有關(guān)三角形內(nèi)角與外角的解題誤區(qū)點(diǎn)擊

李慶社

學(xué)習(xí)了“多邊形”后，有些同學(xué)由于對概念、定理理解不透徹，而產(chǎn)生解題誤區(qū).

例1一個(gè)三角形的三個(gè)外角中，最多有幾個(gè)角是銳角？

【解題誤區(qū)】對三角形的內(nèi)角與外角的概念如未能真正理解并加以區(qū)分，就會(huì)錯(cuò)誤地認(rèn)為三角形的外角也與其內(nèi)角一樣，最多可有三個(gè)銳角.

正解：∵三角形的每一個(gè)外角都與相鄰的內(nèi)角互補(bǔ)，

∴當(dāng)相鄰的內(nèi)角是鈍角時(shí)，這個(gè)外角才是銳角.

又∵三角形中最多只有一個(gè)內(nèi)角是鈍角，

∴三角形的三個(gè)外角中最多只有一個(gè)銳角.

例2如圖1，四邊形ABCD是一個(gè)任意四邊形，求證：∠A+∠B+∠C+∠D＝360°.

【解題誤區(qū)】有的同學(xué)因?yàn)椴荒苁炀氝\(yùn)用三角形的內(nèi)角和定理，因而不會(huì)作對角線AC或BD，將四邊形轉(zhuǎn)化為三角形來解決.

正解：連接BD，如圖2.

∵∠A+∠ADB+∠ABD＝180°，∠CDB+∠C+∠CBD＝180°，

∴∠A+∠ADB+∠ABD+∠CDB+∠C+∠CBD＝180°×2＝360°.

∴∠A+∠ABC+∠C+∠ADC＝360°.

例3如圖3，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度數(shù).

【解題誤區(qū)】在學(xué)習(xí)了三角形的內(nèi)角和定理后，我們經(jīng)常會(huì)接觸一些復(fù)雜的圖形.有時(shí)由于確定不了角與角之間的關(guān)系，很容易把題目做錯(cuò)，而且有時(shí)也不能正確添加輔助線，使問題變得撲朔迷離，難以解答.

正解：如圖4，連接CD.

∵∠F+∠E＝∠ECD+∠FDC，

∴∠A+∠B+∠BCE+∠ADF+∠F+∠E＝∠A+∠B+∠BCD+∠ADC＝360°.

例4對于下列長度的三條線段：①3，4，6；②1，2，4；③3，7，2；④5，9，4.其中能組成三角形的有（）.

A.1組B.2組 C.3組 D.4組

【解題誤區(qū)】有些同學(xué)是這樣解答的：

因?yàn)?+4＝7>6，1＋2＝3<4，3＋7＝10>2，5＋9＝14>4，所以①③④組中的線段能組成三角形，故選C.

正解：只有第①組的三條線段能組成三角形，故選A.

評注：出現(xiàn)錯(cuò)誤的主要原因是沒有真正理解“三角形兩邊之和大于第三邊”，作為判定三條線段組成三角形的條件時(shí)，這句話應(yīng)理解為“當(dāng)任意兩條線段的和都大于第三條線段時(shí)，這三條線段能夠組成三角形”.比如在第①組中，因?yàn)?+4＝7>6，3+6＝9>4，4+6＝10>3，所以長分別為3、4、6的線段能組成三角形.但是，如果有其中兩條線段的和不大于（即小于或等于）第三條線段時(shí)，就不能組成三角形.比如在第②組中，由1＋2＝3<4即可判定不能組成三角形.不過列三個(gè)式子顯得麻煩些，常用的方法有兩種，一種是任意選三條線段中的兩條，如果它們的長度和大于第三條線段的長，并且它們差的絕對值小于第三條線段的長，那么，這三條線段能夠組成三角形，否則不能.比如在第③組中，雖然3＋7＝10>2，但是7－3＝4>2，所以長分別為3、7、2的線段不能組成三角形.另一種是找出其中比較短的兩條線段長，如果它們的和大于第三條線段的長時(shí)，這三條線段能夠組成三角形，否則不能.比如在第④組中，4<5<9，而4＋5＝9，所以長分別為5、9、4的線段不能組成三角形.

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