對一道ＩＭＯ試題的探究

熊光漢

命題1 在△ABC中，∠BCA的平分線與△ABC的外接圓交點R，與BC的垂直平分線交點P，與AC的垂直平分線交點Q.設(shè)K、L分別是BC、AC的中點，證明：△RPK和△RQL的面積相等.(圖1)

這是2007年7月第48屆國際數(shù)學(xué)奧林匹克第4題^[1]，經(jīng)筆者深入探究，發(fā)現(xiàn)當(dāng)直線CR是∠BCA的外角平分線時，仍有此結(jié)論.于是我們可以得到.

命題2 在△ABC中，∠BCA的外角平分線所在直線與△ABC的外接圓交點R，與BC的垂直平分線交點P，與AC的垂直平分線交點Q.設(shè)K、L分別是BC、AC的中點.

則△RPK和△RQL的面積相等.

證明 如圖2，設(shè)AC>BC，△ABC的外心為O，顯然BC、AC的垂直平分線經(jīng)過點O.連結(jié)AQ、BP，AQ與BP相交于E，連結(jié)OE，OE與CR相交于D.

那么有：AQ=CQ，BP=CP，且∠ACQ=∠BCP=∠CAQ=∠CBP=α.

因∠QPO=∠KPC=90°-α=∠LQC=∠PQO，∠EQP=∠RQA=2(90°-α)=∠RPB=∠EPQ.

所以有PO=QO，EP=QE，

于是有EO⊥QP，即EO⊥CP.

那么CP=RQ，CQ=PR，

參考文獻(xiàn)

[1] 朱偉華. 第48屆IMO試題解答[J]. 中等數(shù)學(xué)，2007，(9).

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