圓周率π之最

1 最簡單的定義

義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)試驗教科書《數(shù)學(xué)》六年級上冊p.12：圓的周長除以直徑的商是一個固定的數(shù)，我們把它叫做圓周率.圓周率用字母π表示，π是一個無限不循環(huán)小數(shù)，計算時通常取3.14.

2 最常用的徽率

公元263年前后，我國魏晉時期杰出的數(shù)學(xué)家劉徽提出著名的“割圓術(shù)”，他取半徑為1尺的圓，從圓內(nèi)接正6邊形算起，再算正12邊形、正24邊形，一直算至正192邊形，求得圓周率是39271250=3.1416≈3.14.雖然劉徽提出割圓術(shù)的時間比阿基米德晚一些，但其方法有著較阿基米德方法更美妙之處.因為割圓術(shù)僅用內(nèi)接正多邊形就確定出了圓周率的上、下界，并且其中蘊(yùn)含初步的微積分思想，難能可貴，所以數(shù)學(xué)史上稱3.14為“徽率”.

在日常生活以及我國現(xiàn)行中小學(xué)教材中，為什么只要用到圓周率常常都取3.14呢?精度要求已夠只是一方面，我想“徽率”才是其中的歷史淵源吧!

3 最怪誕的計算

投針實驗法：找一根粗細(xì)均勻，長度為l的細(xì)針，并在一張白紙上畫上一組間距為d的平行線，然后一次又一次地將小針任意投擲在白紙上.這樣反復(fù)地投多次，數(shù)數(shù)針與任意平行線相交的次數(shù)，做一個簡單的除法就可以得到π的近似值.

法國數(shù)學(xué)家蒲豐證明了細(xì)針與任意平行線相交的概率為P=2lπd.利用這一公式，為了方便起見，取d=2l則π=1P.在一次實驗中，他投針2212次，其中針與平行線相交704次，這樣求得圓周率的近似值為2212704=3.142045455≈3.14.

雖然蒲豐投針實驗計算的π值并不一定很精確，但這是數(shù)學(xué)歷史上第一個用幾何形式表達(dá)概率問題的例子，他首次使用隨機(jī)實驗來處理確定性數(shù)學(xué)問題，也是公認(rèn)的計算π值最為怪誕的方法.

4 最困難的證明

4.1 π是無理數(shù)

有人說：幸福的家庭都是一樣的幸福，而不幸的家庭則各有各的不幸.我們不妨作一個不一定恰當(dāng)?shù)念惐龋貉h(huán)的小數(shù)都是一樣的循環(huán)，而不循環(huán)的小數(shù)則各有各的不循環(huán)!

無限不循環(huán)的小數(shù)就是無理數(shù)，無理數(shù)當(dāng)然是難以認(rèn)識的，否則干嘛叫“無理”?世界上有多少人就算大學(xué)畢業(yè)了也說不清道不明的，中小學(xué)課本上總是輕描淡寫一筆帶過，其實也是迫不得已的無奈之舉.想當(dāng)年，區(qū)區(qū)一個2就直接導(dǎo)致了數(shù)學(xué)史上的第一次大危機(jī)，使得數(shù)系的擴(kuò)展停滯不前達(dá)兩千多年!早在公元前3世紀(jì)人們就認(rèn)識到圓的周長和直徑的比值是一個固定的數(shù)，直到1761年瑞士人蘭伯特才利用高等數(shù)學(xué)知識證明了π是不可比的無理數(shù).此后經(jīng)過200多年的驗證和改進(jìn)，其證明的真?zhèn)涡允遣蝗葜靡傻模^程相當(dāng)令人費解.

4.2 π是超越數(shù)

當(dāng)一個數(shù)可以被寫成含有理系數(shù)的多項式方程的根的形式時，不管這個數(shù)是實數(shù)還是復(fù)數(shù)，則這個數(shù)被定義為代數(shù)數(shù).否則，就是超越數(shù).這就是說，一個超越數(shù)不是任何一個含非零的有理數(shù)系數(shù)的多項式方程的根. 在高等數(shù)學(xué)里，抽象地證明超越數(shù)的存在性，并不十分困難.但具體地證明某一個特定的數(shù)是超越數(shù)，在歷史上是一件十分困難的事情.1873年，法國數(shù)學(xué)家Hermite給出了無理數(shù)e是超越數(shù)的證明，但他認(rèn)為證明π的超越性更為困難.他在給友人的信中寫道：“我不敢試著證明π的超越性.如果其他人承擔(dān)這項工作，對于他們的成功沒有比我更高興的人了.”

