融入數(shù)學(xué)建模思想 改革高職數(shù)學(xué)教學(xué)

進(jìn)入20世紀(jì)以來(lái)，隨著數(shù)學(xué)以空前的廣度和深度向一切領(lǐng)域滲透，以及電子計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)與飛速發(fā)展，數(shù)學(xué)建模越來(lái)越受到人們的重視。無(wú)論是發(fā)展通訊、航天、微電子、自動(dòng)化等高新技術(shù)本身，還是將高新技術(shù)用于傳統(tǒng)工業(yè)去創(chuàng)造新工藝、開(kāi)發(fā)新產(chǎn)品，計(jì)算機(jī)技術(shù)支持下的建模和模擬都是經(jīng)常使用的有效手段。數(shù)學(xué)建模、數(shù)值計(jì)算和計(jì)算機(jī)圖形學(xué)等相結(jié)合形成的計(jì)算機(jī)軟件，在許多高新技術(shù)領(lǐng)域起著核心作用，被認(rèn)為是高新技術(shù)的特征之一。在這個(gè)意義上，數(shù)學(xué)不再僅僅作為一門(mén)科學(xué)，它是許多技術(shù)的基礎(chǔ)，而且直接走向了技術(shù)的前臺(tái)，高新技術(shù)正在成為一種數(shù)學(xué)技術(shù)。

數(shù)學(xué)建模的作用和意義

隨著數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽的深入開(kāi)展，數(shù)學(xué)建模思想為高校的數(shù)學(xué)教育思想、教學(xué)體系、內(nèi)容和方法的改革提供了新思路。數(shù)學(xué)教學(xué)培養(yǎng)學(xué)生的素質(zhì)和能力有兩個(gè)方面：一是通過(guò)分析，計(jì)算和邏輯推理能夠正確快速的求解數(shù)學(xué)問(wèn)題，即運(yùn)用已經(jīng)建立起來(lái)的數(shù)學(xué)模型；二是用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言和方法去抽象和概括客觀對(duì)象的內(nèi)在規(guī)律，構(gòu)造出待解決的實(shí)際問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型。

傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)著眼和著重于前者：從一些基本概念或定義出發(fā)，以簡(jiǎn)練的方式合乎邏輯的推演出所追求的結(jié)論，這固然可以使學(xué)生在比較短的時(shí)間內(nèi)按部就班地學(xué)到盡可能多的知識(shí)，并且體會(huì)出一種天衣無(wú)縫的美感?？墒沁^(guò)分強(qiáng)調(diào)這一點(diǎn)，就可能使學(xué)生認(rèn)為數(shù)學(xué)這樣的完美無(wú)缺是天經(jīng)地義的，從而使思想處于一種僵化狀態(tài)，在生動(dòng)活潑的現(xiàn)實(shí)世界面前變得束手無(wú)策。將數(shù)學(xué)建模引入教學(xué)是加強(qiáng)后一方面的一條有效途徑，用建模方法解決實(shí)際問(wèn)題的途徑，一般說(shuō)來(lái)這一過(guò)程可以分為表述、求解、解釋、驗(yàn)證幾個(gè)階段。因此，在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)建模的思想，能還數(shù)學(xué)知識(shí)源于生活的本來(lái)面貌，培養(yǎng)學(xué)生將數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用于日常生活、社會(huì)實(shí)踐的意識(shí)；數(shù)學(xué)建模要求學(xué)生能夠運(yùn)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言和工具，對(duì)部分現(xiàn)實(shí)世界的信息加以簡(jiǎn)化、抽象、翻譯、歸納，將數(shù)量關(guān)系用數(shù)學(xué)式子、圖形或表格等形式表達(dá)出來(lái)，這樣可以鍛煉和提高學(xué)生的表達(dá)能力；數(shù)學(xué)建模得到實(shí)際解答后，需要用現(xiàn)實(shí)對(duì)象的信息去檢驗(yàn)，以確認(rèn)結(jié)果的正確性。這一步驟的訓(xùn)練可以讓學(xué)生學(xué)會(huì)主動(dòng)地、客觀地、辯證地用數(shù)學(xué)的方法去分析問(wèn)題，最終得到解決問(wèn)題的最佳方法。所以，數(shù)學(xué)建模在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中有著十分重要的作用。

