關(guān)于一個(gè)偽命題的思考

韓松德

選修課上老師給我們出了這么一個(gè)偽命題“一切三角形都是等腰三角形”并給以證明，讓我們從中找出原題證明過程中的破綻. 筆者與同學(xué)討論很久，思索考慮的越深，越覺得這道題有意思. 于是便整理下來與廣大讀者一起分享.

原題的證明過程如下：

證明：如圖1，設(shè)△ABC中BC邊的垂直平分線與頂角A的角平分線相交于點(diǎn)E，過E點(diǎn)作EH、EL分別垂直于AC、AB兩邊.

因?yàn)锳E為∠A的角平分線，EL⊥AB且EH⊥AC，

所以EL=EH，又因?yàn)锳E=AE，

所以Rt△ALE≌Rt△AHE(HL)，

所以AL=AH，(1)

又因?yàn)镋點(diǎn)在BC的垂直平分線上，所以EB=EC.因?yàn)镋L=EH，所以Rt△BLE≌Rt△EHC(HL)

所以BL=HC，(2)

(1)+(2)得

AL+BL=AH+HC，即AB=AC.

故命題得證.

看到這里讀者不覺感到可笑，這么一個(gè)荒謬的結(jié)論居然能夠證明出來. 難道一切三角形都是等腰三角形這個(gè)荒謬的結(jié)論是正確的?很明顯，是錯(cuò)誤的!可是事實(shí)擺在眼前，“鐵證如山”，不得不信.

仔細(xì)分析一下原題的證明過程，讀者會(huì)發(fā)現(xiàn)除了第一句話“設(shè)△ABC中BC邊的垂直平分線與頂角A的角平分線相交于點(diǎn)E(點(diǎn)E在△ABC的內(nèi)部)”有待商榷外，其他部分完全符合數(shù)學(xué)原理. 細(xì)心讀者不免會(huì)問：“難道點(diǎn)E一定在三角形的內(nèi)部?該題的例證三角形為銳角三角形，那么在直角三角形和鈍角三角形中點(diǎn)E也會(huì)在其內(nèi)部嗎?”

如將上圖中的角B換為直角，讀者會(huì)發(fā)現(xiàn)一個(gè)很荒謬的結(jié)論：直角三角形的一條直角邊AB居然等于它的一條斜邊AC.

很明顯這是錯(cuò)誤的!可是如果點(diǎn)E在三角形的內(nèi)部，那么由上述證明知該三角形一定是等腰三角形，反過來如果一個(gè)三角形是等腰三角形，那么由等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)知，點(diǎn)E一定在三角形的內(nèi)部(實(shí)際為∠A的角平分線與BC邊的垂直平分線重合). 因此，我們可以做一個(gè)大膽的假設(shè)：上述情況只在等腰三角形中成立，在其他三角形中不成立.

下面我們來證明這個(gè)假設(shè).

圖2證明 首先證明三角形為直角三角形的情況. 如圖2，以直角邊OA為x軸，O點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系xOy.

設(shè)A點(diǎn)的坐標(biāo)為(a，0)，B點(diǎn)的坐標(biāo)為(0，b)所求點(diǎn)E的坐標(biāo)(OA邊垂直平分線與頂角B的角平分線的交點(diǎn)，下面證明過程中點(diǎn)E代表的意義與此相同)坐標(biāo)為(x，y).

因?yàn)辄c(diǎn)E在OA的垂直平分線上，

所以E點(diǎn)坐標(biāo)可設(shè)為(a2，y)，

又因?yàn)辄c(diǎn)E在∠B的角平分線上，

所以點(diǎn)B到y(tǒng)軸的距離與到直線AB的距離相等.

因?yàn)锳B的直線方程xa+yb=1，

即bx+ay-ab=0，

所以|12ab+ay-ab|a²+b²=a2，

解得y=b±a²+b²2，

因?yàn)閥2