又過了9年時間，德國數(shù)學(xué)家林德曼終于證明了圓周率π也是一個超越數(shù).這個證明徹底否決了尺規(guī)作圖的千古難題之一：“化圓為方”.即在歐氏空間里面，不可能獲得與一個圓的面積完全相等的正方形.林德曼的證明是冗長的，即使要對它進(jìn)行簡化表達(dá)，也依然十分困難.

5 最古老的教育功能

5.1 祖率和密率=德育+美育

π的計算和理論研究可以從一個側(cè)面反映一個民族的數(shù)學(xué)水平.

據(jù)《隋書·律歷志》記載：“宋末，南徐州從事祖沖之更開密法.以圓徑一億為丈，圓周盈數(shù)三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽，朒數(shù)三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽，正數(shù)在盈朒二限之間.密率：圓徑一百一十三，圓周三百五十五.約率，圓徑七，周二十二.”這一記錄指出了祖沖之關(guān)于圓周率的兩大貢獻(xiàn)：

(1)3.1415926<π<3.1415927；

(2)π的兩個近似分?jǐn)?shù)：約率為227、密率為355113.

有關(guān)3.1415926<π<3.1415927，我國小學(xué)六年級以上的人都知道.祖沖之算出了π的8位可靠數(shù)字，不但在當(dāng)時是最精密的圓周率，而且保持世界冠軍稱號將近1000年!看看眼下這些過眼煙云般的體藝明星，大家理所當(dāng)然要將這一結(jié)果尊稱為“祖率”.而“祖率”和“徽率”也理所當(dāng)然會使國人的民族自豪感得到潛移默化的強(qiáng)化和提升.不用質(zhì)疑，這就是π的德育功能!

對于祖沖之的第二點貢獻(xiàn)，很多人通常不太注意.可事實上恰恰是這一點在數(shù)學(xué)及美學(xué)上有更重要的意義.尤其是了不起的密率355113!為什么呢?

一方面，355113=3.14159292，它只比π值大0.000009%，精度非常之高.另一方面，密率355113在形式上十分簡單，只用到了1、3、5這三個奇數(shù)，而且從分母到分子恰好是這三個數(shù)字本身的兩兩重疊：113355.讓人很容易聯(lián)想到清朝婉約派的經(jīng)典名句：尋尋覓覓冷冷清清凄凄慘慘戚戚.既優(yōu)美又好記，簡直令人拍案稱奇!

正因為π的存在，祖沖之先生堪與天地同壽與日月爭輝!在莫斯科大學(xué)最大的禮堂走廊上，鑲有祖沖之的大理石塑像；在浩瀚無邊的茫茫蒼穹中，嵌有以祖沖之命名的小行星；在尋尋覓覓冷冷清清的月球上，也聳有以祖沖之命名的環(huán)形山……

5.2 “魯?shù)婪驍?shù)”和“808位”=智育+體育

陳省身說過：π這個數(shù)滲透了整個數(shù)學(xué)!人類對于π的研究充滿了智力的奮斗與攀登，奏響了科學(xué)世界的一曲又一曲凱歌.

5.2.1 “魯?shù)婪驍?shù)”

1150年，印度數(shù)學(xué)家婆什迦羅第二計算出π=39271250=3.1416!

1424年，中亞細(xì)亞地區(qū)的天文學(xué)家、數(shù)學(xué)家卡西著《圓周論》，計算了有3×228=805，306，368條邊內(nèi)接正多邊形與外切正多邊形的周長，求出的π值有十七位準(zhǔn)確數(shù)字.他的結(jié)果是：π=3.14159265358979325!這是國外第一次打破祖沖之先生保持了近千年的記錄.

17世紀(jì)初，德國人魯?shù)婪蛴昧藥缀跻簧臅r間鉆研π值.他將新的十進(jìn)制與老的阿基米德方法結(jié)合起來，他是從正方形開始的并將其邊數(shù)翻番的，一直推導(dǎo)出了有262=4，610，000，000，000，000，000條邊的正多邊形，終于算出了小數(shù)后35位.為了紀(jì)念這一非凡成果，在德國圓周率π被稱為“魯?shù)婪驍?shù)”.

5.2.2 “808位”

1593年，韋達(dá)給出：2π=22·2+22·2+2+22…這一不尋常的公式是圓周率π最早的分析表達(dá)式.它僅僅借助數(shù)字2，通過一系列的加、乘、除和開平方就可算出π值，式子也非常漂亮.

1706年，梅欽建立了一個現(xiàn)以梅欽命名的公式：π4=4arctan15-arctan1239，利用數(shù)學(xué)分析中的馬克勞林級數(shù)，他算到小數(shù)后100位.這樣的方法遠(yuǎn)比可憐的魯?shù)婪蛴么蟀肷鷷r間才摳出“35位”的方法簡便得多，數(shù)學(xué)分析方法也正式宣告了古典幾何方法的過時.此后，對于圓周率的計算像馬拉松式的競賽，紀(jì)錄一個接著一個：

1844年，達(dá)塞利用公式：π4arctan12+arctan15+arctan18算到200位.

