理，可以證明在不等式的兩邊同時(shí)除以一個(gè)正數(shù)的情況，請(qǐng)大家試著證明.

看了上面兩個(gè)性質(zhì)的證明，對(duì)于性質(zhì)3“在不等式的兩邊同時(shí)乘以或除以同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向改變”，大家可以輕松證明了吧．動(dòng)手試一試吧！

二、解一元一次不等式（組）——數(shù)形結(jié)合思想

不等式的基本性質(zhì)是解不等式（組）的重要依據(jù)，不等式的每一步變形都是根據(jù)不等式的基本性質(zhì)進(jìn)行的.在解不等式的過(guò)程中，要特別注意基本性質(zhì)3，即在不等式的兩邊同時(shí)乘以或除以同一個(gè)負(fù)數(shù)時(shí)，不等號(hào)的方向要改變.

用數(shù)軸來(lái)表示不等式的解集，這是在“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域里，繼一次函數(shù)以后，又一次地體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想.通過(guò)數(shù)軸表示，一方面能夠使不等式的解集更加直觀形象，一目了然；另一方面，也正是由于數(shù)軸的直觀形象性，才使得我們能夠迅速地確定不等式組的解集.

例1 解不等式組

＋3≥x＋1，

1－3（x－1）＜8－x．并將其解集在數(shù)軸上表示出來(lái).

解：解不等式＋3≥x＋1，得x≤1．

解不等式1－3（x－1） ＜8－x，得x＞－2．

∴ 原不等式組的解集是－2＜x≤1．

在數(shù)軸上表示為：

三、不等式的應(yīng)用——數(shù)學(xué)模型思想

不等式是表示現(xiàn)實(shí)世界中不等關(guān)系的重要數(shù)學(xué)模型.與建立方程模型的過(guò)程類似，建立不等式模型，同樣需要我們將現(xiàn)實(shí)問(wèn)題“數(shù)學(xué)化”，即找出現(xiàn)實(shí)問(wèn)題中所隱含的數(shù)量關(guān)系，并用數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言表示出來(lái)，從而建立所需的數(shù)學(xué)模型，然后對(duì)所建立的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行解釋和求解，將所得的結(jié)果“翻譯”到現(xiàn)實(shí)問(wèn)題中，最后檢驗(yàn)其是否具有現(xiàn)實(shí)意義.

不等式、方程和函數(shù)都是表示事物運(yùn)動(dòng)變化規(guī)律及其關(guān)系的模型.其中，函數(shù)刻畫(huà)的是事物之間的對(duì)應(yīng)變化過(guò)程，方程刻畫(huà)的是事物變化過(guò)程中某一個(gè)瞬間的數(shù)量關(guān)系，而不等式則是刻畫(huà)事物變化過(guò)程中同類量之間的大小關(guān)系.運(yùn)用函數(shù)圖象可以求解方程和不等式，反過(guò)來(lái)，運(yùn)用方程和不等式也可以研究函數(shù)問(wèn)題.

例2某商場(chǎng)進(jìn)了200件貨物，該貨物進(jìn)價(jià)為每件x元.若年初出售，則每件貨物只能按進(jìn)價(jià)的110％出售，但是可以將本利再投資一次，到時(shí)又可獲利10％.若年末出售，每件貨物能按進(jìn)價(jià)的130％出售，但是要支付240元的倉(cāng)庫(kù)保管費(fèi).設(shè)年初出售商場(chǎng)獲利為y1元，年末出售商場(chǎng)獲利為y2元．

（1）請(qǐng)你分別寫出y1、y2的表達(dá)式（用 x表示）．

（2）分別討論當(dāng)進(jìn)價(jià)x取不同值時(shí)，哪種出售方案獲利更多．

解：根據(jù)題意可得：

（1） 年初出售可獲得利潤(rùn)y1＝200×0．1x＋200×1．1x×0．1＝42x．

年末出售可獲得利潤(rùn)y2＝200×0．3x－240＝60x－240．

（2） 若年初出售獲利更多，則y1＞y2，即42x＞60x－240，解之得x＜．

所以，當(dāng)0＜x＜時(shí)，年初出售獲利更多．

若年末出售獲利更多，則y1＜y2，即42x＜60x－240，解之得x＞．

所以，當(dāng)x＞時(shí)，年末出售獲利更多．

若年初、年末出售獲利相同，則y1＝y(tǒng)2，即42x＝60x－240．

解之，得x＝．

所以，當(dāng)x＝時(shí)，年初年末出售獲利一樣多.

評(píng)析：本題涉及的是不等式與方程、一次函數(shù)的綜合運(yùn)用．在解題過(guò)程中，要注意體會(huì)不等式與方程、一次函數(shù)之間的區(qū)別和聯(lián)系.

四、類比思想

不等式的許多性質(zhì)是類比等式給出的．如等式的基本性質(zhì)“在等式的兩邊同時(shí)加上或減去同一個(gè)數(shù)，等式仍然成立”，這與不等式的性質(zhì)1十分相似.

當(dāng)然，不等式有些性質(zhì)與等式性質(zhì)具有本質(zhì)上的區(qū)別．如在等式兩邊同時(shí)乘以或除以同一個(gè)數(shù)（不為0），等式仍然成立，對(duì)應(yīng)于不等式的性質(zhì)2、性質(zhì)3，我們就會(huì)發(fā)現(xiàn)二者的不同：前者的相等關(guān)系仍然不變，而后者的不等關(guān)系雖然也沒(méi)有改變，但是當(dāng)不等式兩邊同乘以或同除以一個(gè)負(fù)數(shù)時(shí)，不等號(hào)方向卻變成了與原來(lái)相反的方向．這是質(zhì)的變化，學(xué)習(xí)時(shí)我們要特別注意.

另外，解不等式的過(guò)程也可與解方程的過(guò)程相類比，但也要注意不等號(hào)方向的變化.

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文