分式方程常見錯(cuò)解剖析

侯明輝

一、忽略了對(duì)根的檢驗(yàn)

例1 解方程：-=.

錯(cuò)解：方程的兩邊同乘以最簡公分母（x+1）（x-1），得6-3（x+1）=2（x-1）.解這個(gè)方程，得x=1.所以原方程的根是x=1.

剖析：分式方程是通過轉(zhuǎn)化為整式方程來求解的，解題過程中有可能產(chǎn)生增根，所以求出的根必須檢驗(yàn).

正解：方程的兩邊同乘以最簡公分母（x+1）（x-1），得6-3（x+1）=2（x-1）.解這個(gè)方程，得x=1.

檢驗(yàn)：當(dāng)x=1時(shí)，最簡公分母（x+1）（x-1）=0，所以x=1是增根，從而原方程無解.

二、方程兩邊同除以含未知數(shù)的整式，造成失根

例2 解方程：=.

錯(cuò)解：方程的兩邊同除以x-1（或者認(rèn)為：分式的分子相等，則分母也相等），得=，故x+2=x-2.所以原方程無解.

剖析：方程的兩邊同除以x-1，等于默認(rèn)了x-1的值不為0，而事實(shí)上x=1正是原方程的一個(gè)根，上述變形造成了失根.

正解：去分母，得（x-1）（x-2）=（x-1）（x+2）,即x2-3x+2=x2+x-2.解之，得x=1.

經(jīng)檢驗(yàn)，x=1是原方程的根.

三、去分母時(shí)，漏乘某些項(xiàng)

例3 解方程：+=1.

錯(cuò)解：方程的兩邊同乘以x-2，有3-x=1，得x=2.

檢驗(yàn)：當(dāng)x=2時(shí)，x-2=0，所以原方程無解.

剖析：造成錯(cuò)解的原因是去分母時(shí)漏乘了“不含分母”的項(xiàng).因此，所得方程與原方程不同解.

正解：方程的兩邊同乘以x-2，得3-x=x-2.解之，得x=.

經(jīng)檢驗(yàn)，x=是原方程的根.