數(shù)學(xué)建模在高職數(shù)學(xué)課程中的地位

相對(duì)于大學(xué)本科生來(lái)說(shuō)，一個(gè)接受高等職業(yè)教育的學(xué)生，他更注重于掌握知識(shí)的應(yīng)用，更需要有較強(qiáng)的解決實(shí)際問(wèn)題的能力。因而高等職業(yè)教育的數(shù)學(xué)課程更應(yīng)該把培養(yǎng)應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力和素養(yǎng)放到重要的位置。而那些傳統(tǒng)意義上的應(yīng)用題從實(shí)際問(wèn)題中提煉出來(lái)的時(shí)候，經(jīng)過(guò)了太多的加工，最后使得問(wèn)題都比較簡(jiǎn)單明確，條件也是充分的。這樣的應(yīng)用題對(duì)能力的培養(yǎng)作用甚微。一旦他們?cè)诠ぷ鲿r(shí)遇到問(wèn)題時(shí)，許多人仍然感到茫然，不知道怎樣用數(shù)學(xué)知識(shí)去解決這些錯(cuò)綜復(fù)雜問(wèn)題。解決這一個(gè)問(wèn)題的有效的方法是在高等職業(yè)教育的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程中增加數(shù)學(xué)建模的訓(xùn)練。數(shù)學(xué)建模所解決的問(wèn)題都是直接來(lái)源于實(shí)際，給出的條件是不充分的，解題者需要自己查閱資料，收集數(shù)據(jù)，還要善于從實(shí)際問(wèn)題中抓住主要因素和主要關(guān)系，根據(jù)情況做出合理的假設(shè)，再利用恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法建立各種量之間的數(shù)學(xué)關(guān)系，即數(shù)學(xué)模型。求解模型時(shí)，還需用計(jì)算機(jī)進(jìn)行計(jì)算。從整個(gè)過(guò)程看，建立數(shù)學(xué)模型的過(guò)程其實(shí)就是一個(gè)團(tuán)結(jié)合作、探索創(chuàng)新的過(guò)程。它要求學(xué)生具有觀察事物，將實(shí)際問(wèn)題歸結(jié)于數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力。這種能力是非常難能可貴的。高等職業(yè)教育培養(yǎng)的是高技能應(yīng)用型的人才，受教育者大都將工作在各行業(yè)生產(chǎn)第一線，高職學(xué)生具有了這種能力，將它用之于生產(chǎn)第一線，將有力地推動(dòng)我國(guó)經(jīng)濟(jì)建設(shè)的發(fā)展。

