如何由不等式（組）的解集確定字母的取值范圍

渠　英

中考中，常常出現(xiàn)已知不等式（組）的解集求某些字母（待定系數(shù)）的取值范圍或代數(shù)式的值的試題．這類試題主要是考查學(xué)生逆向思維的能力.下面從幾個(gè)方面舉例說(shuō)明有關(guān)的解法．

一、利用解集求字母（待定系數(shù)）的取值范圍

例1 若關(guān)于x的不等式（m+3）x＞1的解集是x<，則m<-3是否正確？

解：由不等式的性質(zhì)可知，（m+3）x>1的解集是x<，只有在m+3<0的前提下才成立，即有m<-3，故結(jié)論“m<-3”是正確的.

評(píng)注：解決本題的關(guān)鍵是利用“不等式的兩邊都乘以（或除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向改變”.

例2 已知關(guān)于x的不等式組5-2x≥-1，

x-a＞0無(wú)解，則a的取值范圍是.

解：不等式組可變形為x≤3，

x>a.因不等式組無(wú)解，故a≥3.

例3 若關(guān)于x的不等式組x>a，

3x+2<4x-1的解集為x>3，則a的取值范圍是.

解：原不等式組可化為x>a，

x>3．若要原不等式組的解集為x>3，則有a≤3.

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1. 如果關(guān)于x的不等式組x-m-3>0，

x-3m+1<0無(wú)解，那么m的取值范圍是（）．

A. m<2 B. m≤2 C. m>2 D. m≥2

2. 已知關(guān)于x的不等式組x<2，

x>1，

x>a無(wú)解，則a的取值范圍是（）．

A. a≤-1 B. a≥2 C. -12

二、利用解集求解集

例4 已知a、b為常數(shù)，若關(guān)于x的不等式ax+b>0的解集是x<，則關(guān)于x的不等式bx-a<0的解集是（）．

A. x>-3 B. x<-3 C. x>3 D. x<3

解：由不等式ax+b>0的解集為x<，可知a<0.由ax+b>0，得ax>-b，x<-，從而有-=，即a=-3b.故b>0.由bx-a<0，得x<＝=-3.故選B.

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3． 已知關(guān)于x的不等式（2a-b）x+a-5b>0的解集為x<，則關(guān)于x的不等式ax+b>0的解集是（）．

A. x>-B. x<-C. x>D. x<

三、利用解集求代數(shù)式的值

例5 已知關(guān)于x、y的方程組x-y=a+3，

2x+y=5a的解滿足x>y>0，試化簡(jiǎn)a+3-a.

解：解方程組得x=2a+1，

y=a-2.由x>y>0，得不等式組2a+1>a-2，

a-2>0，解得a>2.

當(dāng)2

當(dāng)a>3時(shí)，a+3-a=a+a-3=2a-3.

例6 若關(guān)于x的不等式組2x-a<1，

x-2b>3的解集為-1

解：原不等式組可化為x<

，

x>2b+3.因不等式組的解集為-1

=1，

2b+3=-1，故得a=1，

b=-2.所以（a+1）（b-1）=2×（-3）=-6.

四、構(gòu)造不等式組求取值范圍

例7 求使關(guān)于x、y的方程組x+y=m+2，

4x+5y＝6m+3的解都是正數(shù)的m的取值范圍.

解：解方程組可得x＝－m+7，

y=2m-5.因?yàn)樗慕鉃檎龜?shù)，所以-m+7>0，

2m-5>0.

∴

練習(xí)題參考答案

1. B2. B3. B