平面直角坐標(biāo)系復(fù)習(xí)導(dǎo)航

王　鋒

王鋒中學(xué)高級(jí)教師，現(xiàn)任職于江蘇豐縣中學(xué)初中部，中國(guó)教育學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)教育研究發(fā)展中心優(yōu)秀會(huì)員，中國(guó)數(shù)學(xué)奧林匹克一級(jí)教練，數(shù)學(xué)優(yōu)秀骨干教師，其業(yè)績(jī)被收錄于《中國(guó)當(dāng)代 數(shù)學(xué)家與數(shù)學(xué)英才大辭典》，參編或主編有多部教學(xué)輔導(dǎo)用書，課題“初中數(shù)學(xué)思想方法”已成功結(jié)題.

1. 平面直角坐標(biāo)系的基本知識(shí)

在平面內(nèi)畫兩條互相垂直、原點(diǎn)重合的數(shù)軸就構(gòu)成了平面直角坐標(biāo)系.水平的數(shù)軸稱為x軸，豎直的數(shù)軸稱為y軸.兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)稱為坐標(biāo)原點(diǎn).

如圖1，兩條坐標(biāo)軸將坐標(biāo)平面分成的四個(gè)區(qū)域稱為象限，按逆時(shí)針順序分別稱為第一象限、第二象限、第三象限、第四象限，坐標(biāo)軸不屬于任何象限.

建立平面直角坐標(biāo)系以后，平面內(nèi)的點(diǎn)就與一對(duì)有序的實(shí)數(shù)（點(diǎn)的坐標(biāo)）建立了一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系.

2. 點(diǎn)與坐標(biāo)之間的轉(zhuǎn)化

（1）根據(jù)點(diǎn)P的坐標(biāo)（a，b）描出點(diǎn)P的位置：先在x軸上找到表示a的點(diǎn)，過此點(diǎn)作x軸的垂線，再在y軸上找到表示b的點(diǎn)，過此點(diǎn)作y軸的垂線，兩條垂線的交點(diǎn)即為要確定的點(diǎn)P的位置.

根據(jù)點(diǎn)的位置求點(diǎn)的坐標(biāo)是上述過程的逆過程.

（2）點(diǎn)的坐標(biāo)的特征：x軸上點(diǎn)的縱坐標(biāo)為0；y軸上點(diǎn)的橫坐標(biāo)為0；坐標(biāo)原點(diǎn)為（0，0）.各個(gè)象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)的符號(hào)如圖1所示.

例1在平面直角坐標(biāo)系中，請(qǐng)將點(diǎn)A（3，3），B（-1，-1），C（1，1），D（5，3），E（-1，-4），F(xiàn)（-5，-2）按下列要求分為兩類，并寫出同類具有而另一類不具有的一個(gè)特征.

（1）點(diǎn)________是同類點(diǎn)，特征是___________.

（2）點(diǎn)________是同類點(diǎn)，特征是___________.

[解析：]點(diǎn)A、C、D是同類點(diǎn)，特征是它們都在第一象限；點(diǎn)B、E、F是同類點(diǎn)，特征是它們都在第三象限.答案不唯一.

3. 平移前后點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系

一個(gè)點(diǎn)向右平移m個(gè)單位，其橫坐標(biāo)加上m，向左平移m個(gè)單位，其橫坐標(biāo)減去m；向上平移m個(gè)單位，其縱坐標(biāo)加上m，向下平移m個(gè)單位，其縱坐標(biāo)減去m.

例2在平面直角坐標(biāo)系中，描出點(diǎn)（0，4），（3，1），（2，0），（7，0），（6，1），（9，4），（0，4），用線段將各點(diǎn)順次連接起來.觀察你所描出的圖形，你覺得它像什么？將各點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別減去3，縱坐標(biāo)分別減去2，再將它們用線段順次連接起來，與原圖形相比，所得圖形有什么變化？

[解析：]如圖2，圖形像一個(gè)碗.各點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別減去3，縱坐標(biāo)分別減去2后，所得各點(diǎn)的坐標(biāo)依次是（-3，2），（0，-1），（-1，-2），（4，-2），（3，-1），（6，2），（-3，2）.所得圖形形狀和大小都不變，是原圖形先向左平移3個(gè)單位長(zhǎng)度后，再向下平移2個(gè)單位長(zhǎng)度得到的.

4. 平面直角坐標(biāo)系的實(shí)際應(yīng)用

（1）在實(shí)際情景中，給出兩個(gè)物體（可看做點(diǎn)）的位置（坐標(biāo)），確定另外一個(gè)物體的位置時(shí)，常采用逆向思維的方法，先根據(jù)所給的兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，畫出平面直角坐標(biāo)系，然后再由所求物體與已知物體的位置關(guān)系找到與它對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo).

（2）建立平面直角坐標(biāo)系，描述物體的位置或求平面圖形上某點(diǎn)的坐標(biāo)時(shí)，應(yīng)根據(jù)具體情景或圖形特征，選取適當(dāng)?shù)膮⒄拯c(diǎn)為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系.

例3如圖3，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1個(gè)單位長(zhǎng)度，我們稱每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)為格點(diǎn)，以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形叫做格點(diǎn)三角形.

（1）圖中的格點(diǎn)三角形ABC是由格點(diǎn)三角形DEF通過怎樣的變換得到的？

（2）在圖中建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，寫出△ABC各頂點(diǎn)的坐標(biāo).

[解析：]（1）將 △DEF 先向下平移4個(gè)單位長(zhǎng)度，再向右平移5個(gè)單位長(zhǎng)度可得到△ABC.

（2）答案不唯一，只要正確建立平面直角坐標(biāo)系并正確寫出各點(diǎn)坐標(biāo)即可.如按照?qǐng)D4所示的方法建立平面直角坐標(biāo)系，則點(diǎn)A（0，0），C（2，-1），B（2，3）.