在高職數(shù)學(xué)教學(xué)中如何融入數(shù)學(xué)建模的思想

1.在概念講授中融入建模思想。一般來(lái)說(shuō)，高等數(shù)學(xué)課本中的函數(shù)、極限、導(dǎo)數(shù)、積分、級(jí)數(shù)等概念都是從客觀事物的某種數(shù)量關(guān)系或空間形式中抽象出來(lái)的數(shù)學(xué)模型。但是，課本中是用非常精煉的語(yǔ)言把它表達(dá)出來(lái)的，這使得學(xué)生感受不到它是實(shí)際生活有密切聯(lián)系的，因此我們?cè)诮虒W(xué)中應(yīng)從它們的實(shí)際“原型”引出來(lái)，使學(xué)生感到課本里的概念不是硬性規(guī)定的，和學(xué)生熟悉的日常生活中密切相關(guān)的。因此，教師在講授有關(guān)概念時(shí)，應(yīng)盡量結(jié)合實(shí)際，設(shè)置適宜的問(wèn)題情境，提供觀察、實(shí)驗(yàn)、操作、猜想、歸納、驗(yàn)證等方面的豐富直觀的背景材料，引導(dǎo)學(xué)生參與教學(xué)活動(dòng)．例如，為講解“極限”這個(gè)概念，我們首先介紹我國(guó)古代數(shù)學(xué)家劉徽的“割圓術(shù)”、某類(lèi)幾何圖形按一定規(guī)則的變化、盡可能地向?qū)W生展示極限定義的形成過(guò)程，挖掘極限定義的實(shí)質(zhì)，展示利用極限問(wèn)題的解題思路的探討過(guò)程和解題規(guī)律的概括過(guò)程，從而使學(xué)生理解“極限”這個(gè)概念模型的構(gòu)建過(guò)程。若條件允許，利用多媒體教學(xué)軟件演示上述圖形或數(shù)值的變化過(guò)程，既省時(shí)又直觀，效果更佳。又如，積分的概念，初看起來(lái)形式抽象，但在它的形成過(guò)程中，有大量的具體原型作基礎(chǔ)。它和曲邊梯形的面積、旋轉(zhuǎn)體的體積、變力所作的功等具體問(wèn)題密切關(guān)聯(lián)，通過(guò)用“微元法”對(duì)這些問(wèn)題的求解，便可抽象出“積分”這個(gè)概念模型來(lái)。在概念講授中，只要選取恰當(dāng)?shù)谋尘安牧?，就能引?dǎo)學(xué)生積極參與教學(xué)活動(dòng)，概念模型也將隨之自然而然地建立起來(lái)，比直接用抽象的數(shù)學(xué)符號(hào)展現(xiàn)給學(xué)生要生動(dòng)有趣得多。

2.選編相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行案例教學(xué)。案例教學(xué)，就是在課堂教學(xué)中，以具體案例作為教學(xué)內(nèi)容，通過(guò)其體問(wèn)題的建模范例，介紹數(shù)學(xué)建模的思想方法。我國(guó)高職教育的幾乎所有的專(zhuān)業(yè)都開(kāi)設(shè)了微積分課程，還有許多專(zhuān)業(yè)開(kāi)設(shè)了線性代數(shù)、概率論初步等課程。課程內(nèi)容的廣度和深度雖不及本科教育，但也可以解決許多實(shí)際問(wèn)題了，比如，“積分學(xué)”內(nèi)容講完后，可介紹“人口預(yù)測(cè)”的兩個(gè)統(tǒng)計(jì)模型，第一個(gè)模型是指數(shù)模型記今年人口為年后人口為，年增長(zhǎng)率為，

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則，=為任意常數(shù))這是著名的馬爾薩斯(Malthus)指數(shù)增長(zhǎng)模型。

通過(guò)問(wèn)題的提出，抽象、簡(jiǎn)化、假設(shè)，確定變量、參數(shù)，確定數(shù)學(xué)模型，解答數(shù)學(xué)問(wèn)題，從實(shí)際解決問(wèn)題的講授使學(xué)生認(rèn)識(shí)到這個(gè)模型作近期的觀測(cè)值是一個(gè)相當(dāng)好的模型，但這個(gè)模型的缺點(diǎn)是不能解決人口數(shù)目的長(zhǎng)期預(yù)測(cè)。這說(shuō)明，當(dāng)人口數(shù)量變化很大時(shí)，這方程的精確程度就降低了，需要修改。因?yàn)檫@時(shí)人口數(shù)量將受到環(huán)境因素的很大影響，瘟疫等，特別地，也包括人口的自我控制。這樣一來(lái)，方程里應(yīng)該有一項(xiàng)反映這一因素。

修改后的模型為，這個(gè)模型是稱為阻滯增長(zhǎng)模型（Logistic模型），其中rx體現(xiàn)了人口自身的增長(zhǎng)趨勢(shì)，因子則體現(xiàn)了資源和環(huán)境對(duì)人口增長(zhǎng)的阻滯作用。顯然， 越大，前一因子越大，后一因子越小，人口增長(zhǎng)是兩個(gè)因子共同作用的結(jié)果，這個(gè)模型比第一個(gè)模型更加合理。通過(guò)這兩個(gè)模型的學(xué)習(xí)學(xué)生認(rèn)識(shí)到建模過(guò)程是一個(gè)逐漸演化的過(guò)程，又是一個(gè)逐漸優(yōu)化的過(guò)程。

教學(xué)中加強(qiáng)數(shù)學(xué)建模的訓(xùn)練既鞏固了所學(xué)知識(shí)，又提高了教學(xué)的趣味性，也極大地調(diào)動(dòng)了學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，使學(xué)生覺(jué)得數(shù)學(xué)既有趣又有用。這樣既使學(xué)生掌握數(shù)學(xué)建模的方法，又使他們深刻體會(huì)到數(shù)學(xué)是解決實(shí)際問(wèn)題的銳利武器，有利于教學(xué)中貫徹理論和實(shí)際相結(jié)合的原則，培養(yǎng)增強(qiáng)了學(xué)生的想象力，洞察力和創(chuàng)造力。

3.在作業(yè)中增加建模訓(xùn)練。做習(xí)題是培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用能力的重要環(huán)節(jié)。教材設(shè)置的習(xí)題，涉及應(yīng)用方面的問(wèn)題較少，即使有，也是一些條件充分，答案確定的問(wèn)題，這對(duì)培養(yǎng)學(xué)

生的創(chuàng)新能力不利。因此在作業(yè)中布置一些與其他學(xué)科相聯(lián)系或從實(shí)際生活中來(lái)的開(kāi)放型應(yīng)用題，給學(xué)生以更大的思維空間、以學(xué)生為中心、以問(wèn)題為主線、積極引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行探索。使學(xué)生感受到數(shù)學(xué)應(yīng)用之所在，這樣，學(xué)生完成作業(yè)就不是一味是以“練”為主，而是以“做”為主，通過(guò)“做”來(lái)體驗(yàn)數(shù)學(xué)，認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)，掌握數(shù)學(xué)建模的思想方法。

另外布置一些可用數(shù)學(xué)軟件進(jìn)行處理的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)題?，F(xiàn)代數(shù)學(xué)模型的復(fù)雜性，使得很多實(shí)際問(wèn)題的解決往往是人力望塵莫及的，而在當(dāng)今計(jì)算機(jī)強(qiáng)大的功能使各種求解過(guò)程變得簡(jiǎn)單快捷。實(shí)驗(yàn)中可以利用的數(shù)學(xué)軟件包括數(shù)據(jù)分析計(jì)算軟件matlab，非線性規(guī)劃軟件lingo，線性規(guī)劃軟件lindo等。通過(guò)這些軟件，能夠在計(jì)算機(jī)下模擬一些實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象，便于學(xué)生對(duì)所研究課題的可行性、結(jié)論的正確性等進(jìn)行研究，讓學(xué)生體驗(yàn)到計(jì)算機(jī)應(yīng)用技術(shù)的價(jià)值，提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣及探究問(wèn)題的能力。

最后值得一提的是，把數(shù)學(xué)建模的思想方法融入到高等數(shù)學(xué)的上述教學(xué)環(huán)節(jié)中，目的是要促進(jìn)學(xué)生更好地學(xué)習(xí)和掌握高等數(shù)學(xué)的基本知識(shí)，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新能力，在實(shí)施教育過(guò)程中應(yīng)當(dāng)正確處理好教學(xué)的“嚴(yán)謹(jǐn)性”和“實(shí)用性”之間的關(guān)系，促進(jìn)教學(xué)改革的發(fā)展。

[1] 姜啟源，謝金星，葉俊編.數(shù)學(xué)模型.

[2] 葉其孝主編.大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽輔導(dǎo)教材.