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    因式分解小議

    2008-08-27 08:15:50田載今
    關(guān)鍵詞:逆運(yùn)算公因式式子

    作者簡介:田載今,祖籍山西省崞縣.20世紀(jì)60年代后期至90年代初期,先后在中學(xué)、中等師范學(xué)校和高等師范院校工作二十余年,從事過中學(xué)數(shù)學(xué)、高等數(shù)學(xué)、數(shù)學(xué)教育理論等多門課程的教學(xué)工作.1993年從首都師范大學(xué)數(shù)學(xué)系調(diào)到人民教育出版社中學(xué)數(shù)學(xué)室工作,1999年任編審、課程教材研究所研究員.先后參加了多種數(shù)學(xué)教材的研究、編寫和修訂,這些教材包括《全日制普通高級中學(xué)數(shù)學(xué)教科書》、《九年義務(wù)教育初級中學(xué)數(shù)學(xué)教科書》、《中等師范學(xué)校數(shù)學(xué)教科書》.擔(dān)任《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教材》副主編等,曾任《數(shù)學(xué)通報(bào)》編委、北京市數(shù)學(xué)會理事、北京市數(shù)學(xué)教育研究會理事,發(fā)表過數(shù)學(xué)教育研究方面的文章30余篇.

    1. 什么是因式分解

    我們知道,根據(jù)整式乘法的運(yùn)算法則,單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式或者幾個(gè)多項(xiàng)式相乘,所得的積是一個(gè)新的多項(xiàng)式.例如:

    2m2(m2+3n)=2m4+6m2n,①

    (a+b)(a-b)=a2-b2.②

    任何一個(gè)等式都可以概括成x=y的形式.由等式x=y自然可以得到等式y(tǒng)=x.于是,由等式①、②可以寫出

    2m4+6m2n=2m2(m2+3n),③

    a2-b2=(a+b)(a-b).④

    比較式子①、②和③、④,你有什么想法?

    從形式上可以發(fā)現(xiàn),①、②中“=”之前是幾個(gè)整式相乘,“=”之后是一個(gè)多項(xiàng)式;③、④則恰好相反.從這種形式上的區(qū)別可以想到,雖然兩者是從不同的方向表示同一相等關(guān)系,但前者強(qiáng)調(diào)幾個(gè)整式相乘“合成”為一個(gè)多項(xiàng)式的過程,而后者強(qiáng)調(diào)一個(gè)多項(xiàng)式“分解”為幾個(gè)整式相乘的形式的過程.

    一般地,把一個(gè)多項(xiàng)式分解成幾個(gè)整式乘積的形式,叫做把這個(gè)多項(xiàng)式因式分解(或分解因式),例如式子③、④.這就是說,因式分解是對多項(xiàng)式進(jìn)行的一種式子變形,變形后的結(jié)果是整式乘積的形式.

    2. 因式分解是整式乘法的逆運(yùn)算嗎

    由上可知,式子①、②屬于整式乘法,而式子③、④屬于因式分解.它們是相互聯(lián)系的等式,區(qū)別在于①與③、②與④中“=”前后的式子正好位置相反.

    整式乘法:幾個(gè)整式相乘→一個(gè)整式.

    因式分解:一個(gè)多項(xiàng)式→幾個(gè)整式相乘.

    鑒于因式分解與整式乘法的上述區(qū)別與聯(lián)系,有的同學(xué)可能會問:能不能說因式分解是整式乘法的逆運(yùn)算呢?

    我們先來看看運(yùn)算的含義.通常所說的代數(shù)運(yùn)算,是指由兩個(gè)(或多個(gè))數(shù)或式子,按照一定法則,得到一個(gè)新的數(shù)或式子.整個(gè)運(yùn)算過程可以概括地寫成a?b=c的形式,其中a,b表示參加運(yùn)算的兩個(gè)元素(數(shù)或式子),?表示一種運(yùn)算,c是一個(gè)元素,它表示運(yùn)算結(jié)果.例如,整式乘法(x+y)·(x-y)=x2-y2中,整式x+y和x-y是進(jìn)行運(yùn)算的兩個(gè)元素,“·”是運(yùn)算符號,運(yùn)算結(jié)果是一個(gè)整式x2-y2;整式除法(x2-y2)÷(x+y)=x-y中,整式x2-y2和x+y是進(jìn)行運(yùn)算的兩個(gè)元素,“÷”是運(yùn)算符號,運(yùn)算結(jié)果是一個(gè)整式x-y.這也就是說,通常代數(shù)運(yùn)算的過程具有把多個(gè)元素合成為一個(gè)元素的特征.

    因式分解不是把多個(gè)元素“合成”為一個(gè)元素,而是把一個(gè)整式“分解”為多個(gè)整式之積,它不具備代數(shù)運(yùn)算的特征.所以它不屬于代數(shù)運(yùn)算的范圍,而僅是式子的一種分解變形.既然因式分解不屬于運(yùn)算,自然也就不是整式乘法的逆運(yùn)算了.與數(shù)的乘法和除法互為逆運(yùn)算一樣,整式的除法是整式乘法的逆運(yùn)算.

    3. 因式分解的基本方法

    進(jìn)行整式的乘法運(yùn)算時(shí),方法是很明確的,只要按照乘法的法則逐步具體實(shí)施,就能得到作為乘積的多項(xiàng)式.把一個(gè)多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解,從方法上說,一般要比作乘法運(yùn)算更有靈活性和多樣性.提公因式法和公式法是因式分解的兩種最基本的方法.現(xiàn)行初中數(shù)學(xué)教科書主要涉及這兩種因式分解的方法.

    提公因式法和公式法本身不難掌握,但要靈活機(jī)動地運(yùn)用它們,還需要認(rèn)真思考.請看下面幾道例題.

