妙證明　巧解題

劉曉玲

不少同學(xué)對(duì)證明題比較頭疼，總感覺無(wú)從下手．其實(shí)，證明需要嚴(yán)密的思維．只要你掌握了其中的解題技巧，問(wèn)題就會(huì)迎刃而解了．

一、添加輔助線，構(gòu)造基本圖形

例1 如圖1，AB∥CD，EOF是直線AB、CD間的一條折線．（1） 求證：∠O＝∠BEO＋∠DFO．（2） 如果將折一次改為折二次，如圖2，則∠BEO、∠O、∠P、∠PFC將滿足怎樣的關(guān)系？證明你的結(jié)論．（3）若將折線繼續(xù)折下去，折三次，折四次，…，折n次，又會(huì)得到怎樣的結(jié)論？請(qǐng)你用自己的語(yǔ)言來(lái)描述所得到的結(jié)論．

解析：（1） 此題可以有多種解法．

方法一：條件中存在平行線，要證明的是角之間的關(guān)系，可考慮應(yīng)用平行線的性質(zhì)．要應(yīng)用平行線的性質(zhì)，需構(gòu)造平行線的基本圖形：兩平行線被第三條直線所截．所以過(guò)拐點(diǎn)O構(gòu)造平行線，使折線的每一段都成為平行線間的截線． 過(guò)點(diǎn)O作OG∥AB，如圖3，由于AB∥CD，所以O(shè)G∥CD，所以∠BEO＝∠EOG，∠DFO＝∠GOF，所以∠O＝∠EOG＋∠GOF＝∠BEO＋∠DFO．

方法二：連接EF，如圖4，構(gòu)造平行線間的截線，同時(shí)也構(gòu)造了三角形，從而可利用平行線的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理解決問(wèn)題． 由于AB∥CD，所以∠BEF＋∠EFD＝180°，即∠BEO＋∠OEF＋∠EFO＋∠DFO＝180°．又因?yàn)椤螼EF＋∠EFO＋∠O＝180°，所以∠O＝∠BEO＋∠DFO．

方法三：延長(zhǎng)EO交CD于點(diǎn)G，如圖5，這樣既構(gòu)造了平行線間的截線，又構(gòu)造了三角形，還構(gòu)造了三角形的外角，可謂一舉多得，從而可利用多個(gè)性質(zhì)，使解題過(guò)程更為簡(jiǎn)單．因?yàn)锳B∥CD，所以∠BEO＝∠OGF．因?yàn)椤螮OF＝∠OGF＋∠DFO，所以∠O＝∠BEO＋∠DFO．

（2） 可按（1）中的方法一添加輔助線，如圖6，過(guò)兩拐點(diǎn)O、P作AB和CD的平行線OM、PN，易證得添加的兩直線及AB、CD互相平行．由于每一對(duì)相鄰的兩平行線間的內(nèi)錯(cuò)角相等，即∠BEO＝∠EOM，∠OPN＝∠MOP，∠NPF＝∠PFC，因此可得∠BEO＋∠OPF＝∠EOP＋∠PFC．

（3） 由（2）可得結(jié)論：如果兩平行線間存在一條折線，則所有同向角的和相等．

評(píng)注：解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵是構(gòu)造基本圖形，利用其性質(zhì)解決問(wèn)題．構(gòu)造的方法常常不唯一．

二、尋找相等關(guān)系，列方程證明問(wèn)題

例2 如圖7，已知△ABC的角平分線BD、CE相交于點(diǎn)O，OF⊥BC于點(diǎn)F．求證：∠BOF＝∠BEC－∠A．

解析：此題要證的是角之間的等量關(guān)系，可利用三角形內(nèi)角和定理及其推論列出方程，然后消去中間角，得到所要證的等量關(guān)系． 注意要讓涉及的中間角盡量少．本題中∠BOF與∠BEC都可用△ABC的內(nèi)角表示出來(lái)， 因此可把△ABC的內(nèi)角作為中間角．

∵ OF⊥BC，∴ ∠OFB＝90°． ∠BOF＝90°－∠OBF．

∵ BD、CE是△ABC的角平分線，

∴ ∠OBF＝∠ABC，∠ACE＝∠ACB．∠BOF＝90°－∠ABC．

∵ ∠BEC＝∠A＋∠ACE，∴ ∠BEC＝∠A＋∠ACB．

∴ ∠BEC－∠A ＝∠A＋∠ACB＝（∠A＋∠ACB）．

∴ ∠BEC－∠A＝（180°－∠ABC ）＝90°－∠ABC．

∴ ∠BOF＝∠BEC－∠A．

評(píng)注：解決此類問(wèn)題，關(guān)鍵是用盡量少的中間角將結(jié)論中的角進(jìn)行轉(zhuǎn)化，然后消去多余的中間角．