對(duì)方差計(jì)算公式的探究

莊億農(nóng)

方差是刻畫(huà)一組數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)程度的統(tǒng)計(jì)量．方差越大，數(shù)據(jù)的波動(dòng)性就越大，數(shù)據(jù)就越不穩(wěn)定．常用計(jì)算公式s2＝［（x1－[x]）2＋（x2－[x]）2＋…＋（xn－[x]）2］來(lái)求數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的方差．由于公式中用到的數(shù)據(jù)較多，所以計(jì)算比較煩瑣．下面，我們介紹幾種簡(jiǎn)化運(yùn)算的技巧．

一、簡(jiǎn)化計(jì)算公式

因?yàn)閚[x]＝x1＋x2＋…＋xn，而（x1－[x]）2＋（x2－[x]）2＋…＋（xn－[x]）2＝x12－2x1[x]＋[x]2＋x22－2x2[x]＋[x]2＋…＋xn2－2xn[x]＋[x]2＝x12＋x22＋…＋xn2－2[x]（x1＋x2＋…＋xn）＋n[x]2＝x12＋x22＋…＋xn2－2n[x]2＋n[x]2＝x12＋x22＋…＋xn2－n[x]2．所以s2＝（x12＋x22＋…＋xn2－n[x]2）＝（x12＋x22＋…＋xn2）－[x]2．從化簡(jiǎn)后的公式可以看出，這里數(shù)據(jù)的平均數(shù)沒(méi)有參與到較復(fù)雜的運(yùn)算中，這樣就使計(jì)算過(guò)程大為簡(jiǎn)化，特別是當(dāng)一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是分?jǐn)?shù)時(shí)，利用這個(gè)公式求方差就更方便．如求數(shù)據(jù)3，－1，2，1，－3，3的方差時(shí)，先求其平均數(shù)[x]＝（3－1＋2＋1－3＋3）＝，若用原公式計(jì)算方差，就會(huì)出現(xiàn)很多分?jǐn)?shù)的平方，計(jì)算起來(lái)比較麻煩．但若采用化簡(jiǎn)后的公式，則s2＝［32＋（－1）2＋22＋12＋（－3）2＋32］－

2＝－＝，這樣就避免了多次計(jì)算分?jǐn)?shù)平方的情況．

二、數(shù)據(jù)加減后的方差

若一組數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的平均數(shù)為[x]，方差為s2，把這組數(shù)據(jù)都加上同一個(gè)常數(shù)a，得到一組新數(shù)據(jù)x1＋a，x2＋a，…，xn＋a，其平均數(shù)為[x]＋a，方差為［（x1＋a－[x]－a）2＋（x2＋a－[x]－a）2＋…＋（xn＋a－[x]－a）2］＝［（x1－[x]）2＋（x2－[x]）2＋…＋（xn－[x]）2］＝s2，即方差不變．同樣，把這組數(shù)據(jù)同減去一個(gè)常數(shù)a，得到一組新數(shù)據(jù)x1－a，x2－a，…，xn－a，其平均數(shù)為[x]－a，方差仍然為s2．利用方差的這個(gè)特點(diǎn)，可以簡(jiǎn)化方差的求解過(guò)程．比如求數(shù)據(jù)2 011，2 007，2 010，2 009，2 005，2 011的方差時(shí)，如果直接計(jì)算，運(yùn)算量較大，容易出錯(cuò)，觀(guān)察發(fā)現(xiàn)，可以先將每個(gè)數(shù)據(jù)減去2 008，得到一組新的數(shù)據(jù)3，－1，2，1，－3，3，再求這組數(shù)據(jù)的方差就很容易了．

三、數(shù)據(jù)放縮后的方差

若將一組數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn（其平均數(shù)為[x]）同時(shí)乘以m（相當(dāng)于放縮），得到一組新數(shù)據(jù)m x1，m x2，…，m xn，其平均數(shù)顯然為m[x]，方差為［（mx1－m[x]）2＋（mx2－m[x]）2＋…＋（mxn－m[x]）2］＝［m2（x1－[x]）2＋m2（x2－[x]）2＋…＋m2（xn－[x]）2］＝m2s2，即將一組數(shù)據(jù)同時(shí)乘以m，其方差按照m2作相應(yīng)的放縮．利用這個(gè)特征，一樣可以簡(jiǎn)化方差的求解過(guò)程．如求數(shù)據(jù)18，－6，12，6，－18，18的方差時(shí)，可以先將每個(gè)數(shù)據(jù)乘以，得到數(shù)據(jù)3，－1，2，1， －3，3，易求得這組數(shù)據(jù)的方差為s2＝，則數(shù)據(jù)18，－6，12，6，－18，18的方差為62s2＝173．