關于十五子的游戲

陳景潤

在一張紙上畫一個正方形，并把它分成大小相同的十六個方格.再剪出十五個大小相同的正方形紙板，而這些正方形紙板的面積稍小于方格的面積.在這些小紙板上寫上1到15這十五個數(shù).這樣我們就可以玩十五個子游戲了.把這十五個紙板按任意的順序放到這十六個小方格中去（如圖1）.由于每個小方格只能放一個，因而，有一個小方格是空著的.游戲規(guī)定：當且僅當紙板與空格相鄰時，這個紙板才能和空格相互調(diào)換位置，紙板與紙板之間不能調(diào)換位置.現(xiàn)在的問題是：能不能經(jīng)過有限次的移動把這十五個子的順序排成圖2的樣子？我們知道，把這十五個紙板按任意順序放到這十六個小方格中去的方法共有16 × 15 × … × 3 × 2 = 20 922 789 888 000種.若每一種都來試一下，那得花費多少時間呢？于是，我們只能多動腦筋，用心找出這個游戲的規(guī)律.

我們不難看出，任一紙板都能經(jīng)過幾次和空格相互對換位置后，移到這十六個小方格中的任一指定的方格中.為了敘述方便，我們將這十六個小方格標上號碼，如圖3所示.另外我們把十五個紙板分別稱為1，2，3，…，15.首先，我們可以把1移到一號位置上，然后，能否把2移到二號位置上呢？這也是可以做到的.若2在第一列，我們可以把它移出第一列，也可以把空格移出第一列，然后第一列不動，而在第二、三、四列中，仿前述方法把2移到二號位置上.1、2的位置確定后，我們不動它，用相同的方法還可以把3移到三號位置上去.這時如果空格不在四號位置上，要想不動1、2、3，而把4移到四號位置上去，卻一定不能夠做到了.因為在四號位置右邊和上邊都沒有方格，而左邊的3又不能動，故只有下邊的八號位置與它有聯(lián)系了.但我們總可以使第一行不動，而把4移到八號位置上，把空格移到十二號位置上，如圖4所示.在圖4中，我們?nèi)〕鋈?、四、七、八、十一、十二號位置的六個方格構成圖5.為了方便起見，我們將這幾號位置中另外三個紙板上的數(shù)字分別用甲、乙、丙來代替.然后依次把4往下移，甲往下移，3往右移，乙往上移，如圖6.再把甲往左移，4往上移，丙往右移，就變成了圖7.在圖7中把甲往下移，乙往下移，3往左移，4往上移.此時3、4已分別在三、四號位置上了（如圖8）.

第一行排好后保持不動，按照安排第一行的方法，當然能夠把5、6、7安排在五、六、七號位置上，把8安排在八號位置上.

再來安排第三行與第四行時，就要使用不同的辦法了.我們不應先排第三行，而應先排第一列下面的兩個位置，即九號和十三號位置.這也不難做到，因為我們可以把第一列看成第一行，按照排第一行后面的兩個位置的辦法來安排第一列后面的兩個位置.9和13都已安排好后，按上述辦法，我們還能把10、14也安排到十號、十四號位置上，這時只剩下11、12、15這三塊紙板還沒有安排好.我們可以把11移到十一號位置上，剩下的12、15可能出現(xiàn)下列兩種情況：其一是12、15都恰好移到十二及十五號位置上，如圖9所示，這正是我們所要達到的目的；也可能出現(xiàn)第二種情況，如圖10所示.12排在十五號位置上，而15排在十二號位置上.因為圖11可經(jīng)過圖12、13、14變成圖15，于是我們知道任給一個初始狀態(tài)，經(jīng)過上面的一系列移動后，可以變?yōu)閳D16與圖17兩種順序中的一種，我們稱圖16為正常排列，而稱圖17為奇異排列.應該說，作為一種游戲，討論到此就算完了.但如果要問奇異排列能不能重新移動而變?yōu)檎Ｅ帕?，哪一種初始狀態(tài)能變?yōu)檎Ｅ帕校囊环N初始狀態(tài)要變?yōu)槠娈惻帕?，那就不得不借助于較多的數(shù)學方法了.

（未完待續(xù)）