    例1把a(bǔ)4b2-a2b4因式分解.

    解法1:a4b2-a2b4=a2b2(a2-b2)=a2b2(a+b)(a-b).

    解法2:a4b2-a2b4=(a2b+ab2)(a2b-ab2)=ab(a+b)ab(a-b)

    =a2b2(a+b)(a-b).

    評注:解法1先用提公因式法,再用公式法;解法2先用公式法,再用提公因式法.雖然兩種解法得到同樣的結(jié)果,但是解法1更簡單.通常情況下,先考慮提公因式可以使解法簡化.

    有些多項(xiàng)式不能直接使用提公因式法或公式法,這時(shí)就需要先把多項(xiàng)式適當(dāng)整理變形,然后再使用提公因式法或公式法.

    例2把a(bǔ)2c+a2+2ab+b2-b2c因式分解.

    解:a2c+a2+2ab+b2-b2c=(a2c-b2c)+(a2+2ab+b2)=c(a+b)(a-b)+(a+b)2=(a+b)[c(a-b)+(a+b)]=(a+b)(ac-bc+a+b).

    評注:這樣先將多項(xiàng)式的各項(xiàng)進(jìn)行分組,然后再分解因式的方法叫做分組分解法.

    例3把a(bǔ)4+4b4因式分解.

    解:a4+4b4=(a4+4a2b2+4b4)-4a2b2=(a2+2b2)2-(2ab)2=(a2+2ab+2b2)(a2-2ab+2b2).

    評注:多項(xiàng)式a4+4b4中只有兩項(xiàng),既不能提公因式,也不能直接用公式.但由于這兩項(xiàng)再加上4a2b2就是(a2+2b2)2,所以先對a4+4b4加、減4a2b2,再適當(dāng)分組,然后使用公式法,最終就能因式分解.上面的解法中,把a(bǔ)4+4b4變形為(a4+4a2b2+4b4)-4a2b2,形式上是由簡單變復(fù)雜了,但變化后的形式為使用公式法創(chuàng)造了條件.

    從上面幾道例題可以看出:第一,提公因式法和公式法在因式分解中具有重要的基礎(chǔ)作用,它們是因式分解的最基本的方法;第二,因式分解時(shí)不都是簡單運(yùn)用基本方法就能解決問題的,有時(shí)需要靈活機(jī)動地使用基本方法,這就需要認(rèn)真分析多項(xiàng)式的結(jié)構(gòu),必要時(shí)還需要先對多項(xiàng)式進(jìn)行適當(dāng)?shù)氖阶幼冃?

    4. 因式分解要進(jìn)行到什么程度

    對于單純的因式分解題目,一般要求最終結(jié)果中每個(gè)因式都不能再繼續(xù)分解.例如,把a(bǔ)4-b4因式分解時(shí),得到(a2+b2)(a2-b2),并未完全達(dá)到要求,還需要繼續(xù)分解到(a2+b2)(a+b)(a-b).

    在解決計(jì)算、化簡、解方程等問題的過程中,當(dāng)因式分解作為中間步驟時(shí),應(yīng)根據(jù)具體問題來決定分解到什么程度合適.

    例4已知a2+b2=1,a2-b2=0.5,計(jì)算a4-b4.

    解:a4-b4=(a2+b2)(a2-b2)=1×0.5= 0.5.

    評注:上面解法中,因式分解只是中間步驟,只要分解到(a2+b2)(a2-b2)問題就解決了,繼續(xù)分解反而不利于解決問題.

    我們知道,代數(shù)式中的字母是數(shù)的抽象表示.因此,因式分解是在某種數(shù)的范圍中進(jìn)行的.對于不同的數(shù)的范圍,對同一多項(xiàng)式的因式分解,要進(jìn)行到的程度也可能有所不同.

    例5(1)在有理數(shù)范圍內(nèi)把a(bǔ)4-4因式分解;

    (2)在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)把a(bǔ)4-4因式分解.

    解:(1)a4-4=(a2+2)(a2-2);

    (2)a4-4=(a2+2)(a2-2)=(a2+2)(a+)(a-).

    評注:初中數(shù)學(xué)教科書中,如無特別聲明,通常約定因式分解是在有理數(shù)范圍內(nèi)進(jìn)行的.

    5. 因式分解有什么用

    因式分解是多項(xiàng)式的分解變形.式子變形不是無意義的變來變?nèi)サ臄?shù)學(xué)游戲,而是解決數(shù)學(xué)問題的重要手段.在計(jì)算、化簡、解方程等問題中,因式分解可以發(fā)揮重要作用.

    例6計(jì)算-.

    分析:這是兩個(gè)分式相減,它們的分母不同,正如異分母分?jǐn)?shù)相加減一樣,這里也需要先通分.分?jǐn)?shù)的通分中,可以先分解因數(shù),再確定最簡公分母,例如:

    +=+=+=.

    類似地,分式的通分中,可以先分解因式,再確定最簡公分母.

    解:-=-=-====.

    例7解方程x2+6x+5=0.

    分析:這是一個(gè)一元二次方程.它的一邊等于0,如果能將它的另一邊分解為兩個(gè)一次式的乘積,則可知當(dāng)這兩個(gè)因式中任何一個(gè)等于0時(shí),乘積都等于0,于是可以得出方程的解.

    解:原方程可化為(x2+6x+9)-4=0,(x+3)2-22=0,分解因式,得到(x+5)(x+1)=0.所以x1=-5,x2=-1.

    總之,因式分解是針對多項(xiàng)式的一種分解變形,它是解決許多數(shù)學(xué)問題的一種重要手段.

    注:本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文

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