小數(shù)的起源與發(fā)展

房元霞

美國數(shù)學(xué)史家卡約利(F.Cajori)認(rèn)為十進小數(shù)是近代數(shù)學(xué)史上關(guān)于計算基礎(chǔ)方面的三大發(fā)明之一，所以，小數(shù)(文中“小數(shù)”均指“十進小數(shù)”)的出現(xiàn)是數(shù)學(xué)史上的一件大事，了解小數(shù)的發(fā)展歷史于我們的數(shù)學(xué)教育是非常有益的.

我國是最早采用十進位值制計數(shù)的國家. 這種計數(shù)法使得我國古代在數(shù)值計算方面長期處于領(lǐng)先地位，小數(shù)也是我國最早發(fā)明并運用的，它經(jīng)歷了一個較長的發(fā)展歷程.

小數(shù)是在實際度量和整數(shù)運算(如除法、開方)的需要中產(chǎn)生和發(fā)展起來的. 隨著社會的發(fā)展，對度量精度的要求逐漸提高，反映在數(shù)學(xué)上，就是對數(shù)量表示的精確程度要求的提高. 開始，人類只能用整數(shù)表示數(shù)量，繼而在所表示的數(shù)量的末尾附注“有余”、“有奇”或“強”、“弱”等字樣，以表示該數(shù)量與實際量之間的差異，當(dāng)需要用數(shù)來比較精確地表明這種差異的時候，就逐漸形成了兩種表示方法：一種是用分?jǐn)?shù)來表示不足整數(shù)的剩余部分；另一種是發(fā)展度量衡系統(tǒng)，采用更小的度量衡單位來表示有關(guān)的量. 我國古代較早地形成了占主流的十進制單位系統(tǒng). 劉徽在注解《九章算術(shù)》時，長度的記法采用的單位是：丈、尺、寸、分、厘、毫、秒、忽，忽是最小的單位，在計算中他把忽做為單位，以下那些沒有明確單位的數(shù)就是小數(shù)，劉徽稱作“徽數(shù)”，或者把它舍去，或者化成簡單分?jǐn)?shù)，或者用十進分?jǐn)?shù)表達(dá). 劉徽是我國歷史上目前所知最早應(yīng)用小數(shù)的數(shù)學(xué)家. 可惜的是他沒有對計數(shù)法稍加改進，把小數(shù)推到現(xiàn)代的水平，反而把十進分?jǐn)?shù)作為一般的分?jǐn)?shù)進行通分約分.

劉徽以后，有些天文學(xué)家和數(shù)學(xué)家從不同的角度也采用了這種科學(xué)的小數(shù)計數(shù)法. 南朝劉宋著名科學(xué)家何承天編著的《宋書》律歷志部分，大量地記述了如

十一萬八千二百九十六_二十五(1148296.25)

九萬四千三百五_十七(94305.17)

這樣的數(shù)，用附在整數(shù)位后面的小字來表明小數(shù)，這大概是數(shù)學(xué)史上最早的小數(shù)表示法了.

宋代的數(shù)學(xué)家秦九韶的《數(shù)書九章》中，不僅有大量的小數(shù)的運算，而且他對小數(shù)的記法也十分先進：用有關(guān)文字標(biāo)明一個籌算數(shù)碼的個位數(shù)，清楚地把整數(shù)部分和小數(shù)部分區(qū)分開來. 如在卷6“環(huán)田三積”的運算中，得出數(shù)“三十二萬四千五百六步二分五厘”(324506.25步)，他在演算中用籌算記為

用“余”字明確表示該位以后皆是小數(shù)，“余”字無疑起著現(xiàn)代小數(shù)點同樣的作用. 他還在卷12和卷13中使用了0.8，0.5等純小數(shù).

與秦九韶幾乎同一個時代的數(shù)學(xué)家李冶在用天元術(shù)(我國古代求一元高次方程的方法)解決問題時，也很明確地表示在運算中所遇到的小數(shù). 如方程348-248x-0.5x²=0記為

其中“○ ”就是0.5. (天元術(shù)中在常數(shù)項旁邊注一“太”字)

由此可見，宋元時期，我國在小數(shù)的記法上不僅指明了數(shù)的個位，區(qū)別出整數(shù)部分和小數(shù)部分，而且對于純小數(shù)，還寫上了我國特有的“○”，表示得十分清楚. 由于我國古代籌算歷來是對齊數(shù)位進行的，所以小數(shù)的運算也是不成為問題的. 因此可以說，我國的小數(shù)在宋元時期已發(fā)展到現(xiàn)代的水平了，與現(xiàn)在相比，僅是沒采用小數(shù)點的記號罷了.

世界上，古印度的數(shù)學(xué)家也在開方得不到整數(shù)根時使用過十進分?jǐn)?shù). 十二世紀(jì)以后，歐洲數(shù)學(xué)家開始采用十進分?jǐn)?shù)，但沒有形成系統(tǒng)的方法，也不夠普遍. 到了1585年，比利時的一位工程師和學(xué)者斯特文(S.Stevin)出版了一本僅有7頁的小冊子《論小數(shù)》(Ladisme)，詳細(xì)地介紹了小數(shù)的意義，并且把小數(shù)推廣到全部算術(shù)運算上去，從而對小數(shù)的推廣、普及工作貢獻(xiàn)很大. 斯特文表示小數(shù)的方法是在整數(shù)的最末一位數(shù)字后邊加上一個圓圈，圈中寫一個“0”字，以下每位小數(shù)之后都加一個圓圈，圈內(nèi)依次寫1，2，3，…，用以指明每個數(shù)字的位數(shù). 例如35.914寫作359①1②4③. 這種表示形式仍是很笨拙，特別是用于除法運算比較麻煩，于是創(chuàng)造合適的小數(shù)的記法提到了日程上來了. 有的數(shù)學(xué)家用一撇把小數(shù)部分分開，有的數(shù)學(xué)家在小數(shù)部分的數(shù)字下面劃一橫線，也有數(shù)學(xué)家用一垂直線將整數(shù)部分和小數(shù)部分間隔開，等等. 1593年，德國數(shù)學(xué)家克拉維斯(C.Clavius)的著作中首先出現(xiàn)了小數(shù)點，并在歐洲逐漸被采用.

小數(shù)點在我國最早出現(xiàn)在1723年的著作《數(shù)理精蘊》里，只是小數(shù)點是記在個位數(shù)的右上方的，與現(xiàn)在記法略有不同. 其實，《數(shù)理精蘊》中的記法并未引起我國學(xué)術(shù)界的注意，所以在較長的時間內(nèi)，對于十進制小數(shù)的記法一致很混亂，直到十九世紀(jì)末才普遍采用了小數(shù)點. 至此，小數(shù)在我國獲得了完全勝利.

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