關(guān)于等腰三角形解題的探討

安艷菊

等腰三角形的有關(guān)知識(shí)點(diǎn)，一直備受中考命題者的青睞，在歷年各省中考試題中頻繁出現(xiàn).特別是等腰三角形的有些題目經(jīng)常需要分類討論才能作出解答，這使得等腰三角形在同學(xué)們面前又多了一層神秘的面紗.其實(shí)，解此類問題還是有規(guī)律可循的.下面是筆者歸納的幾種有關(guān)等腰三角形的分類討論題，希望對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)有所幫助.

筆者以為解等腰三角形類題型一般要考慮以下幾種情形.

一?考慮哪一條邊是底邊，哪一條邊為腰

例1已知等腰三角形的兩條邊長(zhǎng)分別為4和6，那么它的周長(zhǎng)為( ).

A.14B.18C.18 D.14或16

解:當(dāng)腰長(zhǎng)為4，底邊為6時(shí)，周長(zhǎng)為14.

當(dāng)腰長(zhǎng)為6，底邊為4時(shí)，周長(zhǎng)為16.

且都滿足三角形兩邊之和大于第三邊的關(guān)系.

所以答案為D.

例2在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知A(2-2)，在y軸上確定點(diǎn)P，使△AOP為等腰三角形，則符合條件的點(diǎn)P 共有().

A.2個(gè) B.3個(gè) C.4個(gè) D.5個(gè)

答案:C

分析:注意:若△AOP為等腰三角形，則已知邊OA為既可為腰亦可為底邊.

分情況討論，如圖1，當(dāng)OA為等腰三角形的腰時(shí)，有△OP1A(OA=OP1)，△OP3A(OA=OP3)，△AOP2(OA=AP2);當(dāng)OA為等腰三角形的底時(shí)，有△P4OA(P4O= P4A).

二?考慮哪一個(gè)角是頂角，哪一個(gè)角為底角

例3(1)有一個(gè)角是80°的等腰三角形的另外兩個(gè)角分別是____.

(2)如果等腰三角形有一個(gè)外角等于140°，那么它的頂角度數(shù)是____.

解析:(1)當(dāng)80°為頂角時(shí)，另外兩個(gè)角為底角，度數(shù)分別為50°，50°;

當(dāng)80°為底角時(shí)，另外兩個(gè)角為一個(gè)頂角一個(gè)底角時(shí)，度數(shù)分別為20°?80°.

(2)當(dāng)140°為頂角的外角時(shí)，頂角為40°;

當(dāng)140°為底角的外角時(shí)，頂角為100°.

三?因等腰三角形的高的特殊性，需考慮等腰三角形類型(銳角?直角還是鈍角三角形)

例4等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為30°，則頂角的度數(shù)為().

A.60°B.120° C.60°或150°D.60°或120°

分析:當(dāng)為銳角等腰三角形時(shí)，如圖2，頂角為60°.

直角三角形不符合題意.

鈍角三角形時(shí)，如圖3，頂角為120°.

答案:D.

類題:已知△ABC中，AB=AC，CD是AB邊上的高，且△ACD恰為等腰三角形，則∠BCD=____.

答案:22.5°或67.5°.

例5已知BD 是△ABC一腰上的高，且∠ABD=50°，求△ABC的幾個(gè)內(nèi)角的度數(shù).

分析:因?yàn)樯婕暗降妊切蔚母?，而等腰三角形的高有其特殊性，所以要充分考慮所涉及的等腰三角形的類型.

解:(1)當(dāng)△ABC為鈍角三角形時(shí)，∠A既可以作頂角也可以作底角.

①當(dāng)∠A作頂角時(shí)，如圖4，△ABC的三個(gè)內(nèi)角分別為140°，20°，20°.

②當(dāng)∠A作底角時(shí)，如圖5，△ABC的三個(gè)內(nèi)角分別為100°，40°，40°.

(2)當(dāng)△ABC是銳角三角形時(shí)，∠A只可能做頂角，如圖6，△ABC的三個(gè)內(nèi)角分別為40°，70°，70°.

(3)△ABC不可能是直角三角形.

因此△ABC的三個(gè)內(nèi)角度數(shù)分別為140°，20°，20°或100°，40°，40°或40°，70°，70°.

由以上歸納我們可以看到:(1)首先要認(rèn)清等腰三角形，在求解涉及等腰三角形的題目中，若沒有明確哪一條是底或腰，哪一個(gè)為頂角或底角時(shí)，要分情況討論，才能使所得的答案完整.(2)其次要明確等腰三角形的特殊性，凡是聯(lián)系到需要做等腰三角形的高的題目時(shí)，則要分別考慮三角形是銳角，直角或鈍角三角形，確定高的位置后求解.只要你看清了等腰三角形的真面目，以后解題也就不怕了.