類似的新公式不斷涌現(xiàn)，π的位數(shù)也迅速增長.1873年，謝克斯利用梅欽的一系列分析方法，將π算到小數(shù)后707位.為了得到這項空前的紀(jì)錄，他花費了二十年的寶貴時間.他死后，人們將這凝聚著他畢生心血的數(shù)值，銘刻在他的墓碑上，以頌揚(yáng)他頑強(qiáng)的意志和堅韌不拔的毅力.此后半個世紀(jì)，人們對他的計算結(jié)果深信不疑，或者說即便懷疑也沒有辦法來檢查它是否正確.以致于在1937年巴黎博覽會發(fā)現(xiàn)館的天井里，依然顯赫地刻著他求出的π值.

從1944年5月到1945年5月，數(shù)學(xué)家弗格森使用了當(dāng)時所能找到的最先進(jìn)的計算工具整整算了一年.終于發(fā)現(xiàn)π值的第528位本應(yīng)是4，而謝克斯墓碑上的值卻誤為5.從而一舉推翻了謝克斯墓碑上的180位小數(shù)!這幾乎把謝克斯生前二十年的寶貴光陰和一世英名全部給一筆勾銷了.

時光又過去兩年，弗格森和倫奇兩人共同發(fā)表了有808位正確小數(shù)的π.這是人腦計算π值的最高紀(jì)錄!在此不妨簡單記為“808位”!

總之，我們中國有“徽率”和“密率”，人家外國有“魯?shù)婪驍?shù)”、“謝克斯墓碑”和“808位”，圍繞著既神秘又簡單的永垂不朽的π，大家斗智斗勇，拼意志拼體力，演繹了一出出數(shù)壇佳話!

6 最無趣的世界紀(jì)錄

電腦的出現(xiàn)導(dǎo)致了計算方面的根本革命.1949年美國首次用計算機(jī)計算π值，一下子就突破了千位數(shù).當(dāng)時利用一臺名為ENIAC的電腦，根據(jù)梅欽公式計算到2037位小數(shù)，包括準(zhǔn)備和整理時間在內(nèi)還不到三天!

1973年，有電腦就把圓周率算到了小數(shù)點后100萬位，其結(jié)果被印成一本二百多頁厚的書，真可謂世界上最枯燥無味的書了.

圓周率的最新計算紀(jì)錄由日本人金田康正的超級計算機(jī)所創(chuàng)造.它于2002年算出π值1，241，100，000，000位小數(shù)，這一結(jié)果打破了1999年9月由另一臺電腦所創(chuàng)造的206，000，000，000位小數(shù)的世界紀(jì)錄.

說實話，人腦在某些方面確實不如電腦，但電腦永遠(yuǎn)不如人腦有趣!不知道為什么我總認(rèn)為：電腦的12411億位遠(yuǎn)遠(yuǎn)比不上人腦的“808位”這么跌宕起伏，電腦的12411億位遠(yuǎn)遠(yuǎn)不如領(lǐng)先世界上千年的“密率”這么蕩氣回腸、震撼人心!

7 最鐵的粉絲

傳說在川陜鄂三省交界的大山之巔，有且僅有那么一籠四季長青的無名小草，三片綠葉分別伸向重慶、浙江和北京.苔花如米小，也學(xué)牡丹開.

筆者乃粗人一個，不信神不信教，從沒有偶像也并不喜歡數(shù)學(xué)，但我是一個π之粉絲!我知道世界上有不少在校大學(xué)生為π過生日，還有許多望斷天涯的癡心人為π寫情書，但我自認(rèn)為本人乃天下最鐵最鐵的π之粉絲!

我叫熊家永，我本人開了一家教育咨詢公司，我給公司取名叫“永π”，并且把開業(yè)的時間最終定于3月14日下午1時59分26秒到27秒之間.

我愛人在浙江開了一家飯店，經(jīng)營的對象主要是初高中學(xué)生，我給飯店取名叫“同學(xué)π”，并且把開業(yè)點鞭炮的時間最終定于3月14日下午1時59分26秒到27秒之間.

我兒子今年8歲，在朝陽區(qū)望京實驗小學(xué)上二年級，他在5歲的時候就可以一口氣背誦200位圓周率.到目前為止，只要是見到過他的人，只要是聽說過哪怕一次，都會很快記住他的名字.豪不夸張地說，在學(xué)校這個圈里我兒子肯定比我有名.為此我決定深深地鞠上一躬，衷心地感謝圓周率!

因為我的兒子名叫熊兀!

“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文”