巧用特殊性質(zhì)　妙解競(jìng)賽試題

劉金秀　劉明玉

三角形、矩形、正方形都是同學(xué)們熟知的幾何圖形，教材中介紹的這些圖形的有關(guān)性質(zhì)，同學(xué)們也很熟悉.其實(shí)，三角形、矩形、正方形除了具有同學(xué)們所熟悉的常規(guī)性質(zhì)以外，還有一些鮮為同學(xué)們所知的特殊性質(zhì).靈活運(yùn)用這些特殊性質(zhì)，在解題時(shí)往往能收事半功倍的奇效．下面我們對(duì)這些圖形的特殊性質(zhì)給予總結(jié)證明，并舉例說(shuō)明這些性質(zhì)在解數(shù)學(xué)競(jìng)賽題中的妙用．

特殊性質(zhì)1：矩形、正方形內(nèi)任一點(diǎn)到相對(duì)兩頂點(diǎn)距離的平方和等于這點(diǎn)到另外兩頂點(diǎn)距離的平方和．

如圖1，已知O是矩形ABCD內(nèi)任一點(diǎn)，連接OA、OB、OC、OD．

求證：OA2＋OC2＝OB2＋OD2．

證明：過(guò)O作EF⊥BC于點(diǎn)E，交AD于點(diǎn)F．

∵OB2＝BE2＋OE2，OD2＝DF2＋OF2，

OA2＝OF2＋AF2，

OC2＝OE2＋CE2，

∴OB2＋OD2＝BE2＋OE2＋OF2＋DF2．

OA2＋OC2＝OF2＋AF2＋OE2＋CE2．

又∵AF＝BE， DF＝CE，

∴OA2＋OC2＝OB2＋OD2．

分析：因?yàn)镻是矩形內(nèi)任一點(diǎn)，顯然，利用特殊性質(zhì)1，能使問(wèn)題輕松得解.

解：PA＝3，PD＝4，PC＝8，由特殊性質(zhì)1得PA2＋PC2＝PB2＋PD2，故PB2＝9＋64－16．

∴PB＝．

特殊性質(zhì)2：等邊三角形內(nèi)任一點(diǎn)到三邊的距離之和等于它的高．

如圖3，O是等邊△ABC內(nèi)任一點(diǎn)．OD⊥BC于點(diǎn)D，OE⊥AC于點(diǎn)E，OF⊥AB于點(diǎn)F．AH是BC邊上的高．

求證：OD＋OE＋OF＝AH．

證明：連接OA、OB、OC．

∵S△AOB＝OF·AB，S△BOC＝OD·BC，S△AOC＝OE·AC，

∴S△ABC＝BC·AH ＝S△AOB＋S△BOC＋ S△AOC＝BC（OF＋OD＋OE）．

∴AH＝OD＋OE＋OF．

分析：由特殊性質(zhì)2，我們可知這個(gè)等邊三角形的高，再利用勾股定理就能輕松求出等邊三角形的邊長(zhǎng)．

解：略．

特殊性質(zhì)3：等腰三角形底邊上任一點(diǎn)與頂點(diǎn)所連線(xiàn)段的平方，加上這點(diǎn)分底邊所得的兩線(xiàn)段之積，所得的和是定值．這個(gè)定值等于腰長(zhǎng)的平方．

如圖4，在△ABC中，AB＝AC，D是BC邊上任一點(diǎn)．

求證：AD2＋BD·DC＝AB2．

證明：作AE⊥BC于點(diǎn)E．

設(shè)BD＝m，DE＝n，則DC＝（m＋n）＋n＝m＋2n．

在Rt△ADE中，AD2＝AE2＋n2．

又在Rt△ABE中，AB2＝AE2＋（m＋n）2．即AE2＝AB2－（m＋n）2＝AB2－m2－2mn－n2．

又∵BD·DC＝m·（m＋2n）＝m2＋2mn，

∴AD2＋BD·DC＝AE2＋DE2＋BD·DC＝AB2－m2－2mn－n2＋DE2＋BD·DC ＝AB2－m2－2mn－n2＋n2＋m2＋2mn＝AB2．

例3 已知在等腰△ABC中，AB＝AC＝2，底邊上有任意100個(gè)點(diǎn)P1，P2，…，P100．若線(xiàn)段APj（j＝1，2，…，100）的平方與線(xiàn)段BPj和PjC之積的和為kj．求k1＋k2＋…＋k100的值．

分析：顯然，若按常規(guī)思路求解此題，不易找到解題切入點(diǎn)．我們應(yīng)用特殊性質(zhì)3，就能使問(wèn)題輕松獲解．

解：由特殊性質(zhì)3得：k1＝k2＝…＝k100＝22＝4．

∴k1＋k2＋…＋k100＝4×100＝400．