三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用

張水華

三角形內(nèi)角和定理及其推論表明了三角形的內(nèi)角之間、內(nèi)角與外角之間的關(guān)系.這些關(guān)系對于解答有關(guān)三角形中角的問題有著很重要的作用.

一、求三角形中角的度數(shù)

例1已知△ABC中，∠A∶∠B∶∠C=2∶3∶4，求各內(nèi)角的度數(shù).

分析：這個比例式是以后學(xué)習(xí)中經(jīng)常遇到的.我們知道，三角形的內(nèi)角和是180°，如果將角的比例式轉(zhuǎn)化為每一個角的度數(shù)，問題就可解決.設(shè)參數(shù)是個好方法.

解：設(shè)∠A、∠B、∠C的度數(shù)分別為2x、3x、4x.

根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，得2x+3x+4x=180°.

解得x=20°.

∴∠A=2×20°=40°，∠B=3×20°=60°，∠C=4×20°=80°.

二、求特殊圖形中某些角的度數(shù)之和

例2如圖1，求五角星的五個頂角的度數(shù)之和.

分析：觀察圖1可發(fā)現(xiàn)，∠2=∠B+∠D，∠1=∠E+∠C，這樣將五個角的度數(shù)集中到一個三角形中.

解： 由三角形內(nèi)角和定理的推論，得

∠B+∠D=∠2，∠C+∠E=∠1.

∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E

=∠A+∠2+∠1

=180°.

三、確定角與角之間的關(guān)系

例3如圖2，AD、BE、CF為△ABC的三條角平分線，它們交于O點，則∠DOC與∠ABE的關(guān)系是（）.

A. 相等 B. 互余C. 互補(bǔ)D. 無法判斷

分析：觀察圖2，∠1+∠2+∠ABE是△ABC內(nèi)角和的一半，即90°.又∠DOC是△OAC的一個外角，所以∠DOC=∠1+∠2，那么∠DOC+∠ABE=90°.

解： ∵∠DOC=∠1+∠2

=∠BAC+∠BCA

=（180°－∠ABC）

= 90°-∠ABC

=90°-∠ABE，

∴∠DOC+∠ABE=90°， 即兩角互余.故應(yīng)